2023學(xué)年度 知能優(yōu)化訓(xùn)練42

1．下列數(shù)列是等比數(shù)列的是()A．1,1,1,1,1 B．0,0,0，…C．0，eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，eq\f(1,8)，… D．－1，－1,1，－1，…答案：A2．已知{an}是等比數(shù)列，a2＝2，a5＝eq\f(1,4)，則公比q等于()A．－eq\f(1,2) B．－2C．2 \f(1,2)答案：D3．若等比數(shù)列的前三項分別為5，－15,45，則第5項是________．答案：4054．在等比數(shù)列{an}中，(1)已知a3＝9，a6＝243，求a5；(2)已知a1＝eq\f(9,8)，an＝eq\f(1,3)，q＝eq\f(2,3)，求n.解：(1)∵a6＝a3q3，∴q3＝27，∴q＝3.∴a5＝a6·eq\f(1,3)＝81.(2)∵an＝a1qn－1，∴eq\f(1,3)＝eq\f(9,8)·(eq\f(2,3))n－1.∴(eq\f(2,3))n－1＝(eq\f(2,3))3，∴n＝4.一、選擇題1．等比數(shù)列{an}中，a1＝2，q＝3，則an等于()A．6 B．3×2n－1C．2×3n－1 D．6n答案：C2．在等比數(shù)列{an}中，若a2＝3，a5＝24，則數(shù)列{an}的通項公式為()\f(3,2)·2n \f(3,2)·2n－2C．3·2n－2 D．3·2n－1解析：選C.∵q3＝eq\f(a5,a2)＝eq\f(24,3)＝8，∴q＝2，而a1＝eq\f(a2,q)＝eq\f(3,2)，∴an＝eq\f(3,2)×2n－1＝3·2n－2.3．等比數(shù)列{an}中，a1＋a2＝8，a3－a1＝16，則a3等于()A．20 B．18C．10 D．8解析：選B.設(shè)公比為q(q≠1)，則a1＋a2＝a1(1＋q)＝8，a3－a1＝a1(q2－1)＝16，兩式相除得：eq\f(1,q－1)＝eq\f(1,2)，解得q＝3.又∵a1(1＋q)＝8，∴a1＝2，∴a3＝a1q2＝2×32＝18.4．(2022年高考江西卷)等比數(shù)列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5＞a2，則an＝()A．(－2)n－1 B．－(－2)n－1C．(－2)n D．－(－2)n解析：選A.∵|a1|＝1，∴a1＝1或a1＝－1.∵a5＝－8a2＝a2·q3，∴q3＝－8，∴q＝－2.又a5＞a2，即a2q3＞a2，∴a2＜0.而a2＝a1q＝a1·(－2)＜0，∴a1＝1.故an＝a1·(－2)n－1＝(－2)n－1.5．下列四個命題中正確的是()A．公比q＞1的等比數(shù)列的各項都大于1B．公比q＜0的等比數(shù)列是遞減數(shù)列C．常數(shù)列是公比為1的等比數(shù)列D．{lg2n}是等差數(shù)列而不是等比數(shù)列解析：選錯，a1＝－1，q＝2，數(shù)列各項均負．B錯，a1＝1，q＝－1，是擺動數(shù)列．C錯，常數(shù)列中0,0,0，…，不是等比數(shù)列．lg2n＝nlg2，是首項為lg2，公差為lg2的等差數(shù)列，故選D.6．等比數(shù)列{an}中，a1＝eq\f(1,8)，q＝2，則a4與a8的等比中項是()A．±4 B．4C．±eq\f(1,4) \f(1,4)解析：選A.由an＝eq\f(1,8)·2n－1＝2n－4知，a4＝1，a8＝24，其等比中項為±4.二、填空題7．若x,2x＋2,3x＋3是一個等比數(shù)列的連續(xù)三項，則x的值為__________．解析：由于x,2x＋2,3x＋3成等比數(shù)列，∴eq\f(2x＋2,x)＝eq\f(3x＋3,2x＋2)＝eq\f(3,2)且x≠－1,0.∴2(2x＋2)＝3x，∴x＝－4.答案：－48．等比數(shù)列{an}中，若an＋2＝an，則公比q＝__________；若an＝an＋3，則公比q＝__________.解析：∵an＋2＝an，∴anq2＝an，∴q＝±1；∵an＝an＋3，∴an＝anq3，∴q＝1.答案：±119．等比數(shù)列{an}中，a3＝3，a10＝384，則該數(shù)列的通項公式為an＝________.解析：a3＝a1q2＝3，a10＝a1q9＝384.兩式相比得q7＝128，∴q＝2，∴a1＝eq\f(3,4).an＝a1qn－1＝eq\f(3,4)×2n－1＝3·2n－3.答案：3·2n－3三、解答題10．已知數(shù)列{an}滿足：lgan＝3n＋5，求證：{an}是等比數(shù)列．證明：由lgan＝3n＋5，得an＝103n＋5，∴eq\f(an＋1,an)＝eq\f(103n＋1＋5,103n＋5)＝1000＝常數(shù)．∴{an}是等比數(shù)列．11．已知{an}為等比數(shù)列，a3＝2，a2＋a4＝eq\f(20,3)，求{an}的通項公式．解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則q≠＝eq\f(a3,q)＝eq\f(2,q)，a4＝a3q＝2q，∴eq\f(2,q)＋2q＝eq\f(20,3).解得q1＝eq\f(1,3)，q2＝3.當q＝eq\f(1,3)時，a1＝18，∴an＝18×(eq\f(1,3))n－1＝2×33－n.當q＝3時，a1＝eq\f(2,9)，∴an＝eq\f(2,9)×3n－1＝2×3n－3.綜上，當q＝eq\f(1,3)時，an＝2×33－n；當q＝3時，an＝2×3n－3.12．一個等比數(shù)列的前三項依次是a,2a＋2,3a＋3，則－13eq\f(1,2)是否是這個數(shù)列中的一項？如果是，是第幾項？如果不是，請說明理由．解：∵a,2a＋2,3a＋3是等比數(shù)列的前三項，∴a(3a＋3)＝(2a＋2)2.解得a＝－1，或a＝－4.當a＝－1時，數(shù)列的前三項依次為－1,0,0，與等比數(shù)列定義矛盾，故a＝－1舍去．當a＝－4時，數(shù)列的前三項依次為－4，－6，－9，則公比為q＝eq\f(3,2)，∴an＝－4