專題35 導(dǎo)數(shù)中雙變量與極值點(diǎn)偏移必刷100題(解析版)

專題35導(dǎo)數(shù)中雙變量與極值點(diǎn)偏移必刷100題類型一:極值點(diǎn)偏移問(wèn)題1-25題1．（1）設(shè)，且，證明：；（2）若函數(shù)，且m為非零實(shí)數(shù)，若存在，且，使得，證明：．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）雙變量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單變量問(wèn)題，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)來(lái)進(jìn)行證明；（2）通過(guò)構(gòu)造函數(shù)證明，再結(jié)合第一問(wèn)的結(jié)論證明【詳解】證明：（1）不妨設(shè)，則，等價(jià)于，設(shè)，令，，所以在上單調(diào)遞減，，故，設(shè)，令，，所以在上單調(diào)遞增，，故，故．（2）的定義域?yàn)?，，因?yàn)闉榉橇銓?shí)數(shù)，所以，，即，令，，所以在上單調(diào)遞減，不妨設(shè)，，，，由（1）得，所以，所以2．已知函數(shù)有且僅有兩個(gè)極值點(diǎn)，且．（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）證明：．【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【分析】（1）原問(wèn)題等價(jià)于有兩個(gè)零點(diǎn)，且，（i）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，令，又，，由函數(shù)零點(diǎn)存在定理可得，即可求解；（2）由題意，，，即，，兩式相減得，令，則，，，，要證：，即證：，只需證：，最后構(gòu)造函數(shù)即可證明.（1）解：函數(shù)，，因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，所以有兩個(gè)零點(diǎn)，且，令，，（i）當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；（ii）當(dāng)時(shí)，令，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為，令，解得，又因?yàn)?，，所以由函?shù)零點(diǎn)存在定理可得，在區(qū)間和上各有一個(gè)零點(diǎn)，符合題意，所以的取值范圍為；（2）證明：由（1）可知，，所以.，因?yàn)椋堑膬蓚€(gè)零點(diǎn)，所以，，即，，兩式相減得，令，則，，，所以，，，要證：，即證：，即證：，只需證：，令，，，，所以在上單調(diào)遞增且，所以，則在上單調(diào)遞增且，所以，從而得證．3．已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），為的導(dǎo)函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，若存在不相等的實(shí)數(shù)，，使得，證明：．【答案】（Ⅰ）答案見(jiàn)解析；（Ⅱ）證明見(jiàn)解析.【分析】（Ⅰ）先計(jì)算，再對(duì)求導(dǎo)得，分、、分別解不等式和即可得單調(diào)單增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間；（Ⅱ）計(jì)算的單調(diào)性和最小值，可判斷，由可得，構(gòu)造函數(shù)，計(jì)算，再構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)利用單調(diào)性判斷即可得，代入即可求證.【詳解】（Ⅰ）由得：，，當(dāng)時(shí)，是常函數(shù)，不具有單調(diào)性；當(dāng)時(shí)，由即可得，由即可得，當(dāng)時(shí)，由即可得，由即可得，綜上所述：當(dāng)時(shí)，是常函數(shù)，沒(méi)有單調(diào)區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞區(qū)間是，的單調(diào)減區(qū)間是，（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，由可得；由可得，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，因?yàn)榇嬖诓幌嗟鹊膶?shí)數(shù)，，使得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于，所以，所以，即兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)可得：，即，設(shè)，則，且，由可知，而，令，則，所以所以，所以在上單調(diào)遞減，故，即，所以，，則有，即.4．已知函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間與極值.（2）設(shè)，為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且，證明：.【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，極大優(yōu)值，無(wú)極小值；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性，極值點(diǎn)的關(guān)系，即可求解；（2）首先由條件變形為，即，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，，轉(zhuǎn)化為極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，即可求解.【詳解】（1）解：的定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.故在處取得極大值，且極大值為，無(wú)極小值.（2）證明：易知，，即，.不妨設(shè)，，.（1）可知，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，設(shè)，，則，因?yàn)椋?，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，所以，又因?yàn)?，，所以，即，?5．已知函數(shù)，其中，且.（1）討論的單調(diào)性；（2）若直線恒在函數(shù)圖像的上方，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若存在，，使得，求證：.【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）；（3）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）寫出函數(shù)的定義域并求導(dǎo)，進(jìn)而討論參數(shù)a，最后求出函數(shù)的單調(diào)性；（2）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問(wèn)題，進(jìn)而求出a的范圍；（3）構(gòu)造函數(shù)，進(jìn)而求出函數(shù)的單調(diào)性，然后將化到同一單調(diào)區(qū)間，最后得到答案.【詳解】（1）的定義域?yàn)椋?①當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增.②當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上，；在區(qū)間上，，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）當(dāng)時(shí)，取，則，不符合題意.當(dāng)時(shí)，令，則.問(wèn)題轉(zhuǎn)化為當(dāng)恒成立時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.∵，∴在區(qū)間上，，單調(diào)遞減；在區(qū)間上，，單調(diào)遞增.∴的最小值為，∴只需，即，∴，∴.即實(shí)數(shù)的取值范圍為.（3）由題意知，.構(gòu)造函數(shù)（），則，∴，∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.∵，∴，∴.又，∴.由（1）知，當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞減，∴，即.6．已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，且，證明：.【答案】（1）時(shí)，遞增；時(shí)，遞減；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并判斷導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）首先方程變形為，設(shè)，，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)證明，再分和時(shí)，證明.【詳解】解：（1），是減函數(shù)，是增函數(shù)，所以在單調(diào)遞減，∵，∴時(shí)，，單調(diào)遞增；時(shí)，，單調(diào)遞減.（2）由題意得，，即，，設(shè)，，則由得，，且.不妨設(shè)，則即證，由及的單調(diào)性知，.令，，則，∵，∴，，∴，取，則，又，則，又，，且在單調(diào)遞減，∴，.下證：.（i）當(dāng)時(shí)，由得，；（ii）當(dāng)時(shí)，令，，則，記，，則，又在為減函數(shù)，∴，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，∴單調(diào)遞減，從而，在單調(diào)遞增，又，，∴，又，從而，由零點(diǎn)存在定理得，存在唯一，使得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.所以，，又，，所以，，顯然，，所以，，即，取，則，又，則，結(jié)合，，以及在單調(diào)遞增，得到，從而.7．已知函數(shù)．若函數(shù)存在三個(gè)零點(diǎn)，分別記為，，．（1）求的取值范圍；（2）證明：．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）通過(guò)導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后結(jié)合零點(diǎn)存在定理即可得到答案；（2）要證，∵，∴，則，由函數(shù)的單調(diào)性可知，只需證明：即可.【詳解】（1），令，得，．所以當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，所以的極大值為，極小值為．若函數(shù)存在三個(gè)零點(diǎn)，則，所以，此時(shí)，，，故存在三個(gè)零點(diǎn)，所以，函數(shù)存在三個(gè)零點(diǎn)；（2）證明：要證，只需證因?yàn)楹瘮?shù)存在三個(gè)零點(diǎn)，分別記為，，，由（1）知，故又時(shí)，單調(diào)遞減，故只需證，又，所以，即．8．已知函數(shù)（，且）為單調(diào)減函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)的最大值不小于0．（1）求的值；（2）若，求證：．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析．【分析】（1）由在上恒成立求得的一個(gè)范圍，再由的最大值不小于0又得的一個(gè)范圍，兩者結(jié)合可得值．（2）由（1）知，因此中一個(gè)不大于1，另一個(gè)不小于1，不妨設(shè)，構(gòu)造函數(shù)證明它在上，利用已知式可得與的不等關(guān)系，證得結(jié)論成立．【詳解】（1）因?yàn)闉閱握{(diào)減函數(shù)，所以恒成立，所以在上恒成立．由于當(dāng)時(shí)，，所以，解得．因?yàn)?，?dāng)時(shí)，的最大值為，由題意，，所以．綜上，．（2）由（1）知，，所以．因?yàn)椋瑸閱握{(diào)減函數(shù)，可設(shè)．令，．所以，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以，．因?yàn)椋裕驗(yàn)闉閱握{(diào)減函數(shù)，所以，即．9．已知函數(shù)()．（1）求函數(shù)的單調(diào)性；（2）設(shè)函數(shù)滿足，若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)、且．①求實(shí)數(shù)的取值范圍；②證明：．【答案】（1）在上單調(diào)遞增；（2）①；②證明見(jiàn)解析．【分析】（1）求導(dǎo)后分析導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)即可.（2）①求出，再令，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為尋求使得的極小值小于0即可②極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，構(gòu)造對(duì)稱函數(shù)即可證明.【詳解】（1）由已知得函數(shù)的定義域?yàn)?，則，∵時(shí)恒成立，∴在上單調(diào)遞增，（2）∵，∴，其定義域?yàn)?，①設(shè)()，∴，令，則，令，則，∴當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，∴的極小值為，∵函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，即有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，∴需的極小值，即，∵當(dāng)時(shí)，，令()，則，當(dāng)時(shí)，∴在上單調(diào)遞增，∴，∴在和上分別有個(gè)零點(diǎn)，∴當(dāng)時(shí)在上有兩個(gè)不等零點(diǎn)，即有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，∴實(shí)數(shù)的取值范圍為，②由①知，∴，要證，即證，∵時(shí)單調(diào)遞增，故而即證，又，即證，設(shè)函數(shù)，其中，由于，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，∴在上單調(diào)遞減，由于，因而，即，故而得證．10．已知函數(shù)有兩個(gè)相異零點(diǎn)．（1）求a的取值范圍．（2）求證：．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，由確定單調(diào)性，然后結(jié)合零點(diǎn)存在定理求出參數(shù)范圍；（2）由（1）不妨設(shè)，首先把多個(gè)變量，的不等式變形為，構(gòu)造函數(shù)，確定單調(diào)性后證得，這樣利用在是遞增，要證原不等式只要證，即證，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明此不等式成立．【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；由得，當(dāng)時(shí)，，所以使得f使得，綜上：（2）由（1）可知，，要證即證構(gòu)造函數(shù)，則所以在單調(diào)遞減，．故有因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以只需證即證構(gòu)造函數(shù)，下面證在時(shí)恒成立即證構(gòu)造函數(shù)在時(shí)恒成立因此在上單調(diào)遞增，從而，在時(shí)恒成立在時(shí)單調(diào)遞增成立，即成立．11．已知函數(shù)．（1）討論在其定義域內(nèi)的單調(diào)性；（2）若，且，其中，求證：．【答案】（1）答案不唯一，具體見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，由確定增區(qū)間，由確定減區(qū)間；（2）由（1）知函數(shù)的單調(diào)性，不等式不等式轉(zhuǎn)化為，由于，，利用單調(diào)性不等式轉(zhuǎn)化為故只需證明，即證，這樣引入新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明時(shí)，即得．【詳解】（1）①當(dāng)時(shí)，，則在區(qū)間上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，，，在區(qū)間上單調(diào)遞增；，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，（2）由（1）得：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴，將要證的不等式轉(zhuǎn)化為考慮到此時(shí)，，，又當(dāng)時(shí)，遞增，故只需證明，即證，設(shè)，則.當(dāng)時(shí)，，遞增，所以，當(dāng)時(shí)，.所以，從而命題得證.12．已知函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程；（Ⅱ）若存在兩個(gè)不相等的數(shù)，，滿足，求證：．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見(jiàn)解析.【分析】（Ⅰ）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程；（Ⅱ）首先確定函數(shù)零點(diǎn)的區(qū)間，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并得到在上恒成立，并利用單調(diào)性，變形得到.【詳解】（Ⅰ），所以的圖象在點(diǎn)處的切線方程為．（Ⅱ）令，解得，當(dāng)時(shí)，在．上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減．所以為的極大值點(diǎn)，不妨設(shè)，由題可知．令，，因?yàn)椋?，所以單調(diào)遞減．又，所以在上恒成立，即在上恒成立．所以，因?yàn)?，，又在上單調(diào)遞增，所以，所以．13．設(shè)函數(shù)，.（1）若對(duì)恒成立，求的取值范圍；（2）若，當(dāng)時(shí)，求證：.【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，分類討論，確定的單調(diào)性，最大值，解相應(yīng)的不等式可得；（2）變形為，在證的不等式中若或，不等式已經(jīng)成立，因此只要證時(shí)不等式成立，首先引入函數(shù)，，，由導(dǎo)數(shù)確定出的單調(diào)性，要證的不等式為轉(zhuǎn)化為證，，即證：，為此再引入新函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)可證．【詳解】（1）解：，當(dāng)時(shí)，，令得：，∴在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.∴，由，得：，當(dāng)時(shí)，，則對(duì)恒成立，∴在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，所以不符合.故：的取值范圍為.（2）∵，∴，得：，若或，則結(jié)論顯然成立.當(dāng)時(shí)，，令，，，所以為單調(diào)遞增函數(shù)，則，證：證：，而，所以等價(jià)于證：，即證：，，令：，，得：在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減，∴，因?yàn)椋?，所以，故原不等式得證.14．已知函數(shù).其中為常數(shù).（1）若函數(shù)在定義域內(nèi)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）已知，是函數(shù)的兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求證：.【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，分類討論確定的正負(fù)，得的單調(diào)性，從而得極值點(diǎn)個(gè)數(shù)，由此可得結(jié)論；（2）結(jié)合（1）求得函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)的范圍，設(shè)，則，，引入函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)確定它是減函數(shù)，得，然后利用，再結(jié)合的單調(diào)性得出證明．【詳解】（1），當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，不符合題意，當(dāng)時(shí)，令，得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以此時(shí)只有一個(gè)極值點(diǎn)．（2）由（1）知當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，函數(shù)至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，當(dāng)時(shí)，令，得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，不合題意，當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意，當(dāng)時(shí)，，，又，所以在上只有一個(gè)零點(diǎn)，令，則，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，即，所以，所以，又，所以在上只有一個(gè)零點(diǎn).所以滿足題意.不妨設(shè)，則，，令，則，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，即，因?yàn)?，所以，所以，又，，且在上單調(diào)遞增，所以，故得證.15．已知函數(shù)，，其中.（1）若函數(shù)的圖象與直線在第一象限有交點(diǎn)，求的取值范圍.（2）當(dāng)時(shí)，若有兩個(gè)零點(diǎn)，，求證：.【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程，在有解，求導(dǎo)，分類討論①若，②若，③若時(shí)，分析單調(diào)性，進(jìn)而得出結(jié)論.（2）運(yùn)用分析法和構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，不等式的性質(zhì)，即可得證.【詳解】解：（1）設(shè)，則由題設(shè)知，方程，在有解，而.設(shè)，則.①若，由可知，且，從而，即在上單調(diào)遞減，從而恒成立，因而方程在上無(wú)解.②若，則，又時(shí)，，因此，在上必存在實(shí)根，設(shè)最小的正實(shí)根為，由函數(shù)的連續(xù)性可知，上恒有，即在上單調(diào)遞減，也即，在上單調(diào)遞減，從而在上恒有，因而在上單調(diào)遞減，故在上恒有，即，注意到，因此，令時(shí)，則有，由零點(diǎn)的存在性定理可知函數(shù)在，上有零點(diǎn)，符合題意.③若時(shí)，則由可知，恒成立，從而在上單調(diào)遞增，也即在上單調(diào)遞增，從而恒成立，故方程在上無(wú)解.綜上可知，的取值范圍是.（2）因?yàn)橛袃蓚€(gè)零點(diǎn)，所以（2），即，設(shè)，則要證，因?yàn)?，，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以只要證明，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，（2），所以，因?yàn)橛袃蓚€(gè)零點(diǎn)，，，所以，方程即構(gòu)造函數(shù)，則，，，記，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，且，設(shè)，，所以遞增，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，即，，，，所以，同理，所以，所以，所以，由得：，綜上：.16．已知f（x）＝me2x﹣2x（x+1）ex，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，且函數(shù)f（x）恰有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2.（1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）求證：3＜x1x2﹣（x1+x2）＜8.【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）求得導(dǎo)數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為值域的求解，利用導(dǎo)數(shù)處理即可；（2）構(gòu)造函數(shù)，據(jù)此求得的范圍，借助基本不等式求得的范圍，即可證明.【詳解】（1），函數(shù)f（x）恰有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，則有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，其，故此時(shí)有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，滿足題意；當(dāng)時(shí)，，令，故可得，故當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.且當(dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)趨近于正無(wú)窮時(shí)，趨近于0，又趨近于負(fù)無(wú)窮時(shí)，趨近于正無(wú)窮；且，故當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)極值點(diǎn)，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，有三個(gè)極值點(diǎn)，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)，滿足題意；當(dāng)時(shí)，沒(méi)有極值點(diǎn)，不滿足題意.綜上所述，（2）令，則，不妨設(shè)，由（1）可得：，令，則，故在單調(diào)遞減.故當(dāng)時(shí)，，即.令，則，又，故，又因?yàn)椋以趩握{(diào)遞減，故，即.故，由（1）知，則故，即.綜上可得：，.故3＜x1x2﹣（x1+x2）＜8即證.17．已知函數(shù).（1）若，求的最小值；（2）若，且，證明：.【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析【分析】（1）當(dāng)時(shí),,先求導(dǎo)可得,設(shè),利用導(dǎo)函數(shù)可判斷在上單調(diào)遞增,由,即可判斷的單調(diào)性,進(jìn)而求解；（2）先求導(dǎo)可得,容易得到在上單調(diào)遞增,由,即可判斷在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,設(shè),則,,設(shè),利用導(dǎo)函數(shù)可判斷在上單調(diào)遞增,則,即,則可得,即,進(jìn)而由的單調(diào)性求證即可.【詳解】（1）解:當(dāng)時(shí),,所以,設(shè),則,所以在上單調(diào)遞增,即在上單調(diào)遞增,因?yàn)?所以當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),,因此在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以.（2）證明:,則,所以在上單調(diào)遞增,因?yàn)?所以當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),,因此,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,由,不妨設(shè),則,,令,則，當(dāng)時(shí)，，故,所以在上單調(diào)遞增；所以當(dāng)時(shí)，即時(shí),，因此,又,所以,因?yàn)?,在上單調(diào)遞增,所以,即,故.18．已知函數(shù)在內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2（x1＜x2），其中a為常數(shù).（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）求證：x1+x2＞2.【答案】（1）a＞1；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）轉(zhuǎn)化問(wèn)題為有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn),設(shè),利用導(dǎo)函數(shù)可得在上單調(diào)遞增,則,即轉(zhuǎn)化問(wèn)題為有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn),即,則,設(shè),則直線y=a與在x∈（0,+∞）有兩個(gè)交點(diǎn),進(jìn)而利用導(dǎo)函數(shù)求的最值,即可求解；（2）由（1）,若x1+x2＞2,則g（x2）＞g（2﹣x1）,即g（x1）＞g（2﹣x1）,構(gòu)造函數(shù)F（x）=g（x）﹣g（2﹣x）,進(jìn)而證明x∈（0，1）時(shí)F（x）＞0即可.【詳解】（1）因?yàn)?由題意知x1，x2是導(dǎo)函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn),令,則,所以在上單調(diào)遞增,又,所以,所以x1，x2是的兩個(gè)零點(diǎn),即,則,又令,則g（x1）=g（x2）,從而只需直線y=a與函數(shù)g（x）的圖象在x∈（0,+∞）上有兩個(gè)交點(diǎn),由可得當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),,所以g（x）在（0,1）遞減,在（1,+∞）遞增,從而,所以a＞1.（2）證明:由（1）知,0＜x1＜1＜x2,若不等式x1+x2＞2成立,則g（x2）＞g（2﹣x1）,即g（x1）＞g（2﹣x1）,令F（x）=g（x）﹣g（2﹣x）,x∈（0，1）,則只需F（x）＞0,而,只需研究的符號(hào),因?yàn)?,所以,所以,則,所以,即x1+x2＞2成立.19．已知函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，.（1）求a的范圍；（2）證明：.【答案】（1）（2）見(jiàn)解析【分析】（1）分類討論參數(shù)的范圍，利用導(dǎo)數(shù)得出單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，得出的范圍；（2）不妨設(shè)，由（1）可知，，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，得出等價(jià)于，即，構(gòu)造函數(shù)，，求出，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，且當(dāng)x→﹣∞時(shí)，f（x）→+∞，當(dāng)x→+∞時(shí)，f（x）→+∞，則函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，或；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增結(jié)合可知，此時(shí)函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)當(dāng)時(shí)，或；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增結(jié)合，可知，此時(shí)函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)a＝0時(shí)，f（x）＝xex只有一個(gè)零點(diǎn)x＝0，不合題意；綜上，.（2）不妨設(shè)，由（1）可知，在上單調(diào)遞減等價(jià)于，即由于，而則設(shè)，，則則函數(shù)在上單調(diào)遞減，即，從而20．已知函數(shù)（1）若，試討論的單調(diào)性；（2）若，實(shí)數(shù)為方程的兩不等實(shí)根，求證：.【答案】（1）答案不唯一，具體見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)題意得，分與討論即可得到函數(shù)的單調(diào)性；（2）根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)，得，參變分離得，分析不等式，即轉(zhuǎn)化為，設(shè)，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得單調(diào)性，進(jìn)而得證.【詳解】（1）依題意，當(dāng)時(shí)，，①當(dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)在定義域上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，若，；若，；故此時(shí)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）方法1：由得令，則，依題意有，即，要證，只需證（不妨設(shè)），即證，令，設(shè)，則，在單調(diào)遞減，即，從而有.方法2：由得令，則，當(dāng)時(shí)，時(shí)，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，不妨設(shè)，則，要證，只需證，易知，故只需證，即證令，（），則==，（也可代入后再求導(dǎo)）在上單調(diào)遞減，，故對(duì)于時(shí)，總有.由此得21．已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn).（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）求證：；（III）求證：.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見(jiàn)解析（III）見(jiàn)解析【分析】（Ⅰ）求出導(dǎo)函數(shù)．設(shè)，通過(guò)導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化求解函數(shù)最小值，當(dāng)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，求解的取值范圍．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，為的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，不妨設(shè)，要證，即證，而在上單調(diào)遞減，所以即證，即證，即，，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)證明其單調(diào)性即可得證；（III）要證，只需證．設(shè)函數(shù)，，利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化求解即可．【詳解】解：（Ⅰ），．設(shè)，則．令，解得．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．．當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，沒(méi)有極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，．不妨設(shè)，則．當(dāng)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，的取值范圍為．（Ⅱ）不妨設(shè)，要證，即證，而在上單調(diào)遞減，所以即證，即證，即，，設(shè)，則，令，則，當(dāng)，則，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以即，單調(diào)遞增，，所以原不等式成立；（III）由（Ⅰ）、（Ⅱ）知，，為的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，在上單調(diào)遞減且，函數(shù)在，上也單調(diào)遞減，．要證，只需證，即證．設(shè)函數(shù)，，則．設(shè)，則，在上單調(diào)遞增，，即．在上單調(diào)遞增，．當(dāng)時(shí)，，則，，．22．已知.（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)，且，求證：.【答案】（1）單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；（2）證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)證明單調(diào)性即可；（2）利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，又，不妨設(shè)，則有；利用分析法得出要證，只需證明，其中，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明其單調(diào)性，得出在的最小值大于4，即可證明.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，∴，令，解得或令，解得因此的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.（2）∵，令，則令，解得令，解得故函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增因此，則函數(shù)在上單調(diào)遞增且，又，不妨設(shè)，則有；要證，只需證明，由的單調(diào)遞增，只需證明，即：，即證明，其中.設(shè)，則故在上恒成立，則在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增從而，即有在上恒成立，即有，從而有，證畢.23．函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，求證：.【答案】（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析【分析】（1）對(duì)分類討論，利用導(dǎo)數(shù)證明單調(diào)性即可；（2）構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)得出的極值點(diǎn)，根據(jù)極值點(diǎn)得出，再次構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明其單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性得出，結(jié)合得出，再由的單調(diào)性，即可證明.【詳解】（1）函數(shù)，..對(duì)分類討論：時(shí)，，可得：時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增.時(shí)，令，.時(shí)，，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減.且時(shí)，由，解得，..時(shí)，，∴函數(shù)在，上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增.時(shí)，，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）證明：即令∴可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增∴時(shí)，函數(shù)取得極小值即最小值，∵，∴設(shè)，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴∴∵，，在上單調(diào)遞增，∴∴24．已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).（Ⅰ）求a的取值范圍；（Ⅱ）設(shè)x1，x2是的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見(jiàn)解析【詳解】試題分析：（Ⅰ）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)來(lái)確定（主要要根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)來(lái)分類）；（Ⅱ）借助（Ⅰ）的結(jié)論來(lái)證明，由單調(diào)性可知等價(jià)于，即．設(shè)，則．則當(dāng)時(shí)，，而，故當(dāng)時(shí)，．從而，故．試題解析：（Ⅰ）．（Ⅰ）設(shè)，則，只有一個(gè)零點(diǎn)．（Ⅱ）設(shè)，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．又，，取滿足且，則，故存在兩個(gè)零點(diǎn)．（Ⅲ）設(shè)，由得或．若，則，故當(dāng)時(shí)，，因此在單調(diào)遞增．又當(dāng)時(shí)，所以不存在兩個(gè)零點(diǎn)．若，則，故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．因此在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．又當(dāng)時(shí)，，所以不存在兩個(gè)零點(diǎn)．綜上，的取值范圍為．（Ⅱ）不妨設(shè)，由（Ⅰ）知，，在單調(diào)遞減，所以等價(jià)于，即．由于，而，所以．設(shè)，則．所以當(dāng)時(shí)，，而，故當(dāng)時(shí)，．從而，故．25．已知函數(shù).（1）證明：在上為增函數(shù)；（2）若，，證明：.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【分析】（1）由題可知，利用導(dǎo)數(shù)可求最小值，即證；（2）由題可得，要證，只需證，，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)即證.（1）由題意，，令，則，令，則，故在區(qū)間上，，為減函數(shù)；在區(qū)間上，，為增函數(shù)，∴，故，故在上為增函數(shù).（2）由（1）知為增函數(shù)，且，故由，，可得，則.欲證：，只需證：，即證：，即證：.令，則，令，則，故為增函數(shù)，，故為增函數(shù)，，故，則，∴.類型二:消元解決雙變量問(wèn)題26-100題26．設(shè)函數(shù)，（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)，求證：，恒有.（3）若，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求證.【答案】（1）答案見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析（3）證明見(jiàn)解析【分析】（1）求出函數(shù)的定義域，討論、時(shí)，解不等式和即可得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間；（2）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)證明出，即可證得結(jié)論成立；（3）分析得出要證明，由已知條件得出，要證明，分析得出等價(jià)于證明，令，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明出，即可得出，進(jìn)而可證得結(jié)論成立.（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，且，?dāng)時(shí)，由可得，由可得，因此函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)的單調(diào)遞增區(qū)間為，綜上所述：當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2），，所以，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，，所以，其中，構(gòu)造函數(shù)，其中，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，，所以對(duì)于、，恒有；（3）因?yàn)椋瑒t，所以函數(shù)單調(diào)遞增，且，要證，即證，即證，即證，因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，由題意可得，上述兩個(gè)等式作差得，下面先證明，只需證：，整理得，即證，設(shè)，不妨設(shè)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，因?yàn)?，所以，故原不等式成?27．已知函數(shù).（1）函數(shù)在定義域內(nèi)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍：（2）求證：當(dāng)時(shí)，；（3）若有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求證：.【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析（3）證明見(jiàn)解析【分析】（1）在定義域內(nèi)恒成立只需要在定義域內(nèi)滿足，對(duì)進(jìn)行分類討論；（2）取時(shí)，，然后將待證不等式的左邊取對(duì)數(shù)，讓左邊的式子結(jié)構(gòu)能和產(chǎn)生聯(lián)系；（3）由題知，聯(lián)立該兩個(gè)方程，由于待求證表達(dá)式不含有，故想辦法消去參數(shù)，只保留的關(guān)系，然后構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行解決.（1）函數(shù)定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，不滿足題設(shè)；當(dāng)時(shí)，，，在上，，單調(diào)遞增，在上，，單調(diào)遞減，所以，解得.綜上：的取值范圍是.（2）證明：由（1）得，當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則可得，所以.所以.（3）由題意，，兩式相減得，即，故要證明，即證明，即證明，不妨設(shè)，令，，令，，所以在上單調(diào)遞減，，所以在上單調(diào)遞減，，在上成立，令，得，所以.28．已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）設(shè),當(dāng)時(shí)，滿足，求證：．【答案】（1），上減；，上減，上增；（2）證明見(jiàn)解析．【分析】（1）求導(dǎo)分兩種情況當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)性．（2）由得到，代入所求，化簡(jiǎn)得，令，，令，求導(dǎo)分析單調(diào)性，最值，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）函數(shù)，定義域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，所以在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，即，所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù).綜上，當(dāng)時(shí)，，所以在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù).（2）由題意，由，得所以，將代入得：得，又，所以，設(shè)，，則所以在上是減函數(shù)，所以，即，又，所以.29．已知函數(shù)，.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交于，兩點(diǎn)，其中，求證：.【答案】（1）增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)值的正負(fù)研究函數(shù)的單調(diào)性，即可求出單調(diào)區(qū)間；（2）證明不等式，先找兩個(gè)式子之間的聯(lián)系，將不等式轉(zhuǎn)化為證明，再設(shè)，利用換元法減少參數(shù)數(shù)量來(lái)證明，即證，再構(gòu)造函數(shù)，利用最值思想證得該不等式.【詳解】（1），，令，得，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；的增區(qū)間為，減區(qū)間為.（3）證明：由，得，記，由，得，記，因?yàn)?，所以，所以，所以，又，下面證：，設(shè)，則令，則，所以在上單調(diào)遞增，故，即，所以，所以，故.30．已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性;（2）若，設(shè)為的導(dǎo)函數(shù)，若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求證：．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）證明過(guò)程見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)實(shí)數(shù)的正負(fù)性，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)分類討論進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)零點(diǎn)的定義，結(jié)合指數(shù)的運(yùn)算法則，通過(guò)構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行證明即可.【詳解】（1）由，可得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)是實(shí)數(shù)集上的增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，令，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)是實(shí)數(shù)集上的增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；（2）由（1）可知：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，所以函數(shù)有最小值，最小值為：，因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，不妨設(shè)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以有，即，，因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，所以，因此令，構(gòu)造函數(shù)，因?yàn)椋?，因此，所以?dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，故有，而，所以.31．已知函數(shù).（1）若，求的取值范圍；（2）若，證明：.【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）分離參數(shù)得到，進(jìn)而通過(guò)導(dǎo)數(shù)方法求出函數(shù)的最大值即可；（2）根據(jù)條件得到，進(jìn)而整理為，進(jìn)而求出的范圍，再解出的范圍，最后得到答案.【詳解】（1）因?yàn)?，所以?duì)恒成立.設(shè)函數(shù)，則.令函數(shù)，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，且.所以當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，從而，故的取值范圍為.（2）由，得，即，整理得.令，設(shè)函數(shù)，則，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即，所以.因?yàn)?，所?因?yàn)榉匠探M無(wú)解，所以中的等號(hào)不成立，所以.32．已知函數(shù).（1）討論的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，證明：.【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）由題可求導(dǎo)函數(shù)，再通過(guò)分類討論即得；（2）由（1）知，由題得需證明，構(gòu)造函數(shù)，然后利用導(dǎo)函數(shù)求最值即可.【詳解】（1）由題意得，，設(shè)，則，①當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，，故時(shí)，有唯一零點(diǎn)，在上有一個(gè)極值點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，，故時(shí)，有唯一零點(diǎn)，在上有一個(gè)極值點(diǎn).綜上可得，當(dāng)時(shí)，的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0；當(dāng)時(shí)，的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2；當(dāng)時(shí)，的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1.（2）證明：因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，由（1）可知.設(shè)，則，，當(dāng)，時(shí)，顯然成立；則，，，則，故，故，同理，兩式相減得，則.而要證，只需證，即，因?yàn)?，所以，故上式可化為，即令，則，上式即為.令，則，故為減函數(shù)，故，即，原命題得證.33．已知函數(shù)有三個(gè)不同的極值點(diǎn)，，，且.（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若，求的最大值.【答案】（1）（2）3【分析】(1)由題意轉(zhuǎn)化為有三個(gè)不同解，即有兩個(gè)不同正根，分離參數(shù)得，結(jié)合的單調(diào)性及最小值即可求解；（2）由（1）知條件可化為，令，條件轉(zhuǎn)化為，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)單調(diào)遞增且即可求解.【詳解】（1），原函數(shù)定義域?yàn)?，由題意，則或，有兩個(gè)不等于1的正實(shí)根，令，則，即當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；，，.（2）由題意三個(gè)極值點(diǎn)，可化為，令，，令，則，令，則，故單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞增，，34．已知函數(shù)f(x)＝lnx﹣ax，a為常數(shù)．（1）若函數(shù)f(x)在x＝1處的切線與x軸平行，求a的值；（2）當(dāng)a＝1時(shí)，試比較f（m）與f（）的大??；（3）若函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1、x2，試證明x1x2＞e2．【答案】（1）a＝1；（2）答案不唯一，具體見(jiàn)解析；（3）證明見(jiàn)解析．【分析】（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由函數(shù)在x＝1時(shí)的導(dǎo)數(shù)值等于0求得a的值；（2）把a(bǔ)＝1代入函數(shù)解析式，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)h（m）的單調(diào)性，在定義域內(nèi)分m＜1，m＝1，m＞1得到h（m）的符號(hào)，從而得到f（m）與f（）的大小；（3）由函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1、x2，得到lnx1﹣ax1＝0，lnx2﹣ax2＝0，進(jìn)一步得到，lnx1+lnx2＝a（x1+x2），把證明x1x2＞e2轉(zhuǎn)化為證lnx1+lnx2＞2，結(jié)合lnx1+lnx2＝a（x1+x2）轉(zhuǎn)化為證明（x1＞x2），換元后利用導(dǎo)數(shù)得到證明．【詳解】（1）解：由f(x)＝lnx﹣ax，得：，∵函數(shù)f(x)在x＝1處的切線與x軸平行，∴，即a＝1；（2）當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝lnx﹣x，∴，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x＞1時(shí)，，f(x)單調(diào)遞減．令，則．又∵h(yuǎn)（1）＝0，①當(dāng)0＜m＜1時(shí)，h（m）＞0，即；②當(dāng)m＝1時(shí)，h（m）＝0，即；③當(dāng)m＞1時(shí)，h（m）＜0即；（3）證明：∵函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1、x2，∴l(xiāng)nx1﹣ax1＝0，lnx2﹣ax2＝0，∴l(xiāng)nx1+lnx2＝a（x1+x2），lnx1﹣lnx2＝a（x1﹣x2），∴，欲證明，即證lnx1+lnx2＞2，∵lnx1+lnx2＝a（x1+x2），∴即證，∴原命題等價(jià)于證明，即證：（x1＞x2），令，則t＞1，設(shè)（t＞1），，∴g（t）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，又∵g(1)＝0，∴g（t）＞g(1)＝0，∴，即．35．已知函數(shù)，.（1）若存在單調(diào)遞增區(qū)間，求的取值范圍；（2）若，與為的兩個(gè)不同極值點(diǎn)，證明：.【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）由題意知有解，分離可得有解，令，可得，利用導(dǎo)數(shù)求的最大值即可求解；（2）由題意知，是的兩根，將，代入整理可得，所證明不等式為，令，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明成立，利用導(dǎo)數(shù)證明單調(diào)性求最值即可求證.【詳解】（1）函數(shù)定義域?yàn)椋鶕?jù)題意知有解，即有解，令，，且當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，所以；（2）由，是的不同極值點(diǎn)，知，是的兩根，即，所以①，聯(lián)立可得：②，要證，由①代入即證，即，由②代入可得③，因?yàn)?，則③等價(jià)于，令，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明④成立，而，在上單調(diào)遞增，當(dāng)，④成立，即得證.36．已知函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)，.（1）求的取值范圍；（2）證明：.【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）求，討論時(shí)單調(diào)不合題意，時(shí)需，求出的范圍，再討論的范圍，結(jié)合單調(diào)性以及零點(diǎn)存在定理即可求證的范圍符合題意；（2）由（1）知：在和上分別有一個(gè)零點(diǎn)；不妨設(shè)，將零點(diǎn)代入整理可得，要證，只需證，令，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求最值即可求證，即得證.【詳解】（1），①當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，至多有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；②當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，則，解得，注意此時(shí)，（i）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，則在和上分別存在一個(gè)零點(diǎn)；（ii）當(dāng)時(shí)，，設(shè)，，所以，，所以在單調(diào)遞增，則，所以在單調(diào)遞減，則，即，此時(shí)，則在和分別存在一個(gè)零點(diǎn)；綜上，若有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為；（2）不妨設(shè)，由得：，兩式相減得：，兩式相加得：，要證，只需證，只需證，因?yàn)?，所以只需證，即證，令，，，則，所以在單調(diào)遞增，則，所以原不等式得證.37．已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)，時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，（），證明：.【答案】（1）減區(qū)間為，增區(qū)間為；（2）具體見(jiàn)解析.【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)和原函數(shù)的關(guān)系得出單調(diào)區(qū)間；（2）先求出導(dǎo)函數(shù)，設(shè)，進(jìn)而通過(guò)的符號(hào)得出的單調(diào)區(qū)間，再通過(guò)特值法和放縮法判斷出零點(diǎn)的位置，進(jìn)而得到的符號(hào)，從而得出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)，最后再通過(guò)放縮法證明問(wèn)題.【詳解】（1），，時(shí)，，時(shí)，，則函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（2），令，∵，則在R上單調(diào)遞增，∴時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增，∴在處取得極小值，且.令，，則時(shí)，，單調(diào)遞增，∴，∴x>0時(shí)，，則，于是x>0時(shí)，.∴，∴時(shí)，，于是（x2唯一），使得.∴時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增.則函數(shù)在處取得極小值，在處取得極大值.又∵，∴，∴，∴.38．已知函數(shù)，.（1）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）設(shè)，若，，，求整數(shù)m的最小值.（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】（1）；（2）3.【分析】（1）由函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，分函數(shù)在上單調(diào)增與單調(diào)減兩種情況討論，綜合即可得答案；（2）由題意得，，分析可得必有對(duì)求導(dǎo)，對(duì)m分類討論即可得答案.【詳解】解：（1），若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則在恒成立，所以，解得；若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則在恒成立，所以，解得，綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍為.（3）由題意得，，因?yàn)椋?，即，由，?dāng)時(shí)，因?yàn)椋瑒t不合題意；當(dāng)時(shí)，由，得或（舍去），當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.所以，即，整理得，，設(shè)，，所以單調(diào)遞增，，又因?yàn)椋?，所以，故整?shù)m的最小值為3.39．已知函數(shù)，.（1）求f(x)的定義域，并討論f(x)的單調(diào)性；（2）設(shè)g(x)=f(x)+（a+1）x，證明：當(dāng)-1<a<0時(shí)，在區(qū)間（a，0）上任取不等的兩數(shù)m和n，總有.【答案】（1）定義域?yàn)椋瑔握{(diào)性見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析．【分析】（1）根據(jù)真數(shù)大于零，即可求出函數(shù)f(x)的定義域，再求出導(dǎo)數(shù)，根據(jù)分類討論即可解出；（2）不妨設(shè)，原不等式可化為，從而可知函數(shù)f(x)在（a，0）上單調(diào)遞減，由（1）中結(jié)論，即可證出．【詳解】（1）由可得，所以函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?，由可得或．?dāng)時(shí)，由解得，由解得；當(dāng)時(shí)，由解得或，由解得；當(dāng)時(shí)，恒成立；當(dāng)時(shí)，由解得或，由解得．綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間是，減區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間是和，減區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間是，無(wú)減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間是和，減區(qū)間是．（2）不妨設(shè)，原不等式可化為，即所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，由（1）可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故原命題得證．40．已知函數(shù)．（1）當(dāng)，時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，，且不等式有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）設(shè)，若有兩個(gè)相異零點(diǎn)，，求證：．【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）；（3）證明見(jiàn)解析．【分析】（1）當(dāng)，時(shí)，求得導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系進(jìn)行求解；（2）利用導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)及韋達(dá)定理求得的取值范圍，不等式有解，轉(zhuǎn)化為，利用韋達(dá)定理的結(jié)論可以整理為關(guān)于實(shí)數(shù)的函數(shù)，進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行研究求得其最大值即得的取值范圍;（3）設(shè)的兩個(gè)相異零點(diǎn)為，，設(shè)，將要證不等式，轉(zhuǎn)化為，進(jìn)一步可轉(zhuǎn)化為，設(shè)上式轉(zhuǎn)化為，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性進(jìn)而證明即可.【詳解】解：（1）當(dāng)，時(shí)，，∴，∵，令，則或，令，則，∴的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）證明：由題可得，∵函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，，∴方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，于是有解得．∵不等式有解，∴．∴．設(shè)，，故在上單調(diào)遞增，故，∴．故實(shí)數(shù)的取值范圍為．（3），設(shè)的兩個(gè)相異零點(diǎn)為，，設(shè)，欲證，需證．∵，，∴，，∴，．要證，即證，即，即，設(shè)上式轉(zhuǎn)化為，設(shè)，∴，∴在上單調(diào)遞增，∴，∴，∴，∴．41．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）當(dāng)，時(shí)，對(duì)任意，有成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．【答案】（1）或；（2）.【分析】（1）要先求出,利用分類討論思想，討論函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理可求答案；（2）先把轉(zhuǎn)化為，然后求解函數(shù)的最值，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合單調(diào)性可得b的取值范圍．【詳解】（1）定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，取，，所以，故此時(shí)恰有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，令，，時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，時(shí)，，所以在單調(diào)遞增；要使函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)，需要解得，綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是或.（2）因?yàn)閷?duì)任意，有成立，且所以.因?yàn)?，所以，所以，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因?yàn)榕c，所以令則當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，故，所以，從而所以，即.令，則.當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增.又，所以，即，解得，所以b的取值范圍是.42．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）實(shí)數(shù)，滿足，求的最大值．【答案】（1）單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為；（2）.【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)即可求解單調(diào)區(qū)間；（2）化簡(jiǎn)等式得，同構(gòu)函數(shù)得，，即可代入求解最值.【詳解】（1），的兩根為和，所以當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為．（2）由題意知，所以，因?yàn)?，所以，令，，所以在單調(diào)遞增，所以，，令，令，，所以當(dāng)，，當(dāng)，，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以，所以最大值為．43．已知函數(shù)，．（1）曲線在處的切線方程；（2）設(shè)函數(shù)．①若在定義域上恒成立，求a的取值范圍；②若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)為，，證明：．【答案】（1）；（2）①；②證明見(jiàn)解析．【分析】（1）先求導(dǎo)函數(shù)，計(jì)算和，再利用斜率和切點(diǎn)寫直線方程即可；（2）①先化簡(jiǎn)整理即，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求其最大值，即得；②求導(dǎo)函數(shù)，先說(shuō)明討論時(shí)不符合題意，得到，再利用，整理得，利用分析法只需證時(shí)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性證明，即證結(jié)論.【詳解】解：（1），則，，所以切線斜率為2，切點(diǎn)為（1，1），切線方程為y-1=2（x-1），在處的切線方程為；（2）①，，因?yàn)椋?，在上恒成立，令，，時(shí)，，時(shí)，，；②，，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，故不可能有兩根，即函數(shù)不可能有兩個(gè)極值點(diǎn)，不符合題意，所以.有兩個(gè)極值點(diǎn)，，可設(shè)，，，，要證，只需證，即證，即，即，設(shè)，，，即證函數(shù)，而，即在上遞增，，故，所以成立.44．已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)相異零點(diǎn)，求證：.【答案】（1）時(shí)，在單調(diào)遞增；時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）先求導(dǎo)，再對(duì)分兩種情況討論得解；（2）要證，等價(jià)于證明，令，則，等價(jià)于證明成立，設(shè)函數(shù)，求出函數(shù)最小值即得證.【詳解】解：由題意得，①時(shí)，恒成立，所以，所以在單調(diào)遞增.②時(shí)，在上，在上，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.綜上，時(shí)，在單調(diào)遞增.時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（2）因?yàn)橛袃蓚€(gè)相異零點(diǎn)，，由（1）可知，，不妨設(shè)，因?yàn)?，，所以，，所以，要證，即證，等價(jià)于證明，而，所以等價(jià)于證明，也就是.（*）令，則，于是欲證（*）成立，等價(jià)于證明成立，設(shè)函數(shù)，求導(dǎo)得，所以函數(shù)是上的增函數(shù)，所以，即成立，所以成立.45．已知函數(shù)，，若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的一個(gè)公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)為且兩函數(shù)圖象在點(diǎn)處的切線斜率之和為.（1）求的值；（2）對(duì)任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由題意列方程組，解出的值；（2）把對(duì)任意，不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為，分別求出和，建立不等式，即可求出k的范圍.【詳解】解：（1）因?yàn)椋?，即，又，所以，由題意得，所以由得（2）由（1）得，對(duì)任意的，恒成立，所以，因?yàn)?，令得，令得?所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.而，所以，而，當(dāng)時(shí)，，故，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.46．已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若，，求證：.【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）求得的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切點(diǎn)，由直線的點(diǎn)斜式方程可得切線的方程；（2）求得的導(dǎo)數(shù)，判斷不成立，設(shè)，，求得導(dǎo)數(shù)，判斷的單調(diào)性，得到，的不等式，再運(yùn)用分析法，結(jié)合構(gòu)造函數(shù)法，求得導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，即可得證．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，導(dǎo)數(shù)為，可得切線的斜率為，且，所以切線的方程為，即為；（2）證明：由題意可得，若，則，所以在遞增，因此不存在，使得，所以；設(shè)，，則，令，，所以在遞減，又，所以在恒成立，從而在遞減，從而.①又由，可得，所以.②由①②可得.又因?yàn)椋?，因此要證，只需證明，即證，③設(shè)，，則，所以在上為增函數(shù)，又因?yàn)椋?，即③式成?所以獲證.47．已知函數(shù).（1）求函數(shù)在定義域內(nèi)的最值.（2）當(dāng)時(shí)，若有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，求證：.【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）的定義域?yàn)椋瑢?duì)求導(dǎo)，討論、、時(shí)單調(diào)性即可求解；（2）根據(jù)已知條件可得，可得，不妨設(shè)，整理可得關(guān)于的方程，令，構(gòu)造關(guān)于的函數(shù)，求導(dǎo)判斷單調(diào)性即可求證.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?.當(dāng)時(shí)，此時(shí)函數(shù)為增函數(shù)，無(wú)最值.當(dāng)時(shí)，令，得或.①若，則，.由，得；由，得.所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.所以函數(shù)在定義域內(nèi)有最大值，無(wú)最小值.②若，則，.由，得；由，得.所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.所以函數(shù)在定義域內(nèi)的最大值為，無(wú)最小值.（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在定義域內(nèi)的最大值為.因?yàn)橛袃蓚€(gè)不同的零點(diǎn)，，所以，解得.不妨設(shè)，由題意知，，所以，即，即.設(shè)，則，所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，故，即，所以.令，則上式可化為，所以，所以，即，所以.又因?yàn)楹愠闪?，所?48．已知.（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；（2）已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)（），若恒成立，試求的取值范圍.【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；（2）.【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可求解.（2）根據(jù)題意可得是方程的兩個(gè)不等正實(shí)根，利用韋達(dá)定理得，故，然后分離參數(shù)只需恒成立，，從而令，，利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值即可求解.【詳解】（1）時(shí)，，所以，，得（舍）或，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（2）由（1）得，若有兩個(gè)極值點(diǎn)，則是方程的兩個(gè)不等正實(shí)根，則，故，要使恒成立，只需恒成立．即因?yàn)椋?，設(shè)，，，，，即所以，單調(diào)遞減，當(dāng)由題意，要使恒成立，只需滿足，即所以實(shí)數(shù)的取值范圍．49．已知函數(shù)（）.（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，（），且，求的最大值.【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再分和求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；（2）首先由條件可知，變形后兩式相除得，設(shè)，換元后，分別解出和，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)（），利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性，再解抽象不等式，從而求得的最大值.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，則，設(shè)，則，易知，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，∴，∴，在上單調(diào)遞增；綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；（2）依題意，，則兩式相除得，，設(shè)，則，，，∴，，∴，設(shè)（），則，設(shè)，則，所以在單調(diào)遞增，則，∴，則在單調(diào)遞增，又，且∴，∴，即的最大值為.50．已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，.（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）證明：.【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）求導(dǎo)，對(duì)參數(shù)分類討論，通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)情況，求得參數(shù)取值范圍；（2）方法一：由題意得，令，兩式相除得，欲證，即證，即證，記，通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值情況，即可證得不等式；方法二：令，代入化簡(jiǎn)得，，將不等式轉(zhuǎn)化為，即證.記，通過(guò)求導(dǎo)，并對(duì)導(dǎo)數(shù)中的部分函數(shù)求導(dǎo)研究原函數(shù)的最值情況，證得不等式.【詳解】（1）解：的定義域?yàn)椋?①當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，故至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；②當(dāng)時(shí)，令，得；令，得，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以（i）若，則，故至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；（ii）若，則，，由（i）知，∴，∴，.又∵，，故存在兩個(gè)零點(diǎn)，分別在，內(nèi).綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.（2）證明：方法1：由題意得，令，兩式相除得，變形得.欲證，即證，即證.記，，故在上單調(diào)遞減，從而，即，所以得證.方法2：由題意得：由（1）可知，，令，則，則，兩式相除得，，，欲證，即證，即證.記，，令，，故在上單調(diào)遞減，則，即，∴在上單調(diào)遞減，從面，∴得證，即得證.51．已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性：（2）若函數(shù)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，求的最大值.【答案】（1）在上單調(diào)遞增；（2）最大值為3.【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后分及討論即可得的單調(diào)性；（2）設(shè)，由題意，，，則，設(shè)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合題意即可求得的最大值.【詳解】解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，則，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，∴，∴，在上單調(diào)遞增；綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；（2）依題意，，則，兩式相除得，，設(shè)，則，，，∴，，∴，設(shè)，則，設(shè)，則，∴在單調(diào)遞增，則，∴，則在單調(diào)遞增，又，即，而，∴，即的最大值為3.52．已知函數(shù)，.（1）討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，證明：.【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）先求解出，然后根據(jù)、、分類討論的取值正負(fù)，由此確定出的單調(diào)性，再結(jié)合分析的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）根據(jù)已知條件確定出滿足的關(guān)系式，然后計(jì)算并將其轉(zhuǎn)化為“”，故只需證明“”，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)并分析其單調(diào)性以及取值范圍來(lái)完成證明.【詳解】解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，，令，時(shí)，因?yàn)?，，，所以在上單調(diào)遞增，又，故有且只有個(gè)零點(diǎn)：時(shí)，，，在上單調(diào)遞增，又，故有且只有個(gè)零點(diǎn)；時(shí)，有兩正根，，，由于，所以，，當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增；因?yàn)椋?，所以在上有個(gè)零點(diǎn)，且，，又，，且，，所以在，上各有個(gè)零點(diǎn).綜上所述，當(dāng)時(shí)，有且只有個(gè)零點(diǎn)：當(dāng)時(shí)，有個(gè)零點(diǎn).（2）證明：由（1）知，存在兩個(gè)極值點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng).由于的兩個(gè)極值點(diǎn)，滿足，所以，，不妨設(shè)，則，則，，所以等價(jià)于，即，令，則所以在上單調(diào)遞減，所以，所以.53．已知函（）有兩個(gè)極值點(diǎn)，．（1）求的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，證明：．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析．【分析】（1）先求定義域?yàn)?，求?dǎo)可得，令，由函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，則函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可得解；（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，則，，由，所以，考查函數(shù)，即可得解.【詳解】（1）由題可知，函數(shù)的定義域?yàn)?，，令，因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，所以函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，函數(shù)至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意．當(dāng)時(shí)，令，得，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．注意到，所以當(dāng)，即時(shí)，有唯一零點(diǎn)，不符合題意．當(dāng)即時(shí)，，當(dāng)即時(shí)，在上有唯一零點(diǎn)．，設(shè)，，則，所以在(0，1)上單調(diào)遞減，所以，即．又，所以在上有唯一零點(diǎn)．此時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)，符合題意．當(dāng)，即時(shí)，在上有唯一零點(diǎn)．而，（易知），所以在上有唯一零點(diǎn)．此時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)，符合題意．綜上，的取值范圍是．（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)，，不妨設(shè)，則，．因?yàn)椋裕O(shè)，，則，設(shè)，，則，所以在上單調(diào)遞減，，即，所以在上單調(diào)遞減．因?yàn)?，所以，，即證得．54．已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，求的最大值．【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）．【分析】（1）先求解出，然后根據(jù)，進(jìn)行分類討論，由此確定出的單調(diào)性；（2）根據(jù)的結(jié)果化簡(jiǎn)，將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，再采用換元法令，構(gòu)造關(guān)于的函數(shù)，分析其單調(diào)性并確定出其最大值，則的最大值可求.【詳解】解：（1）．①當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，，其中，若，則，函數(shù)在單調(diào)遞增；若，設(shè)方程的兩根分別為，，則，．解得：，，則函數(shù)在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．（2）由（1）知當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，，所以，由（1）知，，則，，∵，∴，令，則，，則函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞減，則的最大值為．55．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：，，.【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）求出，令和可得答案.

（2）即證明：,設(shè)，可得為上的減函數(shù)，可得，從而得證.【詳解】解：（1）由，則，，，令，解得；令，解得.所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）證明：，要證明.即證明：.即證明：.令，，且.，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，由，則，所以，即：，，成立.56．設(shè)函數(shù)．（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)根，設(shè)為，（），證明：．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切點(diǎn)處的斜率，從而寫出切線方程；（2）由函數(shù)導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)單調(diào)區(qū)間，分別取在點(diǎn)的切線方程及在處的切線方程為與的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，分別證得，，從而證得.【詳解】解：（1）由于，又，故在點(diǎn)的切線斜率，因此所求切線方程，即．（2）由于，故時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增，由圖易知，，，由（1）可知，在點(diǎn)的切線方程為，設(shè)與的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，且即，下證．由于在單調(diào)遞減，故只需證明即可．設(shè)（）．，故，，函數(shù)單調(diào)遞減，，，函數(shù)單調(diào)遞增，因此，即．又在處的切線方程為，設(shè)與的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，，即，下證．由于在單調(diào)遞增，故只需證明即可，設(shè)，，函數(shù)在單調(diào)遞減，，即．綜上易知，，即．57．已知，（1）求在處的切線方程及極值（2）若不等式對(duì)任意成立，求的最大整數(shù)解．（3）的兩個(gè)零點(diǎn)為，且為的唯一極值點(diǎn)，求證：【答案】（1）切線方程為；極小值為，無(wú)極大值；（2）；（3）證明見(jiàn)解析．【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出，即可得到切線方程，解得到單調(diào)遞增區(qū)間，解得到單調(diào)遞減區(qū)間，需注意在定義域范圍內(nèi)；（2）等價(jià)于，求導(dǎo)分析的單調(diào)性，即可求出的最大整數(shù)解；（3）由，求出導(dǎo)函數(shù)分析其極值點(diǎn)與單調(diào)性，構(gòu)造函數(shù)即可證明；【詳解】解：（1）所以定義域?yàn)?，，，，所以切線方程為；，令，解得；令，解得；所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．時(shí)有極小值為，無(wú)極大值；（2）等價(jià)于，，記，，所以為上的遞增函數(shù)，且，，所以，使得，即，所以在上遞減，在上遞增，且，所以的最大整數(shù)解為；（3）證明：，得，當(dāng)，；，；所以在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，而要使有兩個(gè)零點(diǎn)，要滿足，即；因?yàn)?，，令，由，，即，，而要證，只需證，即證，即證，由，只需證，令，則，令，則，故在上遞增，，故在上遞增，，．58．已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，若關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，且，求證：.【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，對(duì)分和兩種情況討論；（2）根據(jù)題意，得，兩式相減得，即，令，構(gòu)造函數(shù)即可證明.【詳解】解：（1）因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，對(duì)任意的成立當(dāng)時(shí)，令，得；令，得綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.證明：（2）當(dāng)時(shí)，方程，即為.根據(jù)題意，得，兩式相減得，即，故，所以，即，令，則，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增.又當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，即，所以當(dāng)時(shí)，即.59．已知函數(shù)有最小值M，且.（Ⅰ）求的最大值；（Ⅱ）當(dāng)取得最大值時(shí)，設(shè)，有兩個(gè)零點(diǎn)為，證明：.【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)題意，對(duì)參數(shù)b分類討論，通過(guò)導(dǎo)數(shù)驗(yàn)證函數(shù)是否有最小值，并求得最小值滿足的關(guān)系，即可證明不等式.（2）當(dāng)取得最大值時(shí)，,代入函數(shù)，分別表示兩個(gè)零點(diǎn)滿足的關(guān)系，將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為，消去參數(shù)m，以進(jìn)行換元，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題，從而證明不等式.【詳解】（Ⅰ）有題意當(dāng)時(shí)，，在上單增，此時(shí)顯然不成立；當(dāng)時(shí)，令，得，此時(shí)在上單減，在上單增，，即，所以.所以的最大值為1.（Ⅱ）當(dāng)取得最大值時(shí)，,.的兩個(gè)零點(diǎn)為，則；，即不等式恒成立等價(jià)于.兩式相減得，帶入上式得.令，，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，，得證.60．已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若，對(duì)于任意，證明：.【答案】（1）當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間是，減區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間是，減區(qū)間是；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）先求導(dǎo)，再按的正負(fù)分類討論，分區(qū)間確定的正負(fù)情況；（2）當(dāng)時(shí)，不等式變形為二元的對(duì)數(shù)式與齊二次分式形式，故采取整體元構(gòu)造函數(shù)法，令，構(gòu)造新函數(shù)，求導(dǎo)研究單調(diào)性，證明即可.【詳解】解：（1）的定義域?yàn)?，且，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增，，此時(shí)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增，，此時(shí)在上單調(diào)遞減.綜上可知：當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間是，減區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間是，減區(qū)間是.（2）由，，，由于，所以.設(shè)，故：，令，則，由于，故，則在上單調(diào)遞增，故，即：所證不等式成立.61．已知函數(shù)．（Ⅰ）求曲線在點(diǎn)（1，）處的切線方程；（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）已如函數(shù)，若，，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）在（0，）遞增，在遞減；（Ⅲ）.【分析】（Ⅰ）求函數(shù)導(dǎo)數(shù)得切線斜率，進(jìn)而由點(diǎn)斜式即可得解；（Ⅱ）求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)即可得單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）由（Ⅱ）得的最大值是，，，不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為恒成立，再求的導(dǎo)數(shù)，討論單調(diào)性求最值即可.【詳解】（Ⅰ）∵，定義域是，∴，，，故切線方程為，即；（Ⅱ）由（Ⅰ），令，解得，令，解得，故在（0，）遞增，在遞減；（Ⅲ）由（Ⅱ）得的極大值是，即的最大值是，∵，∴，令，解得或，若，，不等式恒成立，則時(shí)，恒成立，①當(dāng)即時(shí)，在上單調(diào)遞增，此時(shí)，令，得；②當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在遞減，在遞增，此時(shí)，令，解得，不符合題意；③當(dāng)即時(shí)，在遞減，故，令，解得，不符合題意綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是．62．已知函數(shù)(為常數(shù)).（1）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)的兩個(gè)極值點(diǎn)，，求的最小值.【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）最小值為.【分析】（1）先求解出，然后分類討論與的大小關(guān)系，由此確定出的單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)是的兩個(gè)極值點(diǎn)可求得的值，再利用的值將化簡(jiǎn)成，然后通過(guò)構(gòu)造新函數(shù)并分析其定義域結(jié)合單調(diào)性求解出其值域，則的取值范圍可求.【詳解】解：（1），，當(dāng)，由，解得，即當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；由解得，即當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，故，即在上單調(diào)遞增.綜上：當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）由題意得，為的兩個(gè)零點(diǎn)，由（1）得，故設(shè)，由且得，則，得.在上單調(diào)遞減，故.故最小值為.63．已知函數(shù)（），.（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，（），求證：.【答案】（Ⅰ）答案見(jiàn)解析；（Ⅱ）證明見(jiàn)解析.【分析】（Ⅰ）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，并對(duì)參數(shù)的取值范圍分類討論，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可；（Ⅱ）先確定存在極值點(diǎn)的條件，再利用韋達(dá)定理對(duì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后構(gòu)造函數(shù)求其最大值并比較即可得出結(jié)論.【詳解】解：（Ⅰ）函數(shù)（）的定義域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，，顯然這兩個(gè)圖象有一個(gè)交點(diǎn).不妨令，則當(dāng)時(shí)，，即，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，即，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增.綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（Ⅱ）證明：，則，此時(shí)，是方程的兩根，且，解得.由韋達(dá)定理得，，∴.令（），則.令，則.∵，∴，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴.∵，∴，∴，∴.64．已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù).（1）設(shè)函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，①求實(shí)數(shù)a的取值范圍；②證明：當(dāng)時(shí)，.【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）①；②證明見(jiàn)解析.【分析】（1）首項(xiàng)求，并且得到函數(shù)的解析式，并求，討論和求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）①有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以有兩個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)（1）的單調(diào)性，可知，并求出函數(shù)的極小值，討論，并結(jié)合零點(diǎn)存在性定理求的取值范圍；②首先判斷，并根據(jù)是的兩個(gè)零點(diǎn)，并轉(zhuǎn)化和，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，證明不等式.【詳解】解：（1）依題意，的定義域?yàn)?，且，則.①當(dāng)時(shí)，在上恒成立，單調(diào)遞減；②當(dāng)時(shí)，令得，，所以，當(dāng)時(shí)，，遞減；當(dāng)時(shí)，，遞增.綜上，當(dāng)時(shí)，的減區(qū)間為，無(wú)增區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的減區(qū)間為，增區(qū)間為.（2）①因?yàn)橛袃蓚€(gè)極值點(diǎn)，所以有兩個(gè)零點(diǎn).由（1）知，時(shí)不合；當(dāng)時(shí)，.（i）當(dāng)時(shí)，，沒(méi)有零點(diǎn)，不合；（ii）當(dāng)時(shí)，，有一個(gè)零點(diǎn)，不合；(ⅲ)當(dāng)時(shí)，.，設(shè)，，則.所以，即.所以存在，使得.又因?yàn)?，所以存在，使?的值變化情況如下表：x+0-0+極大值極小值所以當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn).綜上，a的取值范圍是.②因?yàn)?，，所?因?yàn)槭堑膬蓚€(gè)零點(diǎn)，所以，.所以，.記，則，所以在上單調(diào)遞增.又因?yàn)?，所以，?65．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）已知為函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，求的最大值．【答案】（1）在和單調(diào)遞增，單調(diào)遞減；（2）.【分析】（1）當(dāng)時(shí)，求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間；（2）先由為函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，得到，令，則由，求出；對(duì)于換元后得到利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，求出最大值即可.【詳解】定義域?yàn)?（1）當(dāng)時(shí)，令，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴在和單調(diào)遞增，單調(diào)遞減．（2）由題得，因?yàn)闉楹瘮?shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，則為方程的兩個(gè)實(shí)根，∴，所以∴，∴，所以令，則有，∴，∴對(duì)于，令則當(dāng)時(shí)，有；當(dāng)，有，所以在為增函數(shù)，時(shí)為減函數(shù)，所以所以y有最大值為．66．已知函數(shù)(aR)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，為函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：．【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)的解的情況分類討論得單調(diào)性；（2）由（1）知，化簡(jiǎn)，不等式化為，再由不妨設(shè)，轉(zhuǎn)化為只要證這個(gè)不等式可利用（1）中的結(jié)論證明．【詳解】（1），令當(dāng)即時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)即或時(shí)，①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，令，+0-0+遞增極大值遞減極小值遞增綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）由（1）知時(shí)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，不妨設(shè)，要證即證，即，設(shè)由（1）知當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，，則在上單調(diào)遞減，.原式得證.67．已知函數(shù).（Ⅰ）設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，證明：當(dāng)時(shí)，；（Ⅱ）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅲ）若使有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，證明：.【答案】（Ⅰ）證明見(jiàn)解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）證明見(jiàn)解析.【分析】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)對(duì)求導(dǎo)，證明時(shí)，即可.（Ⅱ）設(shè)函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷與的關(guān)系，根據(jù)恒成立，確定的取值范圍；（Ⅲ）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出，得到，證明結(jié)論成立即可.【詳解】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上為單調(diào)遞增函數(shù)，因?yàn)?，所以，（Ⅱ）設(shè)函數(shù)，則，令，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，得，所以當(dāng)時(shí)，在上為單調(diào)遞增函數(shù)，且，所以有，可得．當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為，且.又因?yàn)椋?，所以，在上，為單調(diào)遞減函數(shù)，所以此時(shí)有，即，得，此時(shí)不恒成立，綜上．（Ⅲ）若有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，不妨設(shè)，則為的兩個(gè)零點(diǎn)，且，，由（Ⅱ）知此時(shí)，并且在，為單調(diào)遞增函數(shù)，在上為單調(diào)遞減函數(shù)，且，所以，，因?yàn)?，，，且圖象連續(xù)不斷，所以，，所以，因?yàn)?，綜上得:.68．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最大值；（2）若關(guān)于的方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，證明：.【答案】（1）2；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷含的單調(diào)性，再求函數(shù)的最大值；（2）首先方程變形為，再構(gòu)造函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，再利用分析法，轉(zhuǎn)化不等式證明為，轉(zhuǎn)化為證明，利用換元轉(zhuǎn)化為證明.【詳解】（1）解：因?yàn)?，所?令，得；令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以.（2）證明：方程可化為.設(shè)，顯然在上是增函數(shù)，又，所以有，即方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，.由（1）可知，則有，所以的取值范圍為.因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)實(shí)數(shù)根，，所以，則，要證，即證.，需證.需證.不妨設(shè)，令，則，即要證.設(shè)，則，所以在上是增函數(shù)，，即成立，故原式成立.69．已知函數(shù)在和時(shí)取極值，且.（1）已知，求的值；（2）已知，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）求出，由的兩根是可求得；（2）由韋達(dá)定理得，，同時(shí)注意，化簡(jiǎn)，從而轉(zhuǎn)化為的函數(shù)，由及有兩不等實(shí)根得的范圍，再利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的取值范圍．【詳解】解：⑴∵，∴，∵在和時(shí)取極值，∴，∴，是的兩個(gè)不等實(shí)根，∴，，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意.⑵由⑴知，，∴∵，是的兩個(gè)不等實(shí)根，∴，，∴，，∴設(shè)，∵，∴，①又，是的兩個(gè)不等實(shí)根，∴△=，得，②由①②知，而，設(shè)，則，，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知在上恒成立，則在上恒成立，則在上單調(diào)遞減，而，，故的取值范圍為.70．已知函數(shù).（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）對(duì)求導(dǎo)，切線斜率為，再求切點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)斜式即可寫出切線方程；（2）由題意可得，是方程的兩個(gè)不等式的實(shí)根，等價(jià)于，是方程的兩個(gè)根，由根與系數(shù)的關(guān)系可得，，將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，再利用單調(diào)性求最值即可求解.【詳解】（1）由題意知，因?yàn)?，所以，，所以所求切線方程為，即；（2）由（1）知，因?yàn)槭堑膬蓚€(gè)不同的極值點(diǎn)，所以，是方程的兩個(gè)根，可得，，，易得，所以，，，，因?yàn)榭傻茫?，在單調(diào)遞減，，所以在上單調(diào)遞減，，從而的取值范圍為.71．已知函數(shù)若關(guān)于的方程有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根且.（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）求證：.【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）對(duì)求導(dǎo)，判斷的單調(diào)性，作出的圖象，所求的值使得與的圖象有兩個(gè)橫坐標(biāo)大于的交點(diǎn)即可；（2）由，兩式相加相減可得，由（1）知，構(gòu)造函數(shù)，，對(duì)其求導(dǎo)判斷單調(diào)性，再結(jié)合可得，要證不等式等價(jià)于即，證明其顯然成立即可求證原不等式成立,【詳解】（1），由可得；由可得或，所以在和單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以的極小值，的極大值，所以的圖象如圖所示：若有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根，則與的圖象有兩個(gè)橫坐標(biāo)大于的交點(diǎn)，由圖知：，（2）由題意可得，，兩式相加可得：①，兩式相減可得：②，所以，即③，將③代入①可得，因?yàn)椋蓤D知，設(shè)，，則，所以在單調(diào)遞減，所以，即，因?yàn)?，所以，因?yàn)樵趩握{(diào)遞減，所以，即，要證，只需證，即證，因?yàn)?，，所以顯然成立，故72．已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）記的兩個(gè)零點(diǎn)分別為，，求證：(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）先求解出，然后根據(jù)對(duì)進(jìn)行分類討論：、；當(dāng)時(shí)，根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)直接判斷即可，當(dāng)時(shí)，先分析單調(diào)性，然后分析最小值的取值正負(fù)以及根據(jù)零點(diǎn)的存在性定理判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)，由此確定出有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)的取值范圍；（2）通過(guò)等式變形，將待證明的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“當(dāng)時(shí)，”，通過(guò)構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析其單調(diào)性確定出最值，由此完成證明.【詳解】解：（1）的定義域?yàn)椋佼?dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增，至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；②當(dāng)時(shí)，，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，從而的最小值為．（i）若，即，此時(shí)至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意：（ii）若，即，∵在上單調(diào)遞增，，，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理得，在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)又∵在上單調(diào)遞減，且，考慮的正負(fù)，令，，則，∴在上單調(diào)遞減，∴，即，∵，∴，，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理得，在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)．所以，當(dāng)時(shí)，恰有兩個(gè)零點(diǎn)，符合題意．綜上得，．（2）由條件得，，∴要證，即證，即證，即證，即證①，設(shè)，不妨設(shè)，由知，證①式，即轉(zhuǎn)化為證明：當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，∴當(dāng)時(shí)，恒成立，即在上單調(diào)遞增，∴當(dāng)時(shí)，，所以成立．73．已知函數(shù)．（1）若，，試證明：當(dāng)時(shí)，；（2）若對(duì)任意，均有兩個(gè)極值點(diǎn)，．①求應(yīng)滿足的條件；②當(dāng)時(shí)，證明：．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）①；②證明見(jiàn)解析.【分析】（1）求出導(dǎo)數(shù)，求出其最小值，由最小值大于0，從而證明出結(jié)論．（2）①首先有兩個(gè)不等的實(shí)根，再用導(dǎo)數(shù)研究的性質(zhì)，求導(dǎo)，利用的正負(fù)確定的單調(diào)性及最小值點(diǎn)，在時(shí)，計(jì)算出，，，由零點(diǎn)存在定理可得存在兩個(gè)零點(diǎn)，即有兩個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，可取，此時(shí)沒(méi)有零點(diǎn)極值點(diǎn)；②由①知，，為的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，由于，可判斷出兩零點(diǎn)一正一負(fù)，即，且在遞減，下面先證，只需證明，注意到得，從而，再證；由函數(shù)單調(diào)性得，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為只需證明，即證明，這再用導(dǎo)數(shù)加以證明．【詳解】（1）證明：，，，，，令，解得．可得：時(shí)，函數(shù)取得極小值即最小值，∴，∴函數(shù)在當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，∴．∴當(dāng)時(shí)，．（2）①，．設(shè)，則，