華中師大一附中自主招生考試數(shù)學(xué)試題

華中師大一附中自主招生考試數(shù)學(xué)試卷試題華中師大一附中自主招生考試數(shù)學(xué)試卷試題6/6華中師大一附中自主招生考試數(shù)學(xué)試卷試題華中師大一附中2018年高中招生考試數(shù)學(xué)試題考試時(shí)間：70分鐘卷面滿分：120分說(shuō)明：全部答案一律書(shū)寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在試卷上作答無(wú)效．一、選擇題(本大題共5小題，每題7分，共35分．在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)正確的．)1．二次函數(shù)y=x2＋2x＋c的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A(x1，0)，B(x2，0)，且x1＜x2，點(diǎn)P(m，n)是圖象上一點(diǎn)，那么以下判斷正確的選項(xiàng)是( )A．當(dāng)n＞0時(shí)，＜x1B．當(dāng)＞0時(shí)，＞2mnmxC．當(dāng)n＜0時(shí)，＜0D．當(dāng)＜0時(shí)，x1＜＜2mnmx2．已知實(shí)數(shù)a、b、c滿足a＜b＜c，并目k=，則直線y=－kx＋k必然經(jīng)過(guò)( )A．第一、三、四象限B．第一、二、四象限C．第一、二、三象限D(zhuǎn)．第二、三、四象限3．下邊程序框圖的算法思路源于我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中“更相減損術(shù)”．執(zhí)行該程序框圖，若輸入的、b分別為16、22，則輸出的a=(a←－b的含義：將a－b的結(jié)果賦aaa)( )A．0B．2C．4D．144．直線l：kx－y－2k－1=0被以A(1，0)為圓心，2為半徑的⊙A所截得的最短弦長(zhǎng)為( )A．B．2C．2D．45．如圖，△ABC中，AB=AC=8，BC=4，BF⊥AC于F，D是AB的中點(diǎn)，AE為AC上一點(diǎn)，且2EF=AC，則tan∠DEF=( )EA．B．DC．D．F二、填空題(本大題共5小題，每題7分，共35分)．BC6．若a＋b－2=3c5，則(bc)a的值為_(kāi)_________．7．已知△ABC的一邊長(zhǎng)為4，別的兩邊長(zhǎng)正是方程2x212x＋m＋1=0的兩實(shí)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是__________．8．如圖，D是△ABC的邊AB上的一點(diǎn)，且AB=3AD，P是△ABC外接圓上一點(diǎn)，使得ADP=∠ACB，則=__________．9．有十張正面分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的不透明卡片，它們除數(shù)字不相同外其余全部相同，將它們反面向上，洗勻后從中任取一張，以卡片上的數(shù)字作為關(guān)于x的不等式5xa≤5中的系數(shù)a，使得該不等式的正整數(shù)解只有1和2的概率為_(kāi)_________．10．若四個(gè)互不相等的正實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足(a2018c2018)(a2018d2018)=2018，(b2018c2018)(b2018d2018)=2018，則(ab)2018(cd)2018的值為_(kāi)_________．三、解答題(本大題共3小題，共50分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程和演算步驟)11．(本小題滿分16分)如圖1，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，DF=BE．(1)求證：CE=CF；(2)在圖1中，若G在AD上，且∠GCE=45°，則GE、BE、GD有什么數(shù)量關(guān)系？說(shuō)明原由；運(yùn)用(1)(2)解答中所積累的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)，完成下題：如圖2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC(BC＞AD)，∠B=90°，AB=BC=6，E是AB上一點(diǎn)，且∠DCE=45°，BE=2，求DE的長(zhǎng)．12．(本小題滿分16分)如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，已知點(diǎn)A(1，0)，B(1，1)，C(1，0)，D(1，1)，記線段AB為L(zhǎng)1，線段CD為L(zhǎng)2，點(diǎn)P是坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)．給出以下定義：若存在過(guò)點(diǎn)

P的直線

l與

L1，L2都有公共點(diǎn)，則稱(chēng)點(diǎn)

P是

L1

L2相關(guān)點(diǎn)，比方，點(diǎn)P(0，是L1－L2相關(guān)點(diǎn)．以下各點(diǎn)中，__________是L1－L2相關(guān)點(diǎn)(填出全部正確的序號(hào))；①(1，2)；②(5，2)；③(4，2)．直接在圖1中畫(huà)出全部L1－L2相關(guān)點(diǎn)所組成的地域，用陰影部分表示；(3)已知點(diǎn)M在y軸上，以M為圓心，r為半徑畫(huà)圓，若⊙M上有且只有一個(gè)點(diǎn)為L(zhǎng)1L2相關(guān)點(diǎn)．①當(dāng)r=1時(shí)，求點(diǎn)M的縱坐標(biāo)；②求r的取值范圍．13．(本小題滿分

18分)定義：點(diǎn)

P(x，y)為平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)，若滿足

x=y時(shí)，則稱(chēng)該點(diǎn)為“平衡點(diǎn)”，比方點(diǎn)

(－1，－1)，(0，0)，(

，)都是“平衡點(diǎn)”．①當(dāng)－

1≤x≤3時(shí)，直線

y=2x＋m上存在“平衡點(diǎn)”，則實(shí)數(shù)

m的取值范圍是

__________．直線y=3mx＋n－1上存在“平衡點(diǎn)”嗎？若存在，央求出“平衡點(diǎn)”的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明原由；若拋物線y=ax2＋bx＋1(a＞0)上存在兩個(gè)不相同的“平衡點(diǎn)”A(x1，x1)，B(x2，x2)，且滿足0＜x1＜2，=2，令t=b2－2b＋，試求實(shí)數(shù)t的取值范圍．華中師大一附中2018年高中招生考試數(shù)學(xué)試題參照答案考：70分卷面分：120分明：全部答案一律寫(xiě)在答卡上，寫(xiě)在卷上作答無(wú)效．一、(本大共5小，每小7分，共35分．在每小出的四其中，有且只有一是正確的．)號(hào)12345答案DABCA二、填空(本大共5小，每小7分，共35分)．6．367．9<m≤178．9．10．－2018三、解答(本大共3小，共50分．解答寫(xiě)出文字明、明程和演算步．)11．(1)明：在正方形ABCD中，BC=CD，∠B=∠CDF，BE=DF，∴△ACBE≌△CDF．∴CE=CF．???????????4分(2)GE=BE＋GD．原由以下：∵△CBE≌△CDF，∴∠BCE=∠DCF．∴∠ECD＋∠ECB=∠ECD＋∠FCD．即∠ECF=∠BCD=90°．又∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCE=45°．CE=CF，∠GCF=∠GCE，GC=GC，∴△ECG≌△FCG．∴EG=EF．∴GE=DF＋GD=BE＋GC．???????????10分C作CG⊥AD，交AD延于G，在直角梯形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠A=∠B=90°，又∠CGA=90°，AB=BC，∴四形ABCG正方形．AG=BC=6．已知∠DCE=45°，依照(1)(2)可知，ED=BE＋DG，DE=x，DG=x－2，AD=AG－DG=8－x，AE=AB－BE=6－2=4．Rt△AED中222222∵DE=AD＋AE，即x=(8－x)＋4解得x=5．∴DE=5???????????16分12．(1)②，③是L1－L2相關(guān)點(diǎn)。(寫(xiě)出一個(gè)2分)???????????4分(2)全部L1－L2相關(guān)點(diǎn)所成的地域中陰影部分(含界)．???????????8分(3)①∵點(diǎn)M在y上，⊙M上只有一個(gè)點(diǎn)L1－L2相關(guān)點(diǎn)，陰影部分關(guān)于y稱(chēng)，∴⊙M與直AC相切于(0，0)，或與直BD相切于(0，1)，如所示．又∵⊙M的半徑r=1，∴點(diǎn)M的坐(0，－1)或(0，2)，：此⊙M與直AD，BC無(wú)交點(diǎn)，M上只有一個(gè)點(diǎn)L1－L2相關(guān)點(diǎn)，吻合意．∴點(diǎn)M的坐(0，－1)或(0，2)．∴點(diǎn)M的坐－1或2．(求出一個(gè)1分，不不扣分)???????????10分②陰影部分關(guān)于直y=稱(chēng)，故不如點(diǎn)M位于陰影部分下方，∵點(diǎn)M在y上，⊙M上只有一個(gè)點(diǎn)L1－L2相關(guān)點(diǎn)，陰影部分關(guān)于y稱(chēng)，∴⊙M與直AC相切于O(0，0)，且⊙M與直AD相離．ME⊥AD于E，AD與BC的交點(diǎn)F，∴MO=r，ME＞r，F(xiàn)(0，)．在Rt△AOF中，∠AOF=90°，AO=1，OF=，∴AF==，sin∠AFO==．Rt△FEM中，∠FEM=90°，F(xiàn)M=FO＋OM=r＋sin∠EFM=sin∠AFO=，∴ME=FM·sin∠EFM=，∴＞r，又∵r＞0，∴0＜r＜＋2．???????????16分13．(1)－3≤m≤1由y=3mx＋n－1，當(dāng)y=x，3mx＋n－1=x(3m－1)x=1－n當(dāng)3－1=0，1－=0，即m=，n=1，方程有無(wú)數(shù)個(gè)解，mn此直y=x上全部點(diǎn)都是“平衡點(diǎn)”，坐(x，x)，x任意數(shù)????????6分當(dāng)3m－1=0，1－n≠0，即m=，n≠1，方程無(wú)解，此直y=x上不存在“平衡點(diǎn)”，????????????8分當(dāng)3m－1≠0，即m≠，方程有唯一解x=，此直=上只有一個(gè)“平衡點(diǎn)”，其坐(，)，x任意數(shù)????10分yx(3)立，消去y并整理得：ax2＋(b－1)x＋1=0∵拋物上存在兩個(gè)不相同的“平衡點(diǎn)”A(x1，x1)，B(x2，x2)∴x1，x2是方程ax2＋(b－1)x＋1=0兩個(gè)不相等的數(shù)根∴x1＋x2=，x1·