【教學(xué)課件】環(huán)節(jié)三 不同函數(shù)增長的差異

對數(shù)函數(shù)環(huán)節(jié)三不同函數(shù)增長的差異問題1

在4.2.1的例2的第（1）小問中，我們進一步研究了這一節(jié)的問題1，比較了A，B兩地旅游收入的長期變化情況，A地為一次函數(shù)的增長，B地為指數(shù)函數(shù)的增長，這兩種增長方式存在很大的差異．那么我們該如何研究一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)增長的差異呢？整體感知線性函數(shù)

指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的增長差異．整體感知答案：類比研究函數(shù)性質(zhì)的一般路徑：先畫圖象，觀察圖象并歸納共性；再用解析式，利用數(shù)據(jù)計算，微觀研究；最后用符號表示一般規(guī)律.我們可以分別比較指數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)．新知探究問題2

選取適當(dāng)?shù)闹笖?shù)函數(shù)與一次函數(shù)，探索它們在區(qū)間[0，＋∞)上的增長差異，你能描述一下指數(shù)函數(shù)增長的特點嗎？追問1

不妨以函數(shù)y＝2x和y＝2x為例，利用計算器列出這兩個函數(shù)的自變量與函數(shù)值的對應(yīng)值表，并在同一直角坐標系中畫出它們的圖象．觀察這兩個函數(shù)的圖象，它們在位置上有什么關(guān)系？這說明了什么？完成的對應(yīng)值表如下表，畫出的函數(shù)圖象如下圖．新知探究xy=2xy=2x0100.51.41411221.52.82832442.55.6575386………從圖象上，發(fā)現(xiàn)函數(shù)y＝2x和y＝2x有兩個交點(1，2)，(2，4)，并且這兩個交點將區(qū)間[0，＋∞)分成了三段，兩個函數(shù)的圖象位置關(guān)系在這三段有所不同．這表明，雖然這兩個函數(shù)在[0，＋∞)上都單調(diào)遞增，但它們的增長速度不同，函數(shù)y＝2x的增長速度保持不變，而函數(shù)y＝2x的增長速度在變化．新知探究追問2

通過對比這兩個函數(shù)的自變量與函數(shù)值的對應(yīng)值表，分別計算它們的變化率

，你能發(fā)現(xiàn)什么？新知探究完成的變化率表如右表．從數(shù)據(jù)上，通過計算變化率

，發(fā)現(xiàn)函數(shù)y＝2x的變化率恒定，即增長速度保持不變．而函數(shù)y＝2x的變化率越來越大，即增長速度在增大．xy=2xy=2x01

0

0.51.4140.82812121.17221.52.8281.6563242.34442.55.6573.3145384.6866……………追問3

除了圖中的兩個交點，這兩個函數(shù)還有沒有其他的交點，你能解釋一下原因嗎？新知探究在更大的范圍內(nèi)，列出這兩個函數(shù)的自變量與函數(shù)值的對應(yīng)值表，并在同一直角坐標系中，畫出它們的圖象．新知探究完成的對應(yīng)值表如下表，畫出的函數(shù)圖象如下圖．xy=2xy=2x0102444168664128256161010242012409624………所以，增速快的指數(shù)函數(shù)終會趕超一次函數(shù)，即存在一個x0∈(0，＋∞)，x＞x0時，2x＞2x．因此兩個函數(shù)沒有其它交點．追問4

這樣的結(jié)論可以推廣到任意一組指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞1)和一次函數(shù)y＝kx(k＞0)中去嗎？

指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞1)與一次函數(shù)y＝kx(k＞0)的增長差異都與上述情況類似.即使k的值遠遠大于a的值，y＝ax(a＞1)的增長速度最終都會大大超過y＝kx(k＞0)的增長速度.因此總存在一個x0∈(0，＋∞)，當(dāng)x＞x0時，ax＞kx.新知探究新知探究結(jié)論：指數(shù)函數(shù)不像一次函數(shù)那樣按同一速度增長，而是越來越快，呈爆炸性增長，所以俗稱“指數(shù)爆炸”．新知探究問題3

類比研究指數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)增長差異的思路，探索對數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)在區(qū)間[0，＋∞)上的增長差異．你能描述對數(shù)函數(shù)增長的特點嗎？先取特殊的對數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)進行研究，然后歸納得到一般結(jié)論．

不妨以函數(shù)

和

為例，利用計算器，列出這兩個函數(shù)的自變量與函數(shù)值的對應(yīng)值表，并在同一直角坐標系中畫出它們的圖象．新知探究新知探究完成的對應(yīng)值表如下表，畫出的函數(shù)圖象如下圖．x0不存在01011201.3012301.4773401.6024501.6995601.7786………新知探究從圖象上，發(fā)現(xiàn)函數(shù)

和

雖然在區(qū)間[0，＋∞)上都單調(diào)遞增，但它們的增長速度存在著明顯的差異．隨著x的增大，函數(shù)

的圖象離x軸越來越遠，而函數(shù)

的圖象越來越平緩，就像與x軸平行一樣．因此總存在一個x0∈(0，＋∞)，當(dāng)x＞x0時，成立新知探究對數(shù)函數(shù)增長的特點：對數(shù)函數(shù)

y＝logax(a＞1)與一次函數(shù)y＝kx(k＞0)的增長差異都與上述情況類似.即使k的值遠遠小于a的值，y＝logax(a＞1)的增長速度最終都會遠遠小于y＝kx(k＞0)的增長速度.因此總存在一個x0∈(0，＋∞)，當(dāng)x＞x0時，kx＞logax.新知探究

結(jié)論：對數(shù)函數(shù)不像一次函數(shù)那樣按同一速度增長，而是越來越慢，俗稱“對數(shù)增長”.對數(shù)函數(shù)比較適合于描述增長速度平緩的變化規(guī)律.追問通過對特定的對數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)的研究，推廣到一般情況，你能得到什么結(jié)論？新知探究問題4

在問題2和問題3中，分別研究了指數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)的增長差異，如果將一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)同時比較，你能得到什么結(jié)論？追問1

在同一直角坐標系中畫出一次函數(shù)y＝2x，指數(shù)函數(shù)y＝2x和對數(shù)函數(shù)y＝lgx的圖象，比較他們的增長有何差異？新知探究函數(shù)圖象如右圖．從圖象上同時比較三個函數(shù)，能夠直觀上感受出，三個函數(shù)雖然都在增長，但增長速度明顯不同．一次函數(shù)y＝2x的增長速度保持不變，指數(shù)函數(shù)y＝2x的增長速度越來越快，對數(shù)函數(shù)y＝lgx的增長速度越來越慢．追問2

一次函數(shù)y＝kx(k＞0)，指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞1)和對數(shù)函數(shù)y＝logbx(b＞1)的增長有何差異？新知探究一般地，無論k(k＞0)、a(a＞1)、b(b＞1)如何取值，三種函數(shù)在區(qū)間(0，＋∞)上都單調(diào)遞增，但一次函數(shù)總是保持固定的增長速度；指數(shù)函數(shù)的增長速度都會越來越快，并且指數(shù)函數(shù)的函數(shù)值最終總會大于一次函數(shù)的函數(shù)值；對數(shù)函數(shù)的增長速度都會越來越慢，并且對數(shù)函數(shù)的函數(shù)值最終總會小于一次函數(shù)的函數(shù)值．即：存在一個x0∈(0，＋∞)，當(dāng)x＞x0時，bx＞kx＞logax成立.例1

三個變量y1，y2，

y3隨變量x變化的數(shù)據(jù)如下表：其中關(guān)于x呈指數(shù)增長的變量是_____.知識應(yīng)用x051015202530y151305051130200531304505y25901620291605248809447840170061120y35305580105130155例1

三個變量y1，y2，

y3隨變量x變化的數(shù)據(jù)如下表：其中關(guān)于x呈指數(shù)增長的變量是_____.知識應(yīng)用y3呈直線增長，在y1，y2中，因為當(dāng)x增加5個單位時，y1，y2這兩個變量的增加量都在增大，都呈現(xiàn)加速增長趨勢.但是變量y2中，相鄰兩列的函數(shù)值之比為定值18，與

y＝2x中函數(shù)值翻番變化極為類似，所以基本判定呈指數(shù)增長的變量為y2.并且根據(jù)待定系數(shù)法計算得出函數(shù)解析式為

．歸納小結(jié)問題5

（1）你能用思維導(dǎo)圖梳理本節(jié)課的研究內(nèi)容和方法嗎？（2）回憶本單元內(nèi)容，你能用思維導(dǎo)圖梳理本單元的研究內(nèi)容和方法嗎？歸納小結(jié)本節(jié)的思維導(dǎo)圖由特殊到一般數(shù)形結(jié)合由特殊到一般數(shù)形結(jié)合指數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)增長的差異同為增函數(shù)，哪種函數(shù)的增長速度快？

對數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)增長的差異

類