2023屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題 指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù) 講義 （解析版）

第Page\*MergeFormat9頁共NUMPAGES\*MergeFormat9頁高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)專題：指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)專題第一部分指數(shù)函數(shù)一、指數(shù)函數(shù)定義：函數(shù)叫指數(shù)函數(shù)。判斷下列函數(shù)是否為指數(shù)函數(shù)：①②③④⑤⑥⑦二、指數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)：1.指數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)。（找出六個點）xyO-4-3-2-1123xyO-4-3-2-1123412345678xyO-4-3-2-1123412345678定義域x∈Rx∈R值域(0,+)(0,+)過定點(0,1)(0,1)單調(diào)性在R上遞增在R上遞減注意：因是恒等式，故指數(shù)函數(shù)圖象過定點（0，1）。例。恒過定點（3，4）__。分析：因，則。值域的應(yīng)用：。例。求的值域。解：（反解法求值域）可化為：因則。2．與圖象間關(guān)系：xyO-4-3-2-1xyO-4-3-2-1123412345678由圖象可知：與圖象關(guān)于y軸對稱。規(guī)律：一般地，與圖象關(guān)于軸對稱。3．指數(shù)函數(shù)的相對關(guān)系：在同一個坐標系中畫出、與、圖象。xyO-4-3-2xyO-4-3-2-11234-1123456789規(guī)律：當a>1時，a越大，圖象增得越快，即越靠近y軸。當0<a<1時，a越小，圖象減得越快，即越靠近y軸。4．延伸作圖：xyO-4-3-2-11234xyO-4-3-2-1123412345678xyO-4-3-2-1123412345678（3）（4）三、指數(shù)函數(shù)基本題型：題型一：比較大小問題。例1．比較大?。孩佗冖邰堍萁猓孩僖?故是增函數(shù)，故。②因,故是減函數(shù)，故③可以畫圖比較大小，也可以取中間值1來比較。④可以畫圖比較大小，也可以取中間值來比較。⑤可以畫圖比較大小，也可以取中間值來比較。規(guī)律總結(jié)：比較大小常用的有三種方法：利用單調(diào)性：底數(shù)相同的，常用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小。畫圖：底數(shù)指數(shù)均不同的，常畫圖來比較大?。ㄒ话惴椒ǎ廴≈虚g值：取兩數(shù)的中間值，也可以比較大小。題型二：數(shù)形結(jié)合求參數(shù)的范圍。例1．是R上減函數(shù)，則a的取值范圍是()A.(0,1)B.C.D.分析：通過畫圖可知：先考慮各段區(qū)間的單調(diào)性，再考慮分界點（或線）處的函數(shù)值大小。例2．已知是R上的增函數(shù)，則a的取值范圍為（）A.B.C.D.分析：通過畫圖可知：練1。若是R上單調(diào)遞增函數(shù)，則a取值范圍是（）A.(1,+)B。C.(4,8)D.(1,8)例3．若在[1，2]上都是減函數(shù)，求a的取值范圍（）A．（-1，0）B。C。D.(0,1)分析：本題是數(shù)形結(jié)合與復(fù)合函數(shù)單調(diào)性規(guī)律的綜合題。例4．若函數(shù)圖象經(jīng)過第二、三、四象限，則（）A.0<a<1且b>0B.a>1且b>0C.0<a<1且b<0D.a>1且b<0題型三：解指數(shù)不等式。方法：（1）先把兩邊化為同底的指數(shù)式；（2）再利用單調(diào)性解決。（a值不確定時需要討論）例1．不等式的解集為________.解：即，故，則x∈[-3,1].第二部分冪函數(shù)一、冪函數(shù)定義：一般地，函數(shù)叫做冪函數(shù)。二、冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)：1．①y=x②③④xyO-6-5-4-3xyO-6-5-4-3-2-1123456-6-5-4-3-2-11234562．冪函數(shù)性質(zhì)：①都過定點（1，1），第一象限都有圖象，第四象限都無圖象。②單調(diào)性：當時，上遞增，且圖象過原點；當時上遞減，且圖象不過原點。即是增與減的分界線。當時，圖象都不過原點。③奇偶性：設(shè)當n為偶數(shù)，則為非奇非偶函數(shù)（因x>0或x≥0）。例：當n為奇數(shù)，m為偶數(shù)，則為偶函數(shù)。例：，當n為奇數(shù)，m為奇數(shù)，則為奇函數(shù)。例：，④凸性：當時，圖象下凸（增得快）；當時，圖象為一條直線；當時，圖象上凸（增得慢）。（是上凸與下凸的分界線）⑤各冪函數(shù)相對關(guān)系：用x=a,a>1與各冪函數(shù)圖象相交，從下到上是增加的；（正向變化）用x=a,0<a<1與各冪函數(shù)圖象相交，從下到上是減小的；（反向變化）故定點（1，1）點可以稱為超越點。凸性研究：下凸上凸例1．下列函數(shù)是冪函數(shù)的是（）A．B。C。D。例2．函數(shù)是冪函數(shù)，且在（0，+）上是增函數(shù)，求f(x)解析式。分析：由題意得：當m=2時，。例3．若冪函數(shù)圖象不過原點，則m取值范圍是分析：例4．當0<x<1時，的大小關(guān)系是（）A．h(x)<g(x)<f(x)