圓的雙切線模型及應(yīng)用 講義-高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

2.圓的雙切線模型及應(yīng)用圓的雙切線模型是圓中常見(jiàn)的一類(lèi)考題，由于其結(jié)論豐富，變化多端，頗受命題人的熱愛(ài)，2020年的理數(shù)全國(guó)一卷的選擇題11題就是一個(gè)典例應(yīng)用.盡管如此，在實(shí)際應(yīng)用中，學(xué)生對(duì)該模型中的相關(guān)幾何結(jié)論的理解和使用仍然顯得辦法不多，因此，本文將系統(tǒng)的梳理一下圓的雙切線模型中的常見(jiàn)結(jié)論及應(yīng)用，希望提升同學(xué)們對(duì)這類(lèi)問(wèn)題的解決能力.如圖1，從圓外任一點(diǎn)向圓引兩條切線，圓心，兩切點(diǎn)，我們把線段的長(zhǎng)度叫做切線長(zhǎng)，設(shè)圓的半徑為，則四邊形具有如下的性質(zhì)：1.；.2.切線長(zhǎng)的計(jì)算：,當(dāng)半徑給定，切線長(zhǎng)最小等價(jià)于最小.3.四點(diǎn)共圓，的外接圓以為直徑（托勒密定理）.4.平分.5.，當(dāng)半徑給定，四邊形最小等價(jià)于最小.6.假設(shè)且.由基本的三角恒等關(guān)系可知：，故可得：.對(duì)使用均值不等式可得最小值.圖17.假設(shè)，圓的方程為（）則切點(diǎn)弦的方程為：.可以看到，該模型中的很多幾何量最終都可以建立為的函數(shù)從而求得最小值，這是應(yīng)該注意的地方.下面我們將通過(guò)幾個(gè)例子詳細(xì)展示圓的雙切線模型在高考以及模考中的應(yīng)用，進(jìn)一步體會(huì)相關(guān)結(jié)論的用途.例1.若是直線：上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作圓：的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，則四邊形面積的最小值為（）A． B． C． D．解析：考察性質(zhì)5.因?yàn)橹本€與圓相切，所以，且所以四邊形面積，又，所以當(dāng)最小時(shí)，最小，四邊形面積的最小值，由圖象可得，最小值即為點(diǎn)C到直線的距離，所以，所以所以四邊形面積的最小值，故選：B例2.（2020全國(guó)1卷）已知⊙M：，直線：，為上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作⊙M的切線，切點(diǎn)為，當(dāng)最小時(shí)，直線的方程為（）A． B． C． D．解析：綜合考察性質(zhì)3，5,7.圓的方程可化為，點(diǎn)到直線的距離為，所以直線與圓相離．依圓的知識(shí)可知，四點(diǎn)四點(diǎn)共圓，且，所以，而，當(dāng)直線時(shí)，，，此時(shí)最小．∴即，由解得，．所以以為直徑的圓的方程為，即，兩圓的方程相減可得：，即為直線的方程．我們?cè)谄綍r(shí)解析幾何的教學(xué)與備考中，應(yīng)該更加深入地總結(jié)出一些常見(jiàn)?？嫉慕馕鰩缀文Ｐ图皯?yīng)用，這樣就更好地展示出了解析幾何的生命力，使得學(xué)生可以從幾何與代數(shù)多角度來(lái)研究問(wèn)題，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).練習(xí)題.1．已知圓：，是直線的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，，則的最小值為（）A． B． C． D．2．設(shè)為圓外一點(diǎn)，過(guò)引圓的切線，兩切點(diǎn)分別為和，若，則（）A．B．C． D．3．過(guò)橢圓上一點(diǎn)分別向圓和圓作切線，切點(diǎn)分別為、，則的最小值為（）A． B． C． D．4．已知點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，，，為切點(diǎn).若的最大值為，則的值為（）A． B． C． D．5．已知圓：，點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，則的最小值為（

）A． B． C． D．6．已知圓，點(diǎn)M為直線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則當(dāng)四邊形周長(zhǎng)取最小值時(shí)，四邊形的外接圓方程為（

）A． B．C． D．7．已知，過(guò)點(diǎn)作圓（為參數(shù)，且）的兩條切線分別切圓于點(diǎn)、，則的最大值為（

）A． B． C． D．8．已知圓，直線，P為l上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓C的兩條切線PA、PB，切點(diǎn)分別A、B，當(dāng)最小時(shí)，直線AB的方程為（

）A． B．C． D．5.解析：圓：化為標(biāo)準(zhǔn)方程：，其圓心,半徑.過(guò)點(diǎn)P引圓C的兩條切線,切點(diǎn)分別為點(diǎn)A、B,如圖：在△PAC中,有，即，變形可得：.設(shè)，則.所以當(dāng)?shù)闹导磝最小時(shí)，的值最大，此時(shí)最小.而的最小值為點(diǎn)C到直線的距離，即，所以.故選：B6.解析：圓的圓心，半徑，點(diǎn)C到直線l的距離，依題意，，四邊形周長(zhǎng)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，此時(shí)直線，由得點(diǎn)，四邊形的外接圓圓心為線段中點(diǎn)，半徑，方程為.故選：D7.解析：圓心，半徑為，圓心在直線上運(yùn)動(dòng)，設(shè)，則，由圓的幾何性質(zhì)可知，所以，，當(dāng)直線與直線垂直時(shí)，取最小值，則取最小值，且，則，則，由雙勾函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在上為增函數(shù)，且，故函數(shù)在上為減函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，取得最大值.故選：C.解析：圓的標(biāo)