湖南省衡陽市部分校2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

湖南省高一期末考試數(shù)學(xué)試卷一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)二次方程求解集合，再求并集即可【詳解】由已知得，則.故選：A2.下列調(diào)查中，調(diào)查方式選擇合理的是（）A.了解某市高一年級學(xué)生的身高情況，選擇普查B.了解長征運載火箭的設(shè)備零件質(zhì)量情況，選擇抽樣調(diào)查C.了解一批待售袋裝牛奶的細(xì)菌數(shù)是否達(dá)標(biāo)，選擇普查D.了解一批炮彈的殺傷力，選擇抽樣調(diào)查【答案】D【解析】【分析】根據(jù)調(diào)查方式的特點逐個辨析即可【詳解】AC總量太大不適合普查，B應(yīng)該普查，根據(jù)抽樣調(diào)查和普查的特點即可判斷D正確.故選：D3.若一個圓錐的底面面積為，其側(cè)面展開圖是圓心角為的扇形，則該圓錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圓錐底面積求得圓錐底面半徑，根據(jù)側(cè)面展開圖是圓心角為的扇形求得母線長，進(jìn)而求得圓錐的高，根據(jù)圓錐體積公式即可求得答案.【詳解】設(shè)該圓錐的底面半徑為r,則，所以該圓錐的底面半徑，設(shè)圓錐的母線長為，則，即，則圓錐的高為，因此該圓錐的體積，故選:B4.袋子中有六個大小質(zhì)地相同的小球，編號分別為1，2，3，4，5，6，從中隨機摸出兩個球，設(shè)事件A為摸出的小球編號都為奇數(shù)，事件B為摸出的小球編號之和為偶數(shù)，事件C為摸出的小球編號恰好只有一個奇數(shù)，則下列說法全部正確的是（）①A與B是互斥但不對立事件②B與C是對立事件③A與C是互斥但不對立事件A.①② B.①③ C.②③ D.①②③【答案】C【解析】【分析】由題意可知摸出的兩球的編號可能都是奇數(shù)或都是偶數(shù)或恰好一個奇數(shù)一個偶數(shù)，共三種情況，由此可判斷A,B,C之間的互斥或?qū)α⒌年P(guān)系，可得答案.【詳解】由題意知，事件A為摸出的小球編號都為奇數(shù)，事件B為摸出的小球編號之和為偶數(shù)，即摸出的小球編號都為奇數(shù)或都為偶數(shù)，故事件A,B不互斥不對立，故①錯誤；事件C為摸出的小球編號恰好只有一個奇數(shù)，即摸出的兩球編號前位一個奇數(shù)一個偶數(shù)，其反面為摸出的小球編號都為奇數(shù)或都為偶數(shù)，故B,C是對立事件，故②正確；事件A,C不會同時發(fā)生，但摸出兩球的編號可能都是偶數(shù)，即A,C可能都不發(fā)生，故A,C是互斥但不對立事件，故③正確，故選：C.5.在平行四邊形ABCD中，E是BC的中點，DE交AC于F，則（）

A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題可得，再根據(jù)向量運算法則即可表示.【詳解】因為是BC的中點，，所以，所以.故選：D.6.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)分式與二次不等式分別求解，再根據(jù)充分與必要條件的性質(zhì)求解即可【詳解】由，可得，則，由，可得，則，故“”是“”的充分不必要條件.故選：A7.科學(xué)記數(shù)法是一種記數(shù)方法.把一個數(shù)表示成與10的次冪相乘的形式，其中.當(dāng)時，.若一個正整數(shù)的16次方是12位數(shù)，則是（）（參考數(shù)據(jù)：）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意得，進(jìn)而結(jié)合題意得，再根據(jù)得，進(jìn)而得.【詳解】解:由題意可設(shè)，因為正整數(shù)的16次方是12位數(shù)，所以，所以，因為，所以，所以，則，又.78，所以.故選：B8.已知的頂點都在球的表面上，若，球的表面積為，則點到平面的距離為（）A.1 B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正弦定理可得外接圓半徑為，結(jié)合球的表面積為可得球的半徑，再用勾股定理求解點到平面的距離即可【詳解】如圖，設(shè)是外接圓的圓心，所以.因為球的表面積為，所以球的半徑，從而點到平面的距離為.故選：C二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知，復(fù)數(shù)，且為純虛數(shù)，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，則（）A. B.C. D.復(fù)數(shù)的虛部為【答案】AC【解析】【分析】由題意，根據(jù)為純虛數(shù)，求得m值，根據(jù)求模公式、共軛復(fù)數(shù)的概念，逐一分析各個選項，即可得答案.【詳解】由題可知，對于A：因為為純虛數(shù)，所以，故A正確；對于B：，故B錯誤；對于C：，故C正確；對于D：復(fù)數(shù)的虛部為，故D錯誤.故選：.10.已知向量，，且，是與同向的單位向量，則（）A. B.C D.【答案】ACD【解析】【分析】對于選項A，根據(jù)，求出的值，進(jìn)行判斷；對于選項B，由的值可得的坐標(biāo)；對于選項C，由，坐標(biāo)，可得的坐標(biāo)，進(jìn)而計算的模；對于選項D，由的坐標(biāo)，根據(jù)公式計算與其同向單位向量的坐標(biāo)判斷正誤.【詳解】對于選項A，根據(jù)，求出的值，故A正確；對于選項B，由，得，故B錯誤；對于選項C，，，可得，所以，故C正確；對于選項D，因為單位向量與同向，所以，，故D正確.故選：ACD.11.如圖，這是一個正方體的平面展開圖，分別是棱的中點，則在該正方體中（）

AB.與是異面直線C.相交于一點D.【答案】ABC【解析】【分析】將正方體的平面展開圖還原，再逐個分析即可【詳解】將正方體的平面展開圖還原，得到如圖所示的正方體，對A，因為，且，故四邊形為平行四邊形，故，又則成立，故A正確；對B，因為分別是棱的中點，所以平面ADNE,平面ADNE//平面，且與不平行，所以兩直線是異面直線，故B正確；對C，，則相交，設(shè)相交于點，因為平面平面，平面平面所以，即相交于一點.故C正確；對D，連接，因為，與不垂直，所以與不垂直.故D錯誤

故選：ABC.12.設(shè)函數(shù)，已知在上有且僅有4個零點，則（）A.的取值范圍是B.的圖象與直線在上的交點恰有2個C.的圖象與直線在上的交點恰有2個D.在上單調(diào)遞減【答案】AB【解析】【分析】對于A,確定，根據(jù)零點個數(shù)確定，求得參數(shù)范圍；對于B，C，采用整體代換思想，結(jié)合余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可判斷；對于D，當(dāng)時，確定，計算的范圍，從而確定在上單調(diào)性.【詳解】當(dāng)時，，因為在上有且僅有4個零點，所以，解得，故A正確；又由以上分析可知，函數(shù)在上有且僅有4個零點，且，則在上，出現(xiàn)兩次最大值，此時函數(shù)的大致圖象如圖示：即上兩次出現(xiàn)最大值1，即取時，取最大值，故的圖象與直線在上的交點恰有2個，故B正確；由于當(dāng)時，，，當(dāng)時，取最小值，由于是否取到不確定，故的圖象與直線在上的交點可能是1個或2個，故C錯誤；當(dāng)時，，因為，所以，，故值不一定小于，所以在上不一定單調(diào)遞減.故選：AB.【點睛】本題考查了復(fù)合型余弦函數(shù)的解析式中參數(shù)的確定以及零點以及最值和單調(diào)性問題，綜合性強，計算量大，解答時要能綜合應(yīng)用三角函數(shù)的相關(guān)知識靈活解答，關(guān)鍵是整體代換思想的應(yīng)用.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在答題卡中的橫線上.13.某機構(gòu)組織填寫關(guān)于環(huán)境保護(hù)的知識答卷（滿分100分），從中抽取了7份試卷，成績分別為68，83，81，81，86，90，88，則這7份試卷成績的第80百分位數(shù)為___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義求解即可【詳解】這組數(shù)據(jù)為，因為，所以這7份試卷成績的第80百分位數(shù)為88.故答案為：8814.已知，則___________.【答案】##-0.5【解析】【分析】由兩角和的正切公式，展開化簡，可得，所求上下同除，計算即可得答案.【詳解】由，解得，所以故答案為：15.已知是關(guān)于的方程的根，則___________.【答案】9【解析】【分析】代入方程的根，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件求解即可【詳解】由題可知，即，所以解得所以故答案為：916.《易經(jīng)》是闡述天地世間關(guān)于萬象變化的古老經(jīng)典，如圖，這是《易經(jīng)》中記載的幾何圖形—八卦圖．圖中正八邊形代表八卦，中間的圓代表陰陽太極圖，其余八塊面積相等的圖形代表八卦圖．已知正八邊形ABCDEFGH的邊長為2，P是正八邊形ABCDEFGH所在平面內(nèi)的一點，則的最小值為______．【答案】【解析】【分析】以為原點建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，將表示為關(guān)于的關(guān)系即可求出.【詳解】如圖，以為原點建立直角坐標(biāo)系，則，過作軸，因為正八邊形ABCDEFGH，所以是等腰直角三角形，所以,同理，過作軸，則,過作，則，所以，設(shè)，則，所以，，則，所以，其中表示點到點的距離的平方，因為點在正八邊形ABCDEFGH內(nèi)，所以的最小值為0，所以的最小值為.故答案為：.四?解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.函數(shù)的部分圖像如圖所示．

（1）求的解析式；（2）將的圖像向右平移個單位長度，再將圖像上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖像，求的解析式．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)圖像易得，再求出周期可求出，再利用即可求出；（2）先求出平移后的解析式，再求出的解析式即可.【小問1詳解】由函數(shù)圖像可得，，所以，則，又，所以，即，因為，所以，所以；【小問2詳解】將的圖像向右平移個單位，可得，再將圖像上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變），可得.18.為了解中學(xué)生的身高情況，某部門隨機抽取了某學(xué)校的100名學(xué)生，將他們的身高數(shù)據(jù)（單位：）按分為五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖

（1）求a并估計這100名學(xué)生身高的平均數(shù)；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）（2）在上述樣本中，用分層抽樣的方法從身高在的學(xué)生中抽取5人，再從這5人中隨機抽取2人，求這2人中至少有1人身高不低于160的概率.【答案】（1），平均數(shù)為（2）【解析】【分析】（1）由頻率分布直方圖求解即可；（2）先確定與抽取的人數(shù)并分別標(biāo)記，再結(jié)合古典概型的概率公式求解即可【小問1詳解】.平均數(shù)為，即這100名學(xué)牛身高的平均數(shù)為；【小問2詳解】身高在的學(xué)生有人，身高在的學(xué)生有人，故身高在的學(xué)生共有50人，用分層抽樣的方法從身高在的學(xué)生中抽取名，記為1，2，從身高在的學(xué)生中抽取名，記為.從這5名學(xué)生中隨機選取2名學(xué)生的所有結(jié)果為，共10種，其中這2人中至少有1人身高不低于的結(jié)果有9種.故所求概率.19.在①；②兩個條件中任選一個，補充到下面的問題中，并給出解答.在中，角的對邊分別為，___________.（1）若，求A；（2）已知，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）選①，可根據(jù)結(jié)合正弦定理得到結(jié)合題意從而推出，求得答案；選②，由得，結(jié)合正弦定理可得，從而推出，結(jié)合條件可得答案;（2）選①，由（1）結(jié)合條件可知，從而，由余弦定理求得a,根據(jù)三角形面積公司，即可求得答案;選②，由（1）結(jié)合條件可知，從而，由余弦定理求得a,根據(jù)三角形面積公司，即可求得答案;【小問1詳解】選①因為，所以，由正弦定理可得，即，由于在中，從而或，因為，故舍去，所以；選②因為，所以，即，由正弦定理可得，即，由于在中，，從而，因為，所以.【小問2詳解】若選①，由以上解答可知，或，因為，故不合題意，所以，則，由余弦定理，可得，解得，因為，所以，從而的面積為.若選②，由（1）解答可知，，則，由余弦定理，可得，解得，因為，所以，從而的面積為.20.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求的定義域；（2）若對任意的恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)計算可得；（2）依題意可得對任意的恒成立，參變分離可得對任意的恒成立，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)計算可得；【小問1詳解】解：當(dāng)時，令，即，即，解得，所以的定義域為.【小問2詳解】解：由對任意的恒成立，所以對任意的恒成立，即對任意的恒成立，因為是單調(diào)遞減函數(shù)，是單調(diào)遞減函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以，即的取值范圍為.21.如圖，在四棱錐中，，，，平面平面ABCD．（1）證明：平面PDC．（2）若E是棱PA的中點，且平面PCD，求點D到平面PAB的距離．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）在平面PDC內(nèi)找到兩條相交的的直線，使得PA垂直于它們即可；（2）運用等體積法，求出三棱錐P-ABD的體積和和三角形PAB的面積即可.【小問1詳解】∵平面ABCD平面PAD，，平面PAD平面ABCD=AD，∴CD平面PAD，，即平面PDC，平面PDC，平面ABCD；【小問2詳解】平面PDC，平面PDC，，在中，，，的面積為，取AD的中點G，連接PG，BG，因為是等腰直角三角形，，，，又∵平面平面ABCD，平面ABCD，，在中，，在中，，，是直角三角形，的面積，設(shè)點D到平面PAB的距離為x，三棱錐P-ABD的體積=，；綜上，D到平面PAB的距離為.22.甲?乙?丙三位同學(xué)進(jìn)行羽毛球比賽，約定賽制如下：比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場比賽，負(fù)者下一場輪空，經(jīng)抽簽，甲?乙首先比賽，丙輪空.設(shè)每場比賽雙方獲勝的概率