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文檔簡介
2022年高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.在中,在邊上滿足,為的中點,則().A. B. C. D.2.若復(fù)數(shù)滿足,則的虛部為()A.5 B. C. D.-53.已知拋物線C:,過焦點F的直線l與拋物線C交于A,B兩點(A在x軸上方),且滿足,則直線l的斜率為()A.1 B.C.2 D.34.某裝飾公司制作一種扇形板狀裝飾品,其圓心角為120°,并在扇形弧上正面等距安裝7個發(fā)彩色光的小燈泡且在背面用導(dǎo)線相連(弧的兩端各一個,導(dǎo)線接頭忽略不計),已知扇形的半徑為30厘米,則連接導(dǎo)線最小大致需要的長度為()A.58厘米 B.63厘米 C.69厘米 D.76厘米5.已知函數(shù)若恒成立,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.6.()A. B. C.1 D.7.某三棱錐的三視圖如圖所示,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為,則該三棱錐外接球的表面積為()A. B. C. D.8.已知函數(shù),則方程的實數(shù)根的個數(shù)是()A. B. C. D.9.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的()A.2 B.3 C. D.10.如圖,雙曲線的左,右焦點分別是直線與雙曲線的兩條漸近線分別相交于兩點.若則雙曲線的離心率為()A. B.C. D.11.已知排球發(fā)球考試規(guī)則:每位考生最多可發(fā)球三次,若發(fā)球成功,則停止發(fā)球,否則一直發(fā)到次結(jié)束為止.某考生一次發(fā)球成功的概率為,發(fā)球次數(shù)為,若的數(shù)學(xué)期望,則的取值范圍為()A. B. C. D.12.已知圓關(guān)于雙曲線的一條漸近線對稱,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知圓柱的兩個底面的圓周在同一個球的球面上,圓柱的高和球半徑均為2,則該圓柱的底面半徑為__________.14.曲線在點處的切線方程是__________.15.在中,,,,則繞所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的表面積為______________.16.如圖,在梯形中,∥,分別是的中點,若,則的值為___________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)設(shè)函數(shù).(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性;(Ⅱ)如果對所有的≥0,都有≤,求的最小值;(Ⅲ)已知數(shù)列中,,且,若數(shù)列的前n項和為,求證:.18.(12分)某大型單位舉行了一次全體員工都參加的考試,從中隨機(jī)抽取了20人的分?jǐn)?shù).以下莖葉圖記錄了他們的考試分?jǐn)?shù)(以十位數(shù)字為莖,個位數(shù)字為葉):若分?jǐn)?shù)不低于95分,則稱該員工的成績?yōu)椤皟?yōu)秀”.(1)從這20人中任取3人,求恰有1人成績“優(yōu)秀”的概率;(2)根據(jù)這20人的分?jǐn)?shù)補(bǔ)全下方的頻率分布表和頻率分布直方圖,并根據(jù)頻率分布直方圖解決下面的問題.組別分組頻數(shù)頻率1234①估計所有員工的平均分?jǐn)?shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表);②若從所有員工中任選3人,記表示抽到的員工成績?yōu)椤皟?yōu)秀”的人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望.19.(12分)已知.(1)若曲線在點處的切線也與曲線相切,求實數(shù)的值;(2)試討論函數(shù)零點的個數(shù).20.(12分)已知橢圓經(jīng)過點,離心率為.(1)求橢圓的方程;(2)過點的直線交橢圓于、兩點,若,在線段上取點,使,求證:點在定直線上.21.(12分)已知函數(shù)f(x)ax﹣lnx(a∈R).(1)若a=2時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)設(shè)g(x)=f(x)1,若函數(shù)g(x)在上有兩個零點,求實數(shù)a的取值范圍.22.(10分)如圖,四棱錐中,平面平面,底面為梯形.,且與均為正三角形.為的中點為重心,與相交于點.(1)求證:平面;(2)求三棱錐的體積.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.B【解析】
由,可得,,再將代入即可.【詳解】因為,所以,故.故選:B.【點睛】本題考查平面向量的線性運算性質(zhì)以及平面向量基本定理的應(yīng)用,是一道基礎(chǔ)題.2.C【解析】
把已知等式變形,再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案.【詳解】由(1+i)z=|3+4i|,得z,∴z的虛部為.故選C.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算,考查復(fù)數(shù)的基本概念,是基礎(chǔ)題.3.B【解析】
設(shè)直線的方程為代入拋物線方程,利用韋達(dá)定理可得,,由可知所以可得代入化簡求得參數(shù),即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè),(,).易知直線l的斜率存在且不為0,設(shè)為,則直線l的方程為.與拋物線方程聯(lián)立得,所以,.因為,所以,得,所以,即,,所以.故選:B.【點睛】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系,考查韋達(dá)定理及向量的坐標(biāo)之間的關(guān)系,考查計算能力,屬于中檔題.4.B【解析】
由于實際問題中扇形弧長較小,可將導(dǎo)線的長視為扇形弧長,利用弧長公式計算即可.【詳解】因為弧長比較短的情況下分成6等分,所以每部分的弦長和弧長相差很小,可以用弧長近似代替弦長,故導(dǎo)線長度約為63(厘米).故選:B.【點睛】本題主要考查了扇形弧長的計算,屬于容易題.5.D【解析】
由恒成立,等價于的圖像在的圖像的上方,然后作出兩個函數(shù)的圖像,利用數(shù)形結(jié)合的方法求解答案.【詳解】因為由恒成立,分別作出及的圖象,由圖知,當(dāng)時,不符合題意,只須考慮的情形,當(dāng)與圖象相切于時,由導(dǎo)數(shù)幾何意義,此時,故.故選:D【點睛】此題考查的是函數(shù)中恒成立問題,利用了數(shù)形結(jié)合的思想,屬于難題.6.A【解析】
利用復(fù)數(shù)的乘方和除法法則將復(fù)數(shù)化為一般形式,結(jié)合復(fù)數(shù)的模長公式可求得結(jié)果.【詳解】,,因此,.故選:A.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)模長的計算,同時也考查了復(fù)數(shù)的乘方和除法法則的應(yīng)用,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.7.C【解析】
作出三棱錐的實物圖,然后補(bǔ)成直四棱錐,且底面為矩形,可得知三棱錐的外接球和直四棱錐的外接球為同一個球,然后計算出矩形的外接圓直徑,利用公式可計算出外接球的直徑,再利用球體的表面積公式即可得出該三棱錐的外接球的表面積.【詳解】三棱錐的實物圖如下圖所示:將其補(bǔ)成直四棱錐,底面,可知四邊形為矩形,且,.矩形的外接圓直徑,且.所以,三棱錐外接球的直徑為,因此,該三棱錐的外接球的表面積為.故選:C.【點睛】本題考查三棱錐外接球的表面積,解題時要結(jié)合三視圖作出三棱錐的實物圖,并分析三棱錐的結(jié)構(gòu),選擇合適的模型進(jìn)行計算,考查推理能力與計算能力,屬于中等題.8.D【解析】
畫出函數(shù),將方程看作交點個數(shù),運用圖象判斷根的個數(shù).【詳解】畫出函數(shù)令有兩解,則分別有3個,2個解,故方程的實數(shù)根的個數(shù)是3+2=5個故選:D【點睛】本題綜合考查了函數(shù)的圖象的運用,分類思想的運用,數(shù)學(xué)結(jié)合的思想判斷方程的根,難度較大,屬于中檔題.9.B【解析】
運行程序,依次進(jìn)行循環(huán),結(jié)合判斷框,可得輸出值.【詳解】起始階段有,,第一次循環(huán)后,,第二次循環(huán)后,,第三次循環(huán)后,,第四次循環(huán)后,,所有后面的循環(huán)具有周期性,周期為3,當(dāng)時,再次循環(huán)輸出的,,此時,循環(huán)結(jié)束,輸出,故選:B【點睛】本題主要考查程序框圖的相關(guān)知識,經(jīng)過幾次循環(huán)找出規(guī)律是關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題型.10.A【解析】
易得,過B作x軸的垂線,垂足為T,在中,利用即可得到的方程.【詳解】由已知,得,過B作x軸的垂線,垂足為T,故,又所以,即,所以雙曲線的離心率.故選:A.【點睛】本題考查雙曲線的離心率問題,在作雙曲線離心率問題時,最關(guān)鍵的是找到的方程或不等式,本題屬于容易題.11.A【解析】
根據(jù)題意,分別求出再根據(jù)離散型隨機(jī)變量期望公式進(jìn)行求解即可【詳解】由題可知,,,則解得,由可得,答案選A【點睛】本題考查離散型隨機(jī)變量期望的求解,易錯點為第三次發(fā)球分為兩種情況:三次都不成功、第三次成功12.C【解析】
將圓,化為標(biāo)準(zhǔn)方程為,求得圓心為.根據(jù)圓關(guān)于雙曲線的一條漸近線對稱,則圓心在漸近線上,.再根據(jù)求解.【詳解】已知圓,所以其標(biāo)準(zhǔn)方程為:,所以圓心為.因為雙曲線,所以其漸近線方程為,又因為圓關(guān)于雙曲線的一條漸近線對稱,則圓心在漸近線上,所以.所以.故選:C【點睛】本題主要考查圓的方程及對稱性,還有雙曲線的幾何性質(zhì),還考查了運算求解的能力,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
由圓柱外接球的性質(zhì),即可求得結(jié)果.【詳解】解:由于圓柱的高和球半徑均為2,,則球心到圓柱底面的距離為1,設(shè)圓柱底面半徑為,由已知有,∴,即圓柱的底面半徑為.故答案為:.【點睛】本題考查由圓柱的外接球的性質(zhì)求圓柱底面半徑,屬于基礎(chǔ)題.14.【解析】
利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義計算即可.【詳解】由已知,,所以,又,所以切線方程為,即.故答案為:【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查學(xué)生的基本計算能力,要注意在某點處的切線與過某點的切線的區(qū)別,是一道容易題.15.【解析】
由題知該旋轉(zhuǎn)體為兩個倒立的圓錐底對底組合在一起,根據(jù)圓錐側(cè)面積計算公式可得.【詳解】解:由題知該旋轉(zhuǎn)體為兩個倒立的圓錐底對底組合在一起,在中,,,,如下圖所示,底面圓的半徑為,則所形成的幾何體的表面積為.故答案為:.【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)體的表面積計算問題,屬于基礎(chǔ)題.16.【解析】
建系,設(shè)設(shè),由可得,進(jìn)一步得到的坐標(biāo),再利用數(shù)量積的坐標(biāo)運算即可得到答案.【詳解】以A為坐標(biāo)原點,AD為x軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,設(shè),則,所以,,由,得,即,又,所以,故,,所以.故答案為:2【點睛】本題考查利用坐標(biāo)法求向量的數(shù)量積,考查學(xué)生的運算求解能力,是一道中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(Ⅰ)函數(shù)在上單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增;(Ⅱ);(Ⅲ)證明見解析.【解析】
(Ⅰ)先求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù),通過解關(guān)于導(dǎo)數(shù)的不等式,從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)設(shè)g(x)=f(x)﹣ax,先求出函數(shù)g(x)的導(dǎo)數(shù),通過討論a的范圍,得到函數(shù)的單調(diào)性,從而求出a的最小值;(Ⅲ)先求出數(shù)列是以為首項,1為公差的等差數(shù)列,,,問題轉(zhuǎn)化為證明:,通過換元法或數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明即可.【詳解】解:(Ⅰ)f(x)的定義域為(﹣1,+∞),,當(dāng)時,f′(x)<2,當(dāng)時,f′(x)>2,所以函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.(Ⅱ)設(shè),則,因為x≥2,故,(?。┊?dāng)a≥1時,1﹣a≤2,g′(x)≤2,所以g(x)在[2,+∞)單調(diào)遞減,而g(2)=2,所以對所有的x≥2,g(x)≤2,即f(x)≤ax;(ⅱ)當(dāng)1<a<1時,2<1﹣a<1,若,則g′(x)>2,g(x)單調(diào)遞增,而g(2)=2,所以當(dāng)時,g(x)>2,即f(x)>ax;(ⅲ)當(dāng)a≤1時,1﹣a≥1,g′(x)>2,所以g(x)在[2,+∞)單調(diào)遞增,而g(2)=2,所以對所有的x>2,g(x)>2,即f(x)>ax;綜上,a的最小值為1.(Ⅲ)由(1﹣an+1)(1+an)=1得,an﹣an+1=an?an+1,由a1=1得,an≠2,所以,數(shù)列是以為首項,1為公差的等差數(shù)列,故,,,?,由(Ⅱ)知a=1時,,x>2,即,x>2.法一:令,得,即因為,所以,故.法二:?下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.(1)當(dāng)n=1時,令x=1代入,即得,不等式成立(1)假設(shè)n=k(k∈N*,k≥1)時,不等式成立,即,則n=k+1時,,令代入,得,即:,由(1)(1)可知不等式對任何n∈N*都成立.故.考點:1利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;1、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值;3、數(shù)列的通項公式;4、數(shù)列的前項和;5、不等式的證明.18.(1);(2)①82,②分布列見解析,【解析】
(1)從20人中任取3人共有種結(jié)果,恰有1人成績“優(yōu)秀”共有種結(jié)果,利用古典概型的概率計算公式計算即可;(2)①平均數(shù)的估計值為各小矩形的組中值與其面積乘積的和;②要注意服從的是二項分布,不是超幾何分布,利用二項分布的分布列及期望公式求解即可.【詳解】(1)設(shè)從20人中任取3人恰有1人成績“優(yōu)秀”為事件,則,所以,恰有1人“優(yōu)秀”的概率為.(2)組別分組頻數(shù)頻率120.01260.03380.04440.02①,估計所有員工的平均分為82②的可能取值為0、1、2、3,隨機(jī)選取1人是“優(yōu)秀”的概率為,∴;;;;∴的分布列為0123∵,∴數(shù)學(xué)期望.【點睛】本題考查古典概型的概率計算以及二項分布期望的問題,涉及到頻率分布直方圖、平均數(shù)的估計值等知識,是一道容易題.19.(1)(2)答案不唯一具體見解析【解析】
(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義,設(shè)切點的坐標(biāo),用不同的方式求出兩種切線方程,但兩條切線本質(zhì)為同一條,從而得到方程組,再構(gòu)造函數(shù)研究其最大值,進(jìn)而求得;(2)對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)后得,對分三種情況進(jìn)行一級討論,即,,,結(jié)合函數(shù)圖象的單調(diào)性及零點存在定理,可得函數(shù)零點情況.【詳解】解:(1)曲線在點處的切線方程為,即.令切線與曲線相切于點,則切線方程為,∴,∴,令,則,記,于是,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,∴,于是,.(2),①當(dāng)時,恒成立,在上單調(diào)遞增,且,∴函數(shù)在上有且僅有一個零點;②當(dāng)時,在R上沒有零點;③當(dāng)時,令,則,即函數(shù)的增區(qū)間是,同理,減區(qū)間是,∴.ⅰ)若,則,在上沒有零點;ⅱ)若,則有且僅有一個零點;ⅲ)若,則.,令,則,∴當(dāng)時,單調(diào)遞增,.∴又∵,∴在R上恰有兩個零點,綜上所述,當(dāng)時,函數(shù)沒有零點;當(dāng)或時,函數(shù)恰有一個零點;當(dāng)時,恰有兩個零點.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、切線方程、零點等知識,求解切線有關(guān)問題時,一定要明確切點坐標(biāo).以導(dǎo)數(shù)為工具,研究函數(shù)的圖象特征及性質(zhì),從而得到函數(shù)的零點個數(shù),此時如果用到零點存在定理,必需說明在區(qū)間內(nèi)單調(diào)且找到兩個端點值的函數(shù)值相乘小于0,才算完整的解法.20.(1);(2)見解析.【解析】
(1)根據(jù)題意得出關(guān)于、、的方程組,解出、的值,進(jìn)而可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)點、、,設(shè)直線的方程為,將該直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立,并列出韋達(dá)定理,由向量的坐標(biāo)運算可求得點的坐標(biāo)表達(dá)式,并代入韋達(dá)定理,消去,可得出點的橫坐標(biāo),進(jìn)而可得出結(jié)論.【詳解】(1)由題意得,解得,.所以橢圓的方程是;(2)設(shè)直線的方程為,、、,由,得.,則有,,由,得,由,可得,,,綜上,點在定直線上.【點睛】本題考查橢圓方程的求解,同時也考查了點在定直線上的證明,考查計算能力與推理能力,屬于中等題.21.(1)單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+∞)(2)(3,2e]【解析】
(1)當(dāng)a=2時,求出,求解,即可得出結(jié)論;(2)函數(shù)在上有兩個零點等價于a=2x在上有兩解,構(gòu)造函數(shù),,利用導(dǎo)數(shù)
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