投影變換與圖像校正

3.1投影變換3.2幾何變換3.3圖像校正3.4幾何校正方法第三章投影變換與圖像校正3.1投影變換：

：P=[X1,X2,X3]T

：P1=[Y1,Y2,Y3]T令兩坐標(biāo)系方向余弦為：L11－－y1與x1之間的方向余弦（夾角余弦）L12－－y1與x2之間的方向余弦L13－－y1與x3之間的方向余弦┋Lij－－yi與xj之間的方向余弦任一兩坐標(biāo)系：得與間關(guān)系：y1=L11X1+L12X2+L13X3y2=L21X1+L22X2+L23X3y3=L31X1+L32X2+L33X3如：y1L1L11L12L13x1Y=y2R=L2=L21L22L23X=x2

y3L3L31L32L33x3

則有Y=RXx1y1=L1X=∣L11L12L13∣x2

x3L1

為X與y1之間的方向余弦

到二維空間來理解:x1=xcos(β+γ)x2=xsin(β+γ)y1=x1

cosγ+x2cos(90°-γ)=xcosβ

y2=-x1sinγ+x2cosγ

x1x2y1y2xγβx1x2y1y2

-sinθcosθ0001即：R=cosθsinθ0

[三維坐標(biāo)中]繞x3轉(zhuǎn)θ角則有:

L11=cosθ

L12=cos(90°-θ)=sinθL13=0L21=cos(90°+θ)=-sinθL22=cosθ

L23=L31=L32=0=cos90°L33=1x2x3x1y1y2θθ矩陣正交條件:旋轉(zhuǎn)陣R為正交矩陣:二維時(shí):y1=

cosθsinθx1

y2-sinθcosθx2

有：x1=

cosθ–sinθy1x2sinθcosθy2三維時(shí)：有：L112+L122+L132=1

βγα

AA2（cos2α+cos2β+cos2γ）=A2正交陣RT=R-1

有：X=RTY

x1=L11y1+L21y2+L31y3x2=L12y1+L22y2+L32y3x3=L13y1+L23y2+L33y3繞x3、x2、x1旋轉(zhuǎn)的矩陣，轉(zhuǎn)角逆時(shí)針為正：繞x3軸轉(zhuǎn)θ角

cosθsinθ0R3=-sinθcosθ000

1繞x2軸轉(zhuǎn)β角

cosβ0-sinβR2=010

sinβ0cosβ

繞x1軸轉(zhuǎn)γ角

100R1=0cosγsinγ0-sinγcosγ

x2y2θx1y1x3y3γx2y2x1y1βx3y3任意旋轉(zhuǎn)：注意到：

m11m12m13R=m21m22m23只包括旋轉(zhuǎn)。

m31m32m33

進(jìn)一步的（旋轉(zhuǎn)、位移、透視、縮放）如何呢？[我們]引入齊次坐標(biāo)系，擴(kuò)展了非線性項(xiàng)—透視、位移

m11m12m13m14x向

H=m21m22m23m24y向

m31m32m33m34z向透視變換結(jié)果

m41m42m43m44x向位移展開理解：位移：|xyz1|11=|x+

Tx,y+

Ty,z+

Tz,1|1

Tx

Ty

Tz1

|x1y1z1|1

1=|x1y101+z/f|01/f1z的透視變換結(jié)果y1x1y2x2p1p2焦點(diǎn)fzZ透視：縮放：

|x1y1z11|m11

m22

m33

m44

=|m11x1m22y1m33z1m44

|

分項(xiàng)比總比例由三維變到二維空間：

|x1y1z11|m11m120m14m21m220m24=WH|x2

y2

0

1|m31m320m34

m41m420m44

矩陣A矩陣B矩陣C討論：

①給定mij及空間點(diǎn)A，可求C，即由三維求二維投影結(jié)果。

②由B、C求A，即由兩組不同的二維投影，可以算出三維空間坐標(biāo)，用于立體測距（兩個(gè)相機(jī)相對關(guān)系確定，如二目測距）

③由A、C求B，由足夠的空間點(diǎn)對及其二維投影可算出兩坐標(biāo)系間的變換關(guān)系（mij）[展開:]WHx2=m11x1+m21y1+m31z1+m41WHy2=m12x1+m22y1+m32z1+m42WH

=m14x1+m24y1+m34z1+m44令m44=1，消去WH得：

m11x1+m21y1+m31z1+m41－m14x1x2－m24y1x2－m34z1x2=x2m12x1+m22y1+m32z1+m42－m14x1y2－m24y1y2－m34z1y2=y212個(gè)系數(shù)，僅有二個(gè)方程，需要6對點(diǎn)可解。立體測量原理：立體測量參照系統(tǒng)的標(biāo)定：3.2幾何變換[研究典型的變換關(guān)系、典型線性變換、二維面上的線性變換含義表示及特征。]1)

點(diǎn)變換

比例變換：[xy]a0=∣ax,by∣=∣x*y*∣0b新坐標(biāo)舊坐標(biāo)

原點(diǎn)變換：∣xy∣ab=∣00∣cd

剪移：∣xy∣1b=∣x,bx+y∣

01

=∣x*y*∣同樣：∣xy∣10=∣cx+y,y∣c1

=∣x*y*∣xybx

yp*(x,bx+y)bxp(x,y)翻轉(zhuǎn)：繞x軸∣xy∣1=∣x,-y∣=∣x*y*∣-1

繞y軸∣xy∣-10=∣-x,y∣=∣x*y*∣01

繞x=y軸∣xy∣01=∣y,x∣=∣x*y*∣

102)直線變換－－兩個(gè)點(diǎn)的變換

Aab=A*BcdB*

兩條平行線變換后是否仍平行？

x1y1ab=ax1+cy1bx1+dy1=

x1*y1*

=A*

x2y2cdax2+cy2bx2+dy2x2*y2*

B*原來線的斜率：

A*

、

B*的斜率：

同理m1’線變換后

故m2=m2’平行線變換后，仍平行！3）單位正方形變換變換前后面積是否變化？有規(guī)律嗎？單位正方形：經(jīng)ab變換后面積關(guān)系：

cdA00 00A*

B10ab=ab=B*C11cda+cb+dC*D01cdD*變換后面積：AT=(a+c)(b+d)－1/2ab－1/2cd

－

c/2(b+b+d)－b/2(c+a+c)=ad–bc

=det[T]----變換矩陣的行列式的值

[注：此式可適用于任意形狀]——任意多邊形可理解為無數(shù)個(gè)小正方形組成。3.3圖像校正：原因：有畸變。清除畸變[一般多用于遙感圖像]變形因素：輻射量引起畸變幾何形狀畸變

遙感器：光學(xué)邊緣減光[中間亮兩邊暗]

電子系統(tǒng)，靈敏度偏移輻射量畸變：

太陽高度影響

地形變化

大氣（復(fù)雜）校正兩種途徑：根據(jù)畸變原因，建立數(shù)學(xué)模型（實(shí)際情況復(fù)雜不適用）參考點(diǎn)校正法－－推算全圖變形函數(shù)，前提是足夠多的參考點(diǎn)。幾何畸變：透視效應(yīng)，光學(xué)系統(tǒng)畸變，視角，機(jī)械系統(tǒng)速度不均勻。3.4幾何校正方法

1)模型校正和綜合校正：ABDCA’C’B’D’B（舊）實(shí)際采到

A（新）

可建立：A=HB

校正后

變換矩陣待校正A—A’對應(yīng)點(diǎn)對，由4個(gè)對應(yīng)點(diǎn)對，求H，一般為N對

h地面衛(wèi)星模型校正：

即直接找出變換矩陣H

由h、V、(相機(jī)安裝角)、

模型H

（X、Y、Z）

[由地面點(diǎn)校準(zhǔn)]評價(jià)：參數(shù)誤差[大，不好確定]

如：衛(wèi)星600KM高，角誤差是0.001弧度(千分之一弧度)

地面誤差：600×1000×0.001=600M

綜合校正：a)局部插值法：任一小三角形，三對對應(yīng)點(diǎn)對關(guān)系已知

x=abu+cx=au+bv+cydevfy=du+ev+f[只要3個(gè)對應(yīng)點(diǎn)對，即可求得a,b,c,d,e,f系數(shù)]分析[缺點(diǎn)]：

線性關(guān)系[實(shí)際中不一定是線性]

外插效果不好，所以

要求對應(yīng)點(diǎn)對足夠多，能覆蓋全圖1231‘2‘3‘**舊圖新圖b)擬合法：

全圖：x=f1(u,v)y=f2(u,v)

更復(fù)雜的，全圖是一個(gè)函數(shù)[一般用三階函數(shù)]

。2）基本問題：兩種途徑：給定舊圖坐標(biāo)（x,y）找（u,v）u=f1(x,y)v=f2(x,y)

給定新圖坐標(biāo)（u,v）找（x,y）x=g1(u,v)(可免去多余或缺少點(diǎn))y=g2(u,v)舊：1234567新：1234567舊：1234567新：1234567（整數(shù)點(diǎn)才有意義）（可免去多余或缺少點(diǎn)）新--舊圖帶來非整數(shù)點(diǎn)問題：YX舊圖vu新圖解決此問題，需要坐標(biāo)變換、灰度插值。3)典型坐標(biāo)變換方法：x=g1(u,v)y=g2(u,v)N:多項(xiàng)式階數(shù)，一般N=3假設(shè)N=2時(shí)：

x=k100+k110u+k101v+k120u2+k102v2+k111uvy=k200+k210u+k201v+k220u2+k202v2+k211uvk—12個(gè)

(x,y)→(u,v)6對即可（實(shí)際上用12對）

g1，g2函數(shù)[冪函數(shù)可逼近任意函數(shù)]設(shè)坐標(biāo)點(diǎn)數(shù)R，當(dāng)R>6，寫成矩陣形式U維數(shù)：[R*6]

當(dāng)R>6時(shí)超定方程求解，用最小二乘解：誤差：

R對對應(yīng)點(diǎn)對取法：N=2時(shí)R》6N=3時(shí)R》10X=a+bu+cv+du2+ev2+fuv+gu2v+huv2+Iu3+Jv3Y=……

給定（u,v）→（x,y）需20次×2=40乘法

如何加速？4)灰度插值YX舊圖vu新圖非整數(shù)坐標(biāo)，灰度如何選取？三種插值方法：

近鄰法：

（u,v）→（x,y）(int)(x+0.5)；(int)(y+0.5)

整數(shù)小數(shù)

[缺點(diǎn)：校正后的圖象亮度有明顯的不連續(xù)性]

雙線性插值f(0,y)=f(0,0)+y[f(0,1)-f(0,0)]f(1,y)=f(1,0)+y[f(1,1)-f(1,0)]f(x,y)=f(0,y)+x·[f(1,y)-f(0,y)]=f(0,0)+[f(1,0)-f(0,0)]x+[f(0,1)-f(0,0)]y+[f(1,1)+f(0,0)-f(0,1)-f(1,0)]xy=ax+by+cxy+d

雙曲拋物面[雙線性內(nèi)插法具有低通濾波性質(zhì)，使高頻分量受損，圖象輪廓模糊]f(0,y)f(1,y)f(x,y)yx(0,0)(1,0)(0,1)(1,1)(x,y)立方卷積插值理論上最佳的插值函數(shù)Sinc(s)

用三次多項(xiàng)式W(S)來逼近它

∣S∣3-2∣S∣2+10≤∣S∣<1W（S）=-∣S∣3+