自動化車床管理的數(shù)學建模問題

-.z.題目：自動化車床管理的數(shù)學建模問題摘要本文討論了自動化車床連續(xù)加工零件的工序定期檢查和刀具更換的最優(yōu)策略。我們根據(jù)原始數(shù)據(jù)利用E*CEL軟件進展統(tǒng)計分析，得出刀具正常工作時長的函數(shù)，建立了以期望損失費用為目標函數(shù)的數(shù)學模型。問題一，我們假設所有的檢查為等間距，以檢查到的零件是否為次品來判定工序是否正常，假設一直未出現(xiàn)故障則當加工到定期換刀時刻就換刀，利用概率論的相關(guān)知識，求出一個周期內(nèi)的期望損失費用和期望零件個數(shù)，建立了以零件的期望損失費為目標函數(shù)的隨機優(yōu)化模型，求解得檢查間隔，換刀間隔，每個零件的期望損失費用。問題二，不管工序是否正常都有可能出現(xiàn)正品和次品，在問題一的根底上調(diào)整了檢查間隔中的不合格品所帶來的損失費用，同時加上了因誤檢停機而產(chǎn)生的費用，求出期望損失費用和期望零件個數(shù)，建立了以每個零件的期望損失費用為目標函數(shù)的隨機優(yōu)化模型，求解得出檢查間，換刀間隔，每個零件的期望損失費用。問題三，在問題二的根底上將工序正常工作的時間長由開場的近似等于刀具無故障工作的時間長，改良為刀具無故障工作時間長的95%，其它的故障近似服從均勻分布，求出一個周期內(nèi)的期望損失費用和零件個數(shù)，建立了以每個零件的期望損失費用為目標的隨機優(yōu)化模型，求解得出檢查間，換刀間隔，期望損失費用。關(guān)鍵詞：自動化車床管理檢查間隔換刀間隔-.z.一、問題重述一道工序用自動化車床連續(xù)加工*種零件，由于刀具損壞等原因該工序會出現(xiàn)故障，其中刀具損壞故障占90%，其他故障僅占10%。工序出現(xiàn)故障是完全隨機的，假定在生產(chǎn)任一零件時出現(xiàn)故障的時機均一樣。工作人員通過檢查零件來確定工序是否出現(xiàn)故障。現(xiàn)積累有150次刀具故障記錄，故障出現(xiàn)時該刀具完成的零件數(shù)如附件表。現(xiàn)方案在刀具加工一定件數(shù)后定期更換新刀具。生產(chǎn)工序的費用參數(shù)如下：故障時產(chǎn)出的零件損失費用f=300元/件；進展檢查的費用t=20元/次；發(fā)現(xiàn)故障進展調(diào)節(jié)使恢復正常的平均費用d=3000元/次〔包括刀具費〕；未發(fā)現(xiàn)故障時更換一把新刀具的費用k=1200元/次。1〕假定工序故障時產(chǎn)出的零件均為不合格品，正常時產(chǎn)出的零件均為合格品，試對該工序設計效益最好的檢查間隔〔生產(chǎn)多少零件檢查一次〕和刀具更換策略。2〕如果該工序正常時產(chǎn)出的零件不全是合格品，有1%為不合格品；而工序故障時產(chǎn)出的零件有25%為合格品，75%為不合格品。工序正常而誤認有故障停機產(chǎn)生的損失費用為1500元/次。對該工序設計效益最好的檢查間隔和刀具更換策略。3〕在〔2〕的情況，可否改良檢查方式獲得更高的效益。附：150次刀具故障記錄〔完成的零件數(shù)〕311460975463708666398771532474538740651458407420467207457337759488509486539218715509647565314613530578599319574647730481597589628132316601484440372477497591243587172668865362678382389673749836468384548643563526749487417649570214527308553743747619656525372607620726379605280586763851653492528607590590779576651249560723927449644325619734320599754433521971175582549549375802256557529678567656627502708531503452677524539212309573673398408592447463415594二、問題分析由題**息可知，由于刀具損壞等原因會使工序出現(xiàn)故障,工序出現(xiàn)故障完全是隨機的，即在生產(chǎn)任意一個零件時都有可能發(fā)生故障。工作人員通過檢查零件來確定工序是否出現(xiàn)故障,如果檢查過于頻繁,則工序就會經(jīng)常處于正常狀態(tài)而少生產(chǎn)出不合格品,然而,這將使檢查費用過高;檢查間隔過長,雖然可以減少檢查費用,但由于不能及時發(fā)現(xiàn)故障而可能導致大量不合格品出現(xiàn),必將提高每個零件的平均損失費用。根據(jù)題目信息，刀具加工一定件數(shù)的零件后將定期更新刀具，從而我們可以通過確定最正確檢查間隔和換刀間隔來減少損失。2.1對問題一的分析根據(jù)題目要求，我們假定所有的檢查都為等間隔檢查，因為未發(fā)生故障時生產(chǎn)的零件都是合格品，所以當發(fā)現(xiàn)零件不合格時就認為工序發(fā)生了故障，從而停機檢查并使其恢復正常。假設一直未發(fā)生故障，則當加工到定期更換刀具時刻，不管是否發(fā)生了故障都進展換刀。計算平均費用可分為兩種情況：〔1〕在換刀之前未發(fā)生故障，記平均損失費用為，〔2〕在換刀之前發(fā)生了故障，記平均損失費用為。然后以每個零件的期望損失費用為目標函數(shù)，運用MATLAB等軟件進展編程求解使其最小。2.2對問題二的分析根據(jù)題目中所給的條件，我們還是假定所有的檢查都為等間隔檢查，因為未發(fā)生故障時次品率為1%，發(fā)生故障時的正品率為25%，所以不能單憑是否檢查到次品來判定工序是否正常，在工序正常時有可能誤判，這樣就會產(chǎn)生誤檢停機費用，計算平均費用分為兩種情況：〔1〕在換刀之前未發(fā)生故障，損失費用記為，〔2〕在換刀之前發(fā)生了故障，損失費用記為，然后以每個零件的期望損失費用為目標函數(shù)，運用MATLAB軟件等進展編程求解使其最小。2.3對問題三的分析在實際情況下，在工序過程中，各個時間發(fā)生故障的概率是不同的，而第二問采取的等間隔檢查就在一定程度上浪費了這個條件，而且在第二問中誤檢，漏檢的概率比擬大，因此我們針對這兩點采取改良措施：非等距檢查，連續(xù)檢查法。三、模型假設(1)檢查時間和換刀時間忽略不計；(2)所有的故障都為刀具故障；(3)刀具故障服從正態(tài)分布：(4)每次只抽查一個零件檢查；(5)為整數(shù)，即(6)一道工序只需要一把刀具；四、變量說明：每件不合格品的損失費用；：每次檢查的費用；：發(fā)現(xiàn)故障進展調(diào)節(jié)使恢復正常的平均費用；：未發(fā)現(xiàn)故障時更換一把新刀具的費用；：平均檢查間隔；：定期換刀間隔；：一個周期內(nèi)的實際檢查次數(shù)；：工序正常而誤認有故障停機產(chǎn)生的損失費用；：每個零件的期望損失費用；：刀具壽命的概率密度函數(shù)；：出現(xiàn)故障時已經(jīng)生產(chǎn)的零件個數(shù)；：一個周期內(nèi)的期望損失總費用；：期望零件個數(shù)；：一個周期內(nèi)的最多檢查次數(shù)：在定期換刀之前未發(fā)生故障的損失費用：在定期換刀之前發(fā)生故障的損失費用五、模型建立與求解5.1數(shù)據(jù)處理5.1.1刀具正常工作的時間長的概率密度函數(shù)題中附錄給出了150次刀具故障的記錄，我們利用了E*CEL軟件對這些數(shù)據(jù)進展了相關(guān)的統(tǒng)計分析。我們采用了假設檢驗下的NPar檢驗來對其進展正態(tài)分布的檢驗，在顯著性水平時，發(fā)現(xiàn)刀具故障服從正態(tài)分布，其中。由此可知概率密度函數(shù)圖下面我們對正態(tài)分布進展檢驗：卡方檢驗是一種用途很廣的計數(shù)資料的假設檢驗方法。它屬于非參數(shù)檢驗的范疇，主要是比擬兩個及兩個以上樣本率(構(gòu)成比〕以及兩個分類變量的關(guān)聯(lián)性分析。其根本思想就是在于比擬理論頻數(shù)和實際頻數(shù)的吻合程度或擬合優(yōu)度問題。利用擬合檢驗法進展檢驗，我們用刀具壽命的最大值減去最小值，取70為區(qū)間長度，將其分成了12個區(qū)間，分別算它們的頻數(shù)，其中由于最后兩個區(qū)間的頻數(shù)都為3，根據(jù)檢驗的原則，我們將它們合并為一個區(qū)間，再計算各數(shù)值在區(qū)間出現(xiàn)的概率，其中n=70,得到表1所示數(shù)據(jù)：表1：各區(qū)間內(nèi)數(shù)據(jù)區(qū)間頻數(shù)130.5~200.5391.954.62200.5~270.57494.6910.45270.5~340.5101009.1010.99340.5~410.51214415.549.27410.5~480.51728921.6913.32480.5~550.52772924.6729.55550.5~620.53196124.6039.06620.5~690.51936120.0018.05690.5~760.51419613.5514.46760.5~830.54167.522.13830.5~900.5392.513.58900.5~975.5392.663.38在顯著性水平下，結(jié)果如下：，因為，在可承受區(qū)間內(nèi)，故服從正態(tài)分布。5.1.2刀具更換間隔在定期更換刀具之前，我們采用了等間距檢查的方式對零件進展檢查，假設出現(xiàn)故障則進展調(diào)節(jié)使其恢復正常，假設沒有檢查出故障，則到了定期更換刀具時刻進展換刀，為了簡化模型，我們假定在正常換刀之安康前進展的是整數(shù)次檢查，即。5.2模型一的建立與求解5.2.1模型一的建立如果在換刀之前未發(fā)生故障，則損失包括兩局部：〔1〕檢查費用；〔2〕更換刀具費用；則此種情況下總的損失為；如果在換刀之前發(fā)生了故障，此時實際檢查次數(shù)為，假設前次檢查生產(chǎn)的都是正品，個數(shù)為，則次品的個數(shù)為，此時損失包括三局部：〔1〕檢查費用為；〔2〕發(fā)現(xiàn)故障進展調(diào)節(jié)使恢復正常的費用；〔3〕損失費用；則此種情況下總的損失費用為期望損失為：期望零件個數(shù)：每個零件的期望損失費用：即，要使期望損失費用到達最低，則等價于求最正確的，使到達最小。5.2.2模型一的求解利用MATLAB對上述模型進展求解，可得到，，。即每生產(chǎn)31個零件檢查一次，生產(chǎn)248個零件后進展定期換刀，每個零件的期望損失費用為7.3693。5.3模型二的建立與求解5.3.1模型二的建立如果在換刀之前未發(fā)生故障，則在換刀時刻已經(jīng)生產(chǎn)的零件個數(shù)為，根據(jù)題中的信息，這些零件中的廢品率為1%，則損失費用包括四局部：〔1〕檢查費用：；〔2〕誤檢停機費用：；〔3〕正常工作時的次品損失費用：；〔4〕更換刀具費用：；則此種情況下總的損失費用為：如果在換刀之前已經(jīng)發(fā)生故障，假設第次檢查出故障，則此時已經(jīng)生產(chǎn)的零件個數(shù)為：，前次檢查都是正常工作的，未發(fā)生故障時生產(chǎn)的零件個數(shù)為，發(fā)生故障后生產(chǎn)的零件個數(shù)為：，根據(jù)題**息，我們可知，正常工作時次品率為1%，發(fā)生故障時次品率為75%，則損失費用包括五局部：〔1〕檢查費用：；〔2〕誤檢停機費用：；〔3〕正常工作時的次品損失費用：；〔4〕發(fā)現(xiàn)故障進展調(diào)節(jié)使恢復正常的費用；〔5〕發(fā)生故障后次品的損失費用：則此種情況下總的損失費用為：期望損失為：期望零件個數(shù)：每個零件的期望損失費用：即，要使平均損失費用到達最低，則等價于求最正確的，使到達最小。5.3.2模型二的求解利用MATLAB對上述模型進展求解，可得到，，。即每生產(chǎn)40個零件檢查一次，生產(chǎn)240個零件后進展定期換刀，每個零件的期望損失費用為10.779。5.4模型三的建立與求解5.4.1模型三的建立在實際情況下，在工序過程中，各個時間發(fā)生故障的概率是不同的，而第二問采取的等間隔檢查就在一定程度上浪費了這個條件，而且在第二問中誤檢，漏檢的概率比擬大，因此我們針對這兩點采取改良措施：非等距檢查，連續(xù)檢查法。非等距檢查如上圖所示，假設每個周期內(nèi)需要檢查n次，我們根據(jù)概率密度曲線，把無故障換刀點之前的面積平分成n份，S1=S2=……Sn即可以求得每個檢查點的位置，每兩個檢查點發(fā)生故障的概率就趨于平均。能大大提高檢查效率。連續(xù)檢查法連續(xù)檢查法是為了減少誤差和漏檢的概率，連續(xù)檢查法描述如下：一次性檢查兩個零件1、假設兩個零件都為合格品，則判斷無故障2、假設兩個零件都為不合格品，則判斷故障3、假設兩個零件，一個為合格品，一個為不合格品，則再檢查一個零件，根據(jù)第三個零件進展判斷。根據(jù)上面檢查法，我們分別計算在這種檢查法的情況下誤檢與漏檢的概率P與期望檢查的費用Q誤檢：誤檢發(fā)生在正常工序階段，在上面的檢查法中，只有2和3的情況會發(fā)生誤檢。P2=0.01*0.01=0.0001P3=2*0.01*0.99*0.01=0.000198P(1)=P2+P3=0.000298Q(1)=〔0.01*0.01+0.99*0.99〕*25+2*0.01*0.99*75=25.99漏檢：漏檢發(fā)生在故障工序階段，在上面的檢查法中只有1和3才會發(fā)生漏檢P1=0.25*0.25=0.0625P3=2*0.25*0.75*0.25=0.09375P(2)=P1+P3=0.15625Q(2)=(0.25*0.25+0.75*0.75)*25+2*0.25*0.75*75=43.75采用這種連續(xù)檢查法，我們發(fā)現(xiàn)漏檢和誤檢的概率大大降低，L期望損失與模型二比擬明顯變小，到達了理想的結(jié)果。假設此時工序正常工作的時間長的概率密度函數(shù)為，則根據(jù)模型二中的相關(guān)知識，建立的模型如下：如果在換刀之前未發(fā)生故障，則在換刀時刻已經(jīng)生產(chǎn)的零件個數(shù)為，根據(jù)題中的信息，這些零件中的廢品率為1%，則損失費用包括四局部：〔1〕檢查費用：；〔2〕誤檢停機費用：〔3〕正常工作時的次品損失費用：；〔4〕更換刀具費用：；則此種情況下總的損失費用為：如果在換刀之前已經(jīng)發(fā)生故障，假設第次檢查出故障，則此時已經(jīng)生產(chǎn)的零件個數(shù)為：，前次檢查都是正常工作的，未發(fā)生故障時生產(chǎn)的零件個數(shù)為，發(fā)生故障后生產(chǎn)的零件個數(shù)為：，根據(jù)題**息，我們可知，正常工作時次品率為0.000298，發(fā)生故障時次品率為0.84375，則損失費用包括五局部：〔1〕檢查費用：；〔2〕誤檢停機費用：；〔3〕正常工作時的次品損失費用：；〔4〕發(fā)現(xiàn)故障進展調(diào)節(jié)使恢復正常的費用；〔5〕發(fā)生故障后次品的損失費用：[(n+1)*t0-*]*f*0.84375則此種情況下總的損失費用為：Ln=(n+1)*t0+h*n*0.000298+**f*0.000298+d+[(n+1)*t0-*]*f*0.84375期望損失為：期望零件個數(shù)：期望損失費用：即，要使平均損失費用到達最低，則等價于求最正確的，使到達最小。5.4.2模型三的求解利用MATLAB對上述模型進展求解，可得到，，。即每生產(chǎn)41個零件檢查一次，生產(chǎn)246個零件后進展定期換刀，期望損失費用為7.9118。采用這種連續(xù)檢查法，漏檢和誤檢的概率大大降低，L期望損失與模型二比擬明顯變小，到達了理想的結(jié)果。三種模型比擬模型一模型二模型三t0(檢查間隔)312798.5169t1(換刀周期)4527013.3740L〔期望損失〕452709.6568六、結(jié)果分析6.1模型一的評價此模型采用了等間隔檢查的方式，簡化了模型，其中對損失費用分兩種情況討論，簡單明了，易于理解。將求解最正確檢查間隔和換刀間隔轉(zhuǎn)化求解最小期望損失費用，使模型的目標性更強。但此模型為等間隔檢查，在兩次檢查中次品率可能會很高，這樣次品損失費用就會增加。6.2模型二的評價此模型考慮了工序正常工作和工序出現(xiàn)故障時產(chǎn)生的次品率，利用概率的相關(guān)知識，對模型簡化，最后將求解最正確檢查間隔和換刀間隔轉(zhuǎn)化求解最小期望損失費用，使模型的目標性更強。但模型考慮的是等間隔檢查，當發(fā)現(xiàn)次品時就停機檢查，誤檢停機費用會增加，發(fā)現(xiàn)正品時就繼續(xù)生產(chǎn)，次品損失費會增加。6.3模型三的評價此模型考慮到了等間隔檢查的方式并不合理，因為在工序過程中，各個時間發(fā)生故障的概率是不同的，所以應該采取非等間隔方式，大致是"前疏后密〞，考慮到第二問中誤檢，漏檢的概率比擬大，所以采用連續(xù)檢查法，降低誤檢率和漏檢率，進而減小期望損失。6.4模型的優(yōu)點1、本文建模思想易于理解，模型操作性強；2、對零件的檢查采取了等間隔抽查，簡化了模型，使模型便于建立和求解；3、將每個零件的平均損失費用作為目標函數(shù)，建立了評估體系，既有利于求出模型的最優(yōu)解，又比擬符合實際生產(chǎn)中企業(yè)取舍方案的標準；6.5模型的缺點1、我們沒有對模型進展模擬仿真：2、在模型一和模型二中，我們忽略了其他導致故障發(fā)生的原因，只考慮了刀具故障。6.6模型的改良對于問題二,由于工序正常時產(chǎn)出的零件仍有1%為不合格品,而工序故障時產(chǎn)生的靈件有25%為合格品,這樣工作人員在通過定期檢查單個零件來確定工序是否出現(xiàn)故障的檢查方式必然會導致兩種誤判〔1〕正常工序時因檢查到不合格零件而誤認為出現(xiàn)故障；〔2〕工序發(fā)生故障后檢查到的仍是合格品而認為工序正常,這兩種情況都將造成很大損失.我們建議采取連續(xù)檢查方式，分為以下幾種情況：〔1〕連續(xù)兩次檢查都為正品時，我們認為工序正常，繼續(xù)生產(chǎn)；〔2〕連續(xù)兩次檢查都為次品時，我們認為工序發(fā)生故障，進展維修使其恢復正〔3〕常后再生產(chǎn)；〔4〕連續(xù)兩次檢查中一次為正品，另一次為次品時，繼續(xù)第三次檢查，再進展判斷；這樣雖然會相應地增加檢查費用,但大大降低了因誤檢而造成的損失,從而使系統(tǒng)工序獲得更高的效益.七、參考文獻[1]盛驟謝式千"概率論與數(shù)理統(tǒng)計"高等教育.[2]蔡俊"可靠性工程學"**科學技術(shù).[3]沈玉波馮敬海"可修系統(tǒng)的最優(yōu)檢測更新模型""數(shù)學的實踐與認識"[4]朱道元"數(shù)學建模案例精選"科學[5]戴朝壽*世良"數(shù)學建模簡明教程"高等教育[6]樓順天陳生潭雷虎明"MATLAB5.*程序設計語言"**電子科技大學[7]宋來忠王志明"數(shù)學建模與實驗"科學八、附錄模型一求解的MATLAB源代碼：k=1;fora=132:540forb=1:a-1ifmod(a,b)==0;p=normcdf(a,540,163.9814);c=1200+a/b*20;d=0;fori=1:a/b+1q=normcdf(i*b,540,163.9814)-normcdf((i-1)*b,540,163.9814);d=d+(i*20+3000+q*b*300);ende(k)=(c*(1-p)+q*d)/a;f(k)=(c*(1-p)+q*d);g(k)=a;h(k)=b;k=k+1;endendend[zn]=min(e(1:k-1))g(n),h(n)附錄一>>k=1;fora=132:540forb=1:a-1ifmod(a,b)==0;p=normcdf(a,540,163.9814);c=1200+a/b*20;d=0;fori=1:a/b+1q=normcdf(i*b,540,163.9814)-normcdf((i-1)*b,540,163.9814);d=d+(i*20+3000+q*b*300);ende(k)=(c*(1-p)+q*d)/a;f(k)=(c*(1-p)+q*d);g(k)=a;h(k)=b;k=k+1;endendend[zn]=min(e(1:k-1))g(n),h(n)z=7.3693n=