數(shù)字電子技術(shù)

1.

2

邏輯函數(shù)的化簡方法1.2.1

邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或式和最簡式一、標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式Y(jié)

F

(

A

,B

,C

)

AB

AC

AB(C

C)

AC(B

B)

ABC

ABC

ABC

ABC標(biāo)準(zhǔn)與或式最小項標(biāo)準(zhǔn)與或式就是最小項之和的形式1.

最小項的概念：包括所有變量的乘積項，每個變量均以原變量或反變量的形式出現(xiàn)且僅出現(xiàn)一次。Y

F

(

A

,B

)AB

AB

AB(2

變量共有

4

個最小項)AB(3

變量共有

8

個最小項)Y

F

(

A

,B

,C

,D

)(4

變量共有

16

個最小項)(n

變量共有

2n

個最小項)ABC

D…

…ABCDABCDABCD

ABC

DY

F

(

A

,B

,C

)ABC

ABC

ABCABC

ABC

ABC

ABCABC2.

最小項的性質(zhì)：A

BCABCABCABCABCABCABCABCABC0

0

00

0

10

1

00

1

11

0

01

0

11

1

01

1

11000000001000000001000000001000000001000000001000000001000000001任一最小項，只有一組對應(yīng)變量取值使其值為1

；任意兩個最小項的乘積恒為0

；全體最小項之和恒為1

。3.

最小項是組成邏輯函數(shù)的基本單元任何邏輯函數(shù)都是由其變量的若干個最小項構(gòu)可以表示成為最小項之和的形式——標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式。[例]寫出下列函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或式：Y

F

(

A

,B

,C

)

AB

AC

m6

m7

m1

m3

m

1

,

3

,

6

,

7[解]Y

AB(C

C)

AC(B

B)

ABC

ABC

AB

C

ABCm6

m7

m1

m3或唯一的邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式可直接從真值表得到在真值表中，挑出使函數(shù)值為1的變量取值寫成乘積項，其中變量為1的寫成原變量，為0的寫成反變量，把乘積

起來，即可得到函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式ABCY00000010010001111001101111011111AABBC

CABC

ABCY

ABC

ABCABCABCABCABCABCABCABC0

0

00

0

10

1

00

1

11

0

01

0

11

1

01

1

101234567m0m1m2m3m4m5m6m74.

最小項的

：把與最小項對應(yīng)的變量取值當(dāng)成二進(jìn)制數(shù)，與之相應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)，就是該最小項的

，用

mi

表示。對應(yīng)規(guī)律：原變量

1

反變量

0[例]寫出下列函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或式：Y

AB

AD

BC

(

A

B)

(

A

D)

(

B

C)

(

A

B

D)

(

B

C)

AB

AC

BC

D

AB(C

C)

AC(B

B)

BCD(

A

A)

ABC

ABC

ABC

ABC

D

ABC

D

ABCD

ABC

D

ABC

Dm1

m0

m8

m7

m6

m5

m4

m1

m0

m8

m

(

0

,

1

,

4

,

5

,

6

,

7

,

8

)

ABCD

ABC

D

ABCD

ABC

Dm7

m6

m5

m4與前面m0相重最簡或與式最簡與或非式二、邏輯函數(shù)的最簡表達(dá)式及相互轉(zhuǎn)換Y

AB

AC

最簡與或式AB

AC最簡與非-與非式最簡或與非式AB

AC(

A

B)

(

A

C

)A

B

A

C最簡或非-或非式AB

ACA

B

A

C最簡或非-或式(

A

B)(

A

C

)1.2.2

邏輯函數(shù)的公式化簡法一、并項法:AB

AB

A[例1.2.7]Y

ABC

ABC

AB

AB

AB

B[例]

Y

ABC

ABC

ABC

ABC

A

(

BC

B

C

)

A

(

BC

BC

)

A

B

C

A(

B

C

)

A（與或式最簡與或式）公式定理二、吸收法：A

AB

AY

AB

AD

BE

A

B

AD

BE

A

BY

A

A

BC

(

A

B

C

D)

BC

(

A

BC)

(

A

BC)

(

A

B

C

D)

A

BC[例1.2.8][例][例]Y

AB

ACD

BCD

AB

(

A

B)

CD

AB

AB

CD

AB

A

B三、消去法：A

AB

A

BY

AB

AC

BC

AB

(

A

B)C

AB

AB

C

AB

CY

AB

AB

ABC

ABC

A

(

B

B

C

)

A

(

B

BC)

A

(

B

C

)

A

(

B

C

)

AB

AB

AC

AC

AB

AB

C[例][例]四、配項消項法：AB

AC

BC

AB

AC

BC

AC

AB或

AB

AC

BC

BC

AC

AC

BC

AB

AB

AC

BC[例]

Y

BC

AC

AC

BC

AB[例1.2.11]Y

AB

AC

BC

AB

AC

BC

AB

AC

BC或

AB

AC

BC

AB

AC

BC冗余項綜合練習(xí)：Y

ACE

ABE

BC

D

BEC

DEC

AE

E

(

AC

AB

BC

DC

A

)

BCD

E

(

C

B

D

A

)

BCD

CE

BE

DE

AE

BC

D

E

(

B

C

D)

AE

BC

D

E

BCD

AE

BCD

E

AE

BC

D

E

BC

D1.2.3

邏輯函數(shù)的圖形化簡法一、邏輯變量的

圖(Karnaugh

maps)圖：最小項方塊圖(按循環(huán)碼排列)1.

二變量的

圖(四個最小項)AABA

BBABABABABBA

0

1m0m1m2m301BA

0

101圖的畫法圖：八個最小項2.

變量三變量的邏輯相鄰：A01BC00

01

11

10圖的實質(zhì)：邏輯相鄰幾何相鄰邏輯相鄰緊挨著行或列的兩頭對折起來位置重合兩個最小項只有一個變量不同邏輯相鄰的兩個最小以合并成一項，并消去一個因子。如：ABC

ABC

ACm2m0

邏m輯1

相m鄰3m4

m5

m7

m6五變量的圖：四變量的十六個最小項CDAB0001111000

01

11

10圖：CDE三十二個最小項當(dāng)變量個數(shù)超過六個以上時，無法使用圖形法進(jìn)行化簡。AB00011110000

001

11

1

11

111

101

100m0

m1

m3

m2m4

m5

m7

m6m12

m13

m15

m14m8

m9m11

m10m0

m1

m3

m2m8m9m11

m10m24m25mm6

m7

m5

m4m14

m15m12m1331m28m29m16

m17

m19

m18

m22

m23

m21

m20以此軸為對稱軸（對折后位置重合）幾何相鄰幾何相鄰幾何相鄰3.(1)幾何相鄰：圖的特點(diǎn)：用幾何相鄰表示邏輯相鄰相接

—

緊挨著相對

—

行或列的兩頭相重

—

對折起來后位置重合(2)邏輯相鄰：ABC

ABC

(

A

A)BC

BC例如兩個最小項只有一個變量不同化簡方法：

邏輯相鄰的兩個最小

以合并成一項，并消去一個因子。圖的缺點(diǎn)：函數(shù)的變量個數(shù)不宜超過

6

個。BCA0100

01

11

100324ABC

ABC

BCABC

ABC

ABAB4.

圖中最小項合并規(guī)律：(1)兩個相鄰最小項合并可以消去一個因子CD0001111000

01

11

101469ABCD

ABCD

BCDABCD

ABC

D

ABD(2)四個相鄰最小項合并可以消去兩個因子108CD11

10BCAB

AB00032000140111121110CD

CD00

01

11

10

00

01

11

1002571315810BDm0

m2

m8

m10

ABCD

ABCD

ABCD

A

BCD

BD(3)八個相鄰最小項合并可以消去三個因子AB0001111000

01

11

1003241281110ABCD

CD0001111000

01

11

1057131502810C

B

D總結(jié)：2n個相鄰最小項合并可以消去

n

個因子二、邏輯函數(shù)的

圖表示法根據(jù)變量個數(shù)畫出相應(yīng)的

圖；將函數(shù)化為最小項之和的形式；在

圖上與這些最小項對應(yīng)的位置上填入

1

，其余位置填0

或不填。[例]Y

F

(

A

,

B

,

C

)

AB

BC

AC

ABC

ABC

ABC

ABCBCA0100

01

11

1000100111三、

用

圖化簡邏輯函數(shù)[解]化簡步驟:(1)畫函數(shù)的圖(2)合并最小項：畫包圍圈[例1.2.14]Y

BCD

BC

ACD

ABCABCD00

01

11

100001

111101111

11

1BCABDABC(3)寫出最簡與或表達(dá)式

BCY

BCD

BC

ACD

ABCABCD0001

1

111101

11

11

1不正確的畫圈00

01

11

10畫包圍圈的原則：先圈孤立項，再圈僅有一種合并方式的最小項。圈越大越好，但圈的個數(shù)越少越好。最小

重復(fù)被圈，但每個圈中至少有一個新的最小項。(4)必需把組成函數(shù)的全部最小項圈完，并做認(rèn)真比較、檢查才能寫出最簡與或式。[例]D,C,B,AFm[解]注意：先圈孤立項1,23

,(185

)畫函數(shù)的

圖合并最小項：畫包圍圈寫出最簡與或表達(dá)式ABC00011110D0001111011111111

ACYACDADBD

ABD利用圖形法化簡函數(shù)利用圖形法化簡函數(shù)[例]F

m

(

0

,

1

,

2

,

3

,

4

,

8

,

10

,

11

,

14

,

15

)[解]畫函數(shù)的

圖合并最小項：畫包圍圈ABCD0001111000

01

11

101111111111(3)寫出最簡與或表達(dá)式Y(jié)

A

B

AC

A

C D

B

D[例]用圖形法求反函數(shù)的最簡與或表達(dá)式Y(jié)

AB

BC

AC[解]

(1)

畫函數(shù)的

圖BCA

00

01

11

100

0

0

1

01

0

1

1

1(2)合并函數(shù)值為0的最小項(3)寫出Y

的反函數(shù)的最簡與或表達(dá)式Y(jié)

AB

BC

AC1.2.4

具有約束的邏輯函數(shù)的化簡一、約束的概念和約束條件ABC

的可能取值不可能取值(2)約束項：不會出現(xiàn)的變量取值所對應(yīng)的最小項。約束項取值總等于零001

010

100000

011

101

110

1111.

約束、約束項、約束條件(1)約束：輸入變量取值所受的限制例如，邏輯變量A、B、C，分別表示電梯的升、降、停命令。A

=1

表示升，B

=1

表示降，C

=1

表示停。000

011

101

110

111ABC

ABC

ABC

ABC約束項：ABC(3)約束條件：由約束項相加所構(gòu)成的值為

0

的邏輯表達(dá)式。2.

約束條件的表示方法在真值表和

圖上用叉號(╳)表示。在邏輯表達(dá)式中，用等于0的條件等式表示。例如，上例中

ABC

的不可能取值為約束條件：A

B

C

ABC

ABC

ABC

ABC

0或d

( 0

,

3

,

5

,

6

,

7

)

0二、具有約束的邏輯函數(shù)的化簡1—公式法對[表1.2.4]所示邏輯函數(shù)化簡Y

ABCABC

ABC

ABC

0加上約束條件后用公式化簡Y

ABC

ABC

ABC

ABC