《橢圓的簡單幾何性質(zhì)一》課件講解

橢圓的簡單幾何性質(zhì)(1)橢圓的簡單幾何性質(zhì)(1)1復(fù)習(xí)：1.橢圓的定義:到兩定點(diǎn)F1、F2的距離之和為常數(shù)（大于|F1F2|）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是：3.橢圓中a,b,c的關(guān)系是:當(dāng)焦點(diǎn)在X軸上時(shí)當(dāng)焦點(diǎn)在Y軸上時(shí)復(fù)習(xí)：1.橢圓的定義:到兩定點(diǎn)F1、F2的距離之和為常數(shù)（大2二、橢圓簡單的幾何性質(zhì)-a≤x≤a,-b≤y≤b

知

橢圓落在x=±a,y=±b組成的矩形中oyB2B1A1A2F1F2cab1、范圍：二、橢圓簡單3橢圓的對(duì)稱性YXOP（x，y）P1（-x，y）P2（-x，-y）橢圓的對(duì)稱性YXOP（x，y）P1（-x，y）P2（-x，-42、對(duì)稱性：oyB2B1A1A2F1F2cab從圖形上看，橢圓關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱。從方程上看：（1）把x換成-x方程不變，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；（2）把y換成-y方程不變，圖象關(guān)于x軸對(duì)稱；（3）把x換成-x，同時(shí)把y換成-y方程不變，圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱。2、對(duì)稱性：oyB2B1A1A2F1F2cab從圖形上看，53、橢圓的頂點(diǎn)令x=0，得y=？，說明橢圓與y軸的交點(diǎn)？令y=0，得x=？說明橢圓與x軸的交點(diǎn)？*頂點(diǎn)：橢圓與它的對(duì)稱軸的四個(gè)交點(diǎn)，叫做橢圓的頂點(diǎn)。*長軸、短軸：線段A1A2、B1B2分別叫做橢圓的長軸和短軸。a、b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。oyB2B1A1A2F1F2cab(0,b)(a，0)(0,-b)(-a，0)3、橢圓的頂點(diǎn)令x=0，得y=？，說明橢圓與y軸的交點(diǎn)6123-1-2-3-44y123-1-2-3-44y12345-1-5-2-3-4x12345-1-5-2-3-4x根據(jù)前面所學(xué)有關(guān)知識(shí)畫出下列圖形（1）（2）A1

B1

A2

B2

B2

A2

B1

A1

123-1-2-3-44y123-1-2-3-44y123474、橢圓的離心率e(刻畫橢圓扁平程度的量)離心率：橢圓的焦距與長軸長的比：叫做橢圓的離心率。[1]離心率的取值范圍：[2]離心率對(duì)橢圓形狀的影響：0<e<11）e越接近1，c就越接近a，從而b就越小，橢圓就越扁2）e越接近0，c就越接近0，從而b就越大，橢圓就越圓[3]e與a,b的關(guān)系:思考：當(dāng)e＝0時(shí)，曲線是什么？當(dāng)e＝1時(shí)曲線又是什么？oyB2B1A1A2F1F2cab4、橢圓的離心率e(刻畫橢圓扁平程度的量)離心率：橢圓的焦距8《橢圓的簡單幾何性質(zhì)一》課件講解9標(biāo)準(zhǔn)方程范圍對(duì)稱性

頂點(diǎn)坐標(biāo)焦點(diǎn)坐標(biāo)半軸長離心率a、b、c的關(guān)系|x|≤a,|y|≤b關(guān)于x軸、y軸成軸對(duì)稱；關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)長半軸長為a,短半軸長為b.a>b|x|≤b,|y|≤a同前(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)(0,c)、(0,-c)同前同前同前(0<e<1)(e越接近于1越扁)標(biāo)準(zhǔn)方程范圍對(duì)稱性頂點(diǎn)坐標(biāo)焦點(diǎn)坐標(biāo)半軸長離心率|x|≤10例1已知橢圓方程為9x2+25y2=225,

它的長軸長是：

。短軸長是：

。焦距是：

。離心率等于：

。焦點(diǎn)坐標(biāo)是：

。頂點(diǎn)坐標(biāo)是：

。

外切矩形的面積等于：

。

106860解題的關(guān)鍵：1、將橢圓方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程明確a、b2、確定焦點(diǎn)的位置和長軸的位置例1已知橢圓方程為9x2+25y2=225,它的11例2

求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程⑴經(jīng)過點(diǎn)P(－3,0)、Q(0,－2)；⑵長軸長等于20，離心率3/5。⑶一焦點(diǎn)將長軸分成２：１的兩部分，且經(jīng)過點(diǎn)解：⑴方法一：設(shè)方程為mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n），將點(diǎn)的坐標(biāo)方程，求出m＝1/9,n＝1/4。方法二：利用橢圓的幾何性質(zhì)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)就是橢圓的頂點(diǎn)，于是焦點(diǎn)在x軸上，且點(diǎn)P、Q分別是橢圓長軸與短軸的一個(gè)端點(diǎn)，故a＝3，b＝2，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

注：待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟：⑴定位；⑵定量⑶⑵或

或例2求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解：⑴方法一：設(shè)方程為12例2、求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（3）長軸長為6,中心O,焦點(diǎn)F,頂點(diǎn)A構(gòu)成的角OFA的余弦值為2/3.解：由題知a=3cos∠OFA=oFA∴c=2，b2=a2-c2=5因此所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為例2、求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：解：由題知a=313與橢圓4x2+9y2=36有相同的焦距，且離心率為例3、求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：解：由已知得所求橢圓2c=2∴a=5，b2=a2-c2=20故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

若將題設(shè)中的“焦距”改為“焦點(diǎn)”，結(jié)結(jié)論又如何？與橢圓4x2+9y2=36有相同的焦距，且離例3、求適合下列14例4、已知F1是橢圓的左焦點(diǎn)，A、B分別是橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，P為橢圓上的點(diǎn)，當(dāng)PF1⊥F1A，PO∥AB（O為橢圓中心）時(shí)，求橢圓的離心率。OBAPF1解：設(shè)橢圓的方程為：又KOP=KAB因此b=c例4、已知F1是橢圓的左焦點(diǎn)，A、B分別是橢圓的右頂點(diǎn)和上頂15練習(xí)1、若橢圓的焦距長等于它的短軸長，則其離心率為

。2、若橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)及一個(gè)短軸端點(diǎn)構(gòu)成正三角形，則其離心率為

。3、若橢圓的的兩個(gè)焦點(diǎn)把長軸分成三等分，則其離心率為

。4、已知橢圓的離心率為1/2，則m=

.1/34或－5/41/2練習(xí)1、若橢圓的焦距長等于它的短軸長，則其離心率為16練習(xí)：1.根據(jù)下列條件，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。①長軸長和短軸長分別為8和6，焦點(diǎn)在x軸上②長軸和短軸分別在y軸，x軸上，經(jīng)過P(-2,0)，Q(0,-3)兩點(diǎn).③一焦點(diǎn)坐標(biāo)為（－3，0）一頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，5）④兩頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，±6），且經(jīng)過點(diǎn)（5，4）⑤焦距是12，離心率是0.6，焦點(diǎn)在x軸上。2.已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為F（6，0）點(diǎn)B，C是短軸的兩端點(diǎn)，△FBC是等邊三角形，求這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。練習(xí)：2.已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為F（6，0）點(diǎn)B，C是短軸的173、（高考）橢圓的焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在橢圓上，如果線段PF1的中點(diǎn)在y軸上，那么|PF1|是|PF2|的（）A、7倍 B、5倍 C、4倍 D、3倍4、我們把離心率等于黃金比的橢圓稱為優(yōu)美橢圓，設(shè)是優(yōu)美橢圓，F(xiàn)，A分別是它的左焦點(diǎn)和右頂點(diǎn)，B是它短軸的一個(gè)端點(diǎn)，則∠ABF=A、60° B、75° C、90° D、120°3、（高考）橢圓的焦點(diǎn)F1，F(xiàn)218小結(jié)：本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了橢圓的幾個(gè)簡單幾何性質(zhì)：范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)坐標(biāo)、離心率等概念及其幾何意義。了解了研究橢圓的幾個(gè)基本量a，b，c，e及頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、對(duì)稱中心及其相互之間的關(guān)系，這對(duì)我們解決橢圓中的相關(guān)問題有很大的幫助，給我們以后學(xué)習(xí)圓錐曲線其他的兩種曲線扎實(shí)了基礎(chǔ)。在解析幾何的學(xué)習(xí)中，我們更多的是從方程的形式這個(gè)角度來挖掘題目中的隱含條件，需要我們認(rèn)識(shí)并熟練掌握數(shù)與形的聯(lián)系。在本節(jié)課中，我們運(yùn)用了幾何性質(zhì)，待定系數(shù)法來求解橢圓方程，在解題過程中，準(zhǔn)確體現(xiàn)了函數(shù)與方程以及分類討論的數(shù)學(xué)思想。

小結(jié)：本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了橢圓的幾個(gè)簡單幾何性質(zhì)：范圍、對(duì)稱性、19例5：設(shè)M為橢圓上的一點(diǎn),F1,F2為橢圓的焦點(diǎn),如果∠MF1F2=75°，∠MF2F1=15°，求橢圓的離心率。例5：設(shè)M為橢圓上的201、用待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟（1）先定位：確定焦點(diǎn)的位置（2）再定形：求a,b的值。2、求橢圓的離心率（1）求出a,b,c，再求其離心率（2）得a,c的齊次方程，化為e的方程求小結(jié)1、用待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟小結(jié)21作業(yè)1、橢圓的一焦點(diǎn)與長軸較近端點(diǎn)的距離為焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)連線互相垂直，求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。2、已知橢圓在x軸和y軸正半軸上兩頂點(diǎn)分別為A，B，原點(diǎn)到直線AB的距離等于，又該橢圓的離心率為，求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。3、點(diǎn)M（x,y）到定點(diǎn)（2，0）的距離與到定直線x=8的距離之比為的點(diǎn)的軌跡方程是什么？軌跡是什么？作業(yè)1、橢圓的一焦點(diǎn)與長軸較近端點(diǎn)的距離為22(4)P為橢圓上任意一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是焦點(diǎn)，則∠F1PF2的最大值是

.(4)P為橢圓上任意一點(diǎn)，23橢圓的簡單幾何性質(zhì)(1)橢圓的簡單幾何性質(zhì)(1)24復(fù)習(xí)：1.橢圓的定義:到兩定點(diǎn)F1、F2的距離之和為常數(shù)（大于|F1F2|）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是：3.橢圓中a,b,c的關(guān)系是:當(dāng)焦點(diǎn)在X軸上時(shí)當(dāng)焦點(diǎn)在Y軸上時(shí)復(fù)習(xí)：1.橢圓的定義:到兩定點(diǎn)F1、F2的距離之和為常數(shù)（大25二、橢圓簡單的幾何性質(zhì)-a≤x≤a,-b≤y≤b

知

橢圓落在x=±a,y=±b組成的矩形中oyB2B1A1A2F1F2cab1、范圍：二、橢圓簡單26橢圓的對(duì)稱性YXOP（x，y）P1（-x，y）P2（-x，-y）橢圓的對(duì)稱性YXOP（x，y）P1（-x，y）P2（-x，-272、對(duì)稱性：oyB2B1A1A2F1F2cab從圖形上看，橢圓關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱。從方程上看：（1）把x換成-x方程不變，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；（2）把y換成-y方程不變，圖象關(guān)于x軸對(duì)稱；（3）把x換成-x，同時(shí)把y換成-y方程不變，圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱。2、對(duì)稱性：oyB2B1A1A2F1F2cab從圖形上看，283、橢圓的頂點(diǎn)令x=0，得y=？，說明橢圓與y軸的交點(diǎn)？令y=0，得x=？說明橢圓與x軸的交點(diǎn)？*頂點(diǎn)：橢圓與它的對(duì)稱軸的四個(gè)交點(diǎn)，叫做橢圓的頂點(diǎn)。*長軸、短軸：線段A1A2、B1B2分別叫做橢圓的長軸和短軸。a、b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。oyB2B1A1A2F1F2cab(0,b)(a，0)(0,-b)(-a，0)3、橢圓的頂點(diǎn)令x=0，得y=？，說明橢圓與y軸的交點(diǎn)29123-1-2-3-44y123-1-2-3-44y12345-1-5-2-3-4x12345-1-5-2-3-4x根據(jù)前面所學(xué)有關(guān)知識(shí)畫出下列圖形（1）（2）A1

B1

A2

B2

B2

A2

B1

A1

123-1-2-3-44y123-1-2-3-44y1234304、橢圓的離心率e(刻畫橢圓扁平程度的量)離心率：橢圓的焦距與長軸長的比：叫做橢圓的離心率。[1]離心率的取值范圍：[2]離心率對(duì)橢圓形狀的影響：0<e<11）e越接近1，c就越接近a，從而b就越小，橢圓就越扁2）e越接近0，c就越接近0，從而b就越大，橢圓就越圓[3]e與a,b的關(guān)系:思考：當(dāng)e＝0時(shí)，曲線是什么？當(dāng)e＝1時(shí)曲線又是什么？oyB2B1A1A2F1F2cab4、橢圓的離心率e(刻畫橢圓扁平程度的量)離心率：橢圓的焦距31《橢圓的簡單幾何性質(zhì)一》課件講解32標(biāo)準(zhǔn)方程范圍對(duì)稱性

頂點(diǎn)坐標(biāo)焦點(diǎn)坐標(biāo)半軸長離心率a、b、c的關(guān)系|x|≤a,|y|≤b關(guān)于x軸、y軸成軸對(duì)稱；關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)長半軸長為a,短半軸長為b.a>b|x|≤b,|y|≤a同前(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)(0,c)、(0,-c)同前同前同前(0<e<1)(e越接近于1越扁)標(biāo)準(zhǔn)方程范圍對(duì)稱性頂點(diǎn)坐標(biāo)焦點(diǎn)坐標(biāo)半軸長離心率|x|≤33例1已知橢圓方程為9x2+25y2=225,

它的長軸長是：

。短軸長是：

。焦距是：

。離心率等于：

。焦點(diǎn)坐標(biāo)是：

。頂點(diǎn)坐標(biāo)是：

。

外切矩形的面積等于：

。

106860解題的關(guān)鍵：1、將橢圓方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程明確a、b2、確定焦點(diǎn)的位置和長軸的位置例1已知橢圓方程為9x2+25y2=225,它的34例2

求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程⑴經(jīng)過點(diǎn)P(－3,0)、Q(0,－2)；⑵長軸長等于20，離心率3/5。⑶一焦點(diǎn)將長軸分成２：１的兩部分，且經(jīng)過點(diǎn)解：⑴方法一：設(shè)方程為mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n），將點(diǎn)的坐標(biāo)方程，求出m＝1/9,n＝1/4。方法二：利用橢圓的幾何性質(zhì)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)就是橢圓的頂點(diǎn)，于是焦點(diǎn)在x軸上，且點(diǎn)P、Q分別是橢圓長軸與短軸的一個(gè)端點(diǎn)，故a＝3，b＝2，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

注：待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟：⑴定位；⑵定量⑶⑵或

或例2求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解：⑴方法一：設(shè)方程為35例2、求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（3）長軸長為6,中心O,焦點(diǎn)F,頂點(diǎn)A構(gòu)成的角OFA的余弦值為2/3.解：由題知a=3cos∠OFA=oFA∴c=2，b2=a2-c2=5因此所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為例2、求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：解：由題知a=336與橢圓4x2+9y2=36有相同的焦距，且離心率為例3、求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：解：由已知得所求橢圓2c=2∴a=5，b2=a2-c2=20故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

若將題設(shè)中的“焦距”改為“焦點(diǎn)”，結(jié)結(jié)論又如何？與橢圓4x2+9y2=36有相同的焦距，且離例3、求適合下列37例4、已知F1是橢圓的左焦點(diǎn)，A、B分別是橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，P為橢圓上的點(diǎn)，當(dāng)PF1⊥F1A，PO∥AB（O為橢圓中心）時(shí)，求橢圓的離心率。OBAPF1解：設(shè)橢圓的方程為：又KOP=KAB因此b=c例4、已知F1是橢圓的左焦點(diǎn)，A、B分別是橢圓的右頂點(diǎn)和上頂38練習(xí)1、若橢圓的焦距長等于它的短軸長，則其離心率為

。2、若橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)及一個(gè)短軸端點(diǎn)構(gòu)成正三角形，則其離心率為

。3、若橢圓的的兩個(gè)焦點(diǎn)把長軸分成三等分，則其離心率為

。4、已知橢圓的離心率為1/2，則m=

.1/34或－5/41/2練習(xí)1、若橢圓的焦距長等于它的短軸長，則其離心率為39練習(xí)：1.根據(jù)下列條件，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。①長軸長和短軸長分別為8和6，焦點(diǎn)在x軸上②長軸和短軸分別在y軸，x軸上，經(jīng)過P(-2,0)，Q(0,-3)兩點(diǎn).③一焦點(diǎn)坐標(biāo)為（－3，0）一頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，5）④兩頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，±6），且經(jīng)過點(diǎn)（5，4）⑤焦距是12，離心率是0.6，焦點(diǎn)在x軸上。2.已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為F（6，0）點(diǎn)B，C是短軸的兩端點(diǎn)，△FBC是等邊三角形，求這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。練習(xí)：2.已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為F（6，0）點(diǎn)B，C是短軸的403、（高考）橢圓的焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在橢圓上，如果線段PF1的中點(diǎn)在y軸上，那么|PF1|是|PF2|的（）A、7倍 B、5倍 C、4倍 D、3倍4、我們把離心率等于黃金比的橢圓稱為優(yōu)美橢圓，設(shè)是優(yōu)美橢圓，F(xiàn)，A分別是它的左焦點(diǎn)和右頂點(diǎn)，B是它短軸的一個(gè)端點(diǎn)，則∠ABF=A、60° B、75° C、90° D、120°3、（高考）橢圓的焦點(diǎn)F1，F(xiàn)241小結(jié)：本節(jié)課我們學(xué)