對線性代數(shù)內(nèi)容需求進行調(diào)查的建議

對線性代數(shù)內(nèi)容需求作深入調(diào)查的建議各位專家：為了做好線性代數(shù)的課程改革，我們希望各對理工經(jīng)管各專業(yè)和課程進行一次廣泛的調(diào)查。希望得到您們的支持。一、線性代數(shù)大綱的現(xiàn)存問題線性代數(shù)課程是在上世紀50年代末進入美國大學教學計劃的［1］，開始時專為數(shù)學系的研究生開設(shè)，以后隨著計算機的發(fā)展，其重要性日益顯著，在1965年被美國數(shù)學計劃委員會(CUPM)列為本科課程。并逐漸為理工經(jīng)管各非數(shù)學專業(yè)的學生所選修。中國大概比美國晚了20-30年，在上世紀80年代時進入教學計劃［2］，1995年教育部基礎(chǔ)數(shù)學分教指委正式將之列為本科必修的三門基礎(chǔ)數(shù)學之一，并參照美國(CUPM)的要求，制定了相應的大綱。目前每年修此課的學生達數(shù)百萬，線性代數(shù)教師也數(shù)以萬計。線性代數(shù)進入大學本科，是一個很大的進步，特別因為它可以為數(shù)學和其他工程技術(shù)課程的計算現(xiàn)代化打下良好的基礎(chǔ)。但是，由于實施時間才20年，計算技術(shù)發(fā)展又極其迅速，其目前的大綱又是很早制定的，存在著不少的問題。主要表現(xiàn)為：與科學計算發(fā)展的銜接問題：美國(CUPM)的大綱是參照EmmyNoether在1941年所提出的向量空間的體系制定的，她是搞近世代數(shù)的，顯然帶有很強的滿足數(shù)學專業(yè)的需求傾向。那時計算機還沒有發(fā)明，線性代數(shù)可以幫助推理，卻不能夠幫助算題。隨著計算機的出現(xiàn)，工程上大量用矩陣來解題，線性代數(shù)的主要用途已經(jīng)轉(zhuǎn)向數(shù)值計算，現(xiàn)有大綱對此幾乎沒有任何體現(xiàn)。與教育對象水平的匹配問題：原來這門課的大綱是對數(shù)學系少數(shù)研究生的。在幾十年中，大綱幾乎沒變，而修課的卻成為廣大的非數(shù)學系低年級學生，中國的有些學校在大一上就開此課，那時學生連三維空間的概念尚沒建立(剛學制圖和投影幾何)，微積分也沒講到雙變量，工程感性知識幾乎空白，在這樣的基礎(chǔ)上要他們接受N維空間的抽象，從教育學上也違背了認識論的規(guī)律。加上近十幾年學生人數(shù)擴招劇增，平均水平下降，對數(shù)學的瘦身和平民化提出了更高的要求，線性代數(shù)的的內(nèi)容與此更不適應。與非數(shù)學專業(yè)的磨合問題：非數(shù)學專業(yè)的后續(xù)課程存在著大量的代數(shù)問題，許多微積分問題都化為代數(shù)方程求解，其中最多的是線性的，所以線性代數(shù)本應該成為后續(xù)課最為有用的數(shù)學工具。然而，90年代之前畢業(yè)的各課教師，大都沒有修過線性代數(shù)，更沒有將它與計算機結(jié)合的實踐。他們在教材和上課中用的還是傳統(tǒng)的代入法和消去法，以致后續(xù)課使用線性代數(shù)者寥寥無幾，而現(xiàn)代科學技術(shù)中需要解決的卻是高階、復數(shù)、超定的線性方程組，要用計算機與線性代數(shù)的結(jié)合才能解決，這樣的要求在課程大綱中也沒有反映?？梢耘c微積分做一個比較，微積分列入大學基礎(chǔ)數(shù)學課已有100~200年的歷史，它與工程專業(yè)的磨合進行了無數(shù)次，所以它的每一個部分幾乎都有明確的工程應用背景和例題。而線性代數(shù)的大綱從提出到現(xiàn)在就基本沒有修改過(除了與空間解析幾何合并外)，多數(shù)教材舉不出幾個工程實例，大部分學完此課的畢業(yè)生和許多教師至今也說不出學本課的應用目的，只好含糊地說是“培養(yǎng)抽象思維能力”，因此學生更少有學習的主動性。二、對線性代數(shù)已有的需求調(diào)查和改革行動美國的線性代數(shù)教育從1990年起開始了一次大的改革，該年1月，一些有名望的數(shù)學家們組成了線性代數(shù)大綱研究組（LinearAlgebraCurriculumStudyGroup-LACSG）探究線性代數(shù)教育如何滿足非數(shù)學專業(yè)的不同需求。同年，在美國國家科學基金會（NSF）資助的一個大會上，在聽取了一些工程專家意見的基礎(chǔ)上，提出了五條重要改革建議，簡稱為LACSGRecommendations*］。1992年NSF又資助了一個用軟件工具增強線性代數(shù)教學（英文縮寫為ATLAST）計劃。從1992到1997六年中培訓了大量會使用軟件工具的教師，編出了教材和習題集，此后美國的線性代數(shù)教材幾乎全部都采用了MATLAB語言。從工科課程廣泛使用計算機的需求出發(fā)，我們從1995年開始編寫把MATLAB應用于各門課程的教材［4?6］，到2005年才深刻認識到，要在各門課程中用好計算機，關(guān)鍵要學好用好線性代數(shù)；反過來說，要改革好線性代數(shù)，必須弄清后續(xù)課程以及未來工作對線性代數(shù)的需求，才能有的放矢，立于不敗之地。我們十多年的工作實際上是做了一個后續(xù)課的需求調(diào)查（見附表的A）。其實大學本科各課所用的數(shù)學主要是代數(shù)和微積分（含微分方程），大量的微積分問題早都化為了代數(shù)問題（如拉普拉斯變換）。計算機出現(xiàn)后，微積分更變成了代數(shù)數(shù)值計算，而且多是化為線性的。因此，會用計算機和矩陣解決高階、復數(shù)和超定線性方程組，也就能解決各課中的大部分數(shù)學問題。這么好、這么有用的工具，目前由于沒有與計算機結(jié)合，卻沒有用武之地。在教師、學校、基礎(chǔ)數(shù)學課程分教指委支持下，經(jīng)過幾年試點后，在2009年初，由高教司主持立項，批準我們承擔“用MATLAB及建模實踐改造工科線性代數(shù)”的專題，聯(lián)合16所大學，共同實施。第一步就是將“普及機算”列為主要目標。這一改革受到了參改師生的歡迎，許多參加試點的老師還提出了他們各自專業(yè)中用線性代數(shù)解決問題的實例，不但進一步證明線性代數(shù)與機算結(jié)合后的巨大威力，而且激發(fā)了學生學好這門課的自覺性，有的學生還主動地開發(fā)了利用線性代數(shù)解決問題的項目。這是過去從未出現(xiàn)過的創(chuàng)新行為。我們把這些成果也作為需求調(diào)查的一部分放在附表的B部分中。以上兩組調(diào)查的需求，主要都集中在方程組求解和矩陣應用方面，我們很需要知道對最難懂的向量空間部分，究竟有什么工程需求？能否瘦身的問題。現(xiàn)在我們知道的對向量空間的需求有以下幾方面：屬于線性代數(shù)自身需要的有：①特征值和特征方程的幾何意義；②超定方程最小二乘解的公式推導；③二次型的正定負定性；④考研的需要等。但除了②是來自本課以外低年級課程的需求外，其他的還不能認為是外部需求。游宏教授的一封信中談到了保密編碼中要用到向量空間的概念。廖振鵬院士的一封信中談到他從事波動數(shù)值模擬研究和應用多年，必須要進行涉及上百萬自由度系統(tǒng)算法的研究，這時向量空間和精度分析概念就非常重要，現(xiàn)在幾乎不講的svd分解是非常重要的。為了避免修訂計劃中出現(xiàn)片面性，我們希望各方面的專家，提供不同層次的學生可能面臨的線性代數(shù)問題及對內(nèi)容的需求，特別是對向量空間的需求。三、對課程大綱編制方法的分析從現(xiàn)有調(diào)查結(jié)果可以看出，過去線性代數(shù)大綱的編制方法就不能滿足課程發(fā)展的需求。第一、用一個統(tǒng)一的大綱來指導全國那么多不同專業(yè)、不同層次的幾百萬學生上課是不科學的。對線性代數(shù)的要求和內(nèi)容應該區(qū)別對待。從大的方面說，線性代數(shù)可以分為矩陣計算應用和線性向量空間兩大部分，前者的特點是：①比較容易懂；②應用面很廣；理工經(jīng)管各專業(yè)都有用；③在本科階段就要用。后者的特點是：①概念抽象難懂；②需求面較窄，主要用于數(shù)學專業(yè)或工程算法研究；③在研究工作階段才有用。因此，較科學的方法是把這門課分成兩門課。第一門為基礎(chǔ)（或初等）線性代數(shù)，以矩陣應用為主，適當介紹初等的向量空間概念，作為低年級公共的必修課；第二門可命名為高等線性代數(shù)，以向量空間和數(shù)值分析為主，作為數(shù)學系或其他專業(yè)的高年級選修課。對非數(shù)學專業(yè)的本科，重點要放在矩陣應用上。第二、按現(xiàn)在的教指委的組織形式，制訂數(shù)學的教學計劃由清一色的數(shù)學老師參與，這就看不到學科的交叉。其實對于工程數(shù)學而言，應該用理工結(jié)合的辦法，因為少了需求方的參與，會造成方向性的錯誤。為了彌補這一缺陷，我們想利用本項目中有大批工科院校教師參與的特點，把需求這一塊突出體現(xiàn)出來，以便為教指委制訂這樣的大綱提供更詳細的原始根據(jù)。所以希望各位專家，不管是搞數(shù)學的或是搞理工經(jīng)管的，是搞理論研究的或是實際應用的，是帶領(lǐng)高層次研究人才或是帶領(lǐng)大專人才的，都能盡可能詳細地提出具體的需求，使得大綱的制定更加切合實際。第三、需求牽引、或問題驅(qū)動，就是要從實際情況出發(fā)，來解決問題。美國LACSG五條建議的基本思路就是區(qū)別對待：第①、⑤條強調(diào)了區(qū)別數(shù)學系和非數(shù)學專業(yè)；第②條講了區(qū)別矩陣代數(shù)與向量空間；第③條講了區(qū)別學生的基礎(chǔ)；第④條強調(diào)了教育現(xiàn)代化和計算機；分析需求的目的就是為了使教師和學生都可以為適當?shù)哪繕恕⒂米钌俚臅r間、學習最切實有用的內(nèi)容。既使得學生用有限的學習時間學到最需要的東西，也節(jié)約了國家寶貴的教學資源。所有這些，都是為了使教學工作建立在的科學基礎(chǔ)上，這里最需要的是了解情況，調(diào)查需求，做到“有的放矢”。我想，這個調(diào)查如果做好了，教學大綱的制定就會準確和有效得多。我們希望，有更多專家和教師支持我們的調(diào)查工作，把您們的實踐經(jīng)驗、看法或建議告訴我們。最好用電子郵件，也可以用紙質(zhì)信件。電子郵址是：hchchen1934@（陳懷?。┖蛒dgaosp9@（高淑萍）郵寄地址是：（710071）西安電子科技大學理學院轉(zhuǎn)線性代數(shù)改革項目組陳懷琛、高淑萍。在今年年底之前反饋給我們的意見將可能反映到項目的結(jié)題調(diào)查報告中，便于基礎(chǔ)數(shù)學課程分教指委修訂大綱，故希望大家抓緊，謝謝！項目組組長陳懷琛、高淑萍參考文獻：[1]AlanTucker，課程發(fā)展史⑵游宏：關(guān)于線性代數(shù)課程教學的幾點思考[3]LACSG建議[1][3]兩篇文章來源于MAA推薦的論文集ResourcessforTeachingLinearAlgebra,西安電子科技大學有這本書。附表：對線性代數(shù)課程的需求調(diào)查（初步結(jié)果）附表對線性代數(shù)課程的需求調(diào)查（初步結(jié)果）本科后續(xù)課程對線性代數(shù)課程內(nèi)容的需求調(diào)查（根據(jù)過去十余年寫的幾本科學計算教材）課程名稱命題用到線性代數(shù)課程中的內(nèi)容矩陣四則運算及線性代數(shù)方程組的建立與求解（n》5）向量空間線性變換（矩陣乘）特征向量特征值適定(nN5)復數(shù)系數(shù)超定方程化學化學方程配平V高等數(shù)學多頊式插值和擬合插值擬合(nA5)多邊形面積計算V多變量函數(shù)極值問題n=2V物理實驗實驗數(shù)據(jù)處理參數(shù)擬合配料問題理論力學靜力學平衡V(n》5)剛體運動學(n=3,4)V材料力學靜不定問題V(nN5)剛度與柔度矩陣機械振動多自由度振動V(nN4)V(nA2)傳熱學平板穩(wěn)態(tài)溫度分布V(nN5)測量學圓截面半徑測量V(nA5)衛(wèi)星軌道參數(shù)測量V(nA5)計算機圖形學二維圖形變換(n=2)V(n=2)V電路基爾霍夫方程直流電路交流電路網(wǎng)絡(luò)傳遞函數(shù)分段（矩陣乘）信號與系統(tǒng)信號流圖V零輸入響應V晶體管放大頻響計算數(shù)字信號處理系統(tǒng)函數(shù)計算最優(yōu)濾波器頻譜計算(n=1024)自動控制原理系統(tǒng)函數(shù)計算文件檢索模型V經(jīng)濟管理價格平衡模型V宏觀經(jīng)濟模型V人口遷徙模型陳懷琛，MATLAB及其在理工課程中的應用指南（^一五規(guī)劃教材版，即第三版），西安電子科技大學出版社，2007年7月，陳懷琛，龔杰民，線性代數(shù)實踐及MATLAB入門，電子工業(yè)出版社，2005年10月第一版，2008年10月第二版。陳懷琛，高淑萍、楊威，工程線性代數(shù)（MATLAB版），電子工業(yè)出版社，2007年7月專業(yè)應用調(diào)查：以下是在2009年教學改革實踐中部分教師結(jié)合自己教的專業(yè)課程、畢業(yè)設(shè)計等專業(yè)需求增補的一些線性代數(shù)應用由于在中國，線性代數(shù)課在上世紀80年代末才開始進入大學教學計劃，運用計算機解決專業(yè)中的矩陣問題還只是:師開始接觸此項工作。下面的材料主要是西安電子科技大學2009年第一年試點中匯集的，非常局限。我們歡迎所:的老師，都能把線性代數(shù)運用到自己的課程和專業(yè)中去，并把結(jié)果轉(zhuǎn)發(fā)給我們。在本項目今年末結(jié)題時，我們將把給全國更多的老師參考，把線性代數(shù)課程改革的成果和應用實例在更大范圍內(nèi)推廣。對某一專業(yè)領(lǐng)域的線性代數(shù)需求進行分析也將有助于推動科學計算在該專業(yè)的全程普及，加快教育現(xiàn)代化的步伐。課程名稱命題用到線性代數(shù)課程中的內(nèi)容線性代數(shù)方程組的建立與求解(nN5)向量空間線性變換(矩陣乘)特征向量特征值適定(nN5)復數(shù)系數(shù)超定方程保密編碼Hill編碼V圖像處理V頻譜計算圖像匹配VV通信系統(tǒng)VV網(wǎng)絡(luò)搜索引擎Google的pageRankVn>1000天線陣列計算方向圖優(yōu)化和譜分析V經(jīng)濟管理投入產(chǎn)出模型V電路電網(wǎng)絡(luò)分析自動控制狀態(tài)空間模型結(jié)構(gòu)力學結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的剛度矩陣專家調(diào)查：從后續(xù)課程和專業(yè)應用進行調(diào)查，雖然非常實際，但往往還有些缺乏深度。因此我們還希望向數(shù)學界、教育界進行調(diào)查，希望他們能夠積極提供意見和建議。由于90年代以前畢業(yè)的大學生多數(shù)都沒有學過線性代數(shù)，對于并，的專家們，要提出對線性代數(shù)需求的意見，難免還要另看一些書，多費一些時間。而我們特別希望的是跨行業(yè)、跨“旁觀者清”！哈爾濱工程大學的廖振鵬院士帶了一個好頭，是對我們工作的極大支持，在此我們謹表示深深的敬們的寶貴指教。、廖振鵬院士的信:陳老師：您好！2月1日來信收悉。很抱歉，遲復了。利用MATLAB使線性代數(shù)成為在我國大學教學全程中使用計算機的切入點，我覺得很好。您的工作在這個方向邁出了實在的一步，我十分敬佩您的敬業(yè)精神。我想聯(lián)系您對后續(xù)工作的考慮說說自己的想法。首先，“對線性代數(shù)的需求作深入調(diào)查”是個好想法。我想結(jié)合自己的工作體會談談對這門課程的重要性的認識。我在工程力學的一個狹小領(lǐng)域工作，難免局限的看法僅供參考。我從事波動數(shù)值模擬研究和應用多年，主要是協(xié)助工程師處理實際問題，如我國西南地區(qū)高壩的抗震設(shè)計問題。這類問題和工程中的電磁波數(shù)值模擬問題相似，常涉及上百萬自由度系統(tǒng)的代數(shù)方程求解。由于工程項目的時限性，參與人員關(guān)注的是解決實際問題，往往不得不用權(quán)宜辦法完成任務，因為，相關(guān)的科學基礎(chǔ)問題并未解決。近年來我們轉(zhuǎn)而研究這類基礎(chǔ)問題，即雙曲型偏微分方程初邊值問題數(shù)值解的穩(wěn)定算法。由于數(shù)學家在這方面做過不少工作，決定閱讀和消化他們的文章（包括三、四十年前寫的），看看他們做到什么程度。我和我的學生用了兩、三年時間才弄清楚：第一、在他們的工作中確實包含有對解決我們的問題有價值的思想，第二、問題遠未圓滿解決。我們目前就是在這些有價值的思想的啟發(fā)下繼續(xù)工作的。這一經(jīng)歷給我留下的印象之一是線性代數(shù)基本概念的重要性。因為，這些概念是從那些難懂的繁復文章中抓住要領(lǐng)的前提。就大部分工科學生而言，通過線性代數(shù)學會用軟件求解Ax=b和Ax=x或許夠了，但是，對于將來從事科學研究的學生，我覺得不夠。他們還需要了解與求解代數(shù)方程緊密相連的向量空間概念。代數(shù)和幾何的這種聯(lián)系不僅美，而且很有用。就現(xiàn)代工程中的數(shù)學問題而言，問題的解常不