初二數(shù)學(xué)-勾股定理講義(經(jīng)典)

初二數(shù)學(xué)--勾股定理講義(經(jīng)典)初二數(shù)學(xué)--勾股定理講義(經(jīng)典)初二數(shù)學(xué)--勾股定理講義(經(jīng)典)初二數(shù)學(xué)--勾股定理講義(經(jīng)典)編制僅供參考審核批準(zhǔn)生效日期地址：電話(huà)：傳真:郵編:第一章勾股定理【知識(shí)點(diǎn)歸納】考點(diǎn)一：勾股定理（1）對(duì)于任意的直角三角形，如果它的兩條直角邊分別為a、b，斜邊為c，那么一定有勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。（2）結(jié)論：①有一個(gè)角是30°的直角三角形，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。②有一個(gè)角是45°的直角三角形是等腰直角三角形。③直角三角形斜邊的中線(xiàn)等于斜邊的一半。（3）勾股定理的驗(yàn)證例題：例1：已知直角三角形的兩邊，利用勾股定理求第三邊。（1）在Rt△ABC中，∠C=90°①若a=5，b=12，則c=___________；②若a=15，c=25，則b=___________；③若c=61，b=60，則a=__________；④若a∶b=3∶4，c=10則Rt△ABC的面積是=________。（2）如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為，2n（n>1），那么它的斜邊長(zhǎng)是（）A、2n B、n+1 C、n2－1 D、（3）在Rt△ABC中，a,b,c為三邊長(zhǎng)，則下列關(guān)系中正確的是（）A.B.C.D.以上都有可能（4）已知一個(gè)直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和4，則第三邊長(zhǎng)的平方是（）A、25 B、14 C、7 D、7或25例2：已知直角三角形的一邊以及另外兩邊的關(guān)系利用勾股定理求周長(zhǎng)、面積等問(wèn)題。（1）直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為5和12，則它斜邊上的高為_(kāi)_________。（2）已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，則Rt△ABC的面積是（）A、24 B、36 C、48 D、60（3）已知x、y為正數(shù)，且│x2-4│+（y2-3）2=0，如果以x、y的長(zhǎng)為直角邊作一個(gè)直角三角形，那么以這個(gè)直角三角形的斜邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積為（） A、5 B、25 C、7 D、15例3：探索勾股定理的證明有四個(gè)斜邊為c、兩直角邊長(zhǎng)為a,b的全等三角形，拼成如圖所示的五邊形，利用這個(gè)圖形證明勾股定理。考點(diǎn)二：勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c有關(guān)系，，那么這個(gè)三角形是直角三角形。（2）常見(jiàn)的勾股數(shù)：（3n,4n,5n）,(5n,12n,13n)，(8n,15n,17n)，(7n,24n,25n)，(9n,40n,41n)…..（n為正整數(shù)）（3）直角三角形的判定方法：①如果三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c有關(guān)系，，那么這個(gè)三角形是直角三角形。②有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形。③兩內(nèi)角互余的三角形是直角三角形。④如果一個(gè)三角形一邊上的中線(xiàn)等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形。例題：例1：勾股數(shù)的應(yīng)用（1）下列各組數(shù)據(jù)中的三個(gè)數(shù)，可作為三邊長(zhǎng)構(gòu)成直角三角形的是（）A.4，5，6B.2，3，4C.11，12，13D.8，15，17（2）若線(xiàn)段a，b，c組成直角三角形，則它們的比為（）A、2∶3∶4 B、3∶4∶6 C、5∶12∶13 D、4∶6∶7例2：利用勾股定理逆定理判斷三角形的形狀（1）下面的三角形中：①△ABC中，∠C=∠A－∠B；②△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3；③△ABC中，a：b：c=3：4：5；④△ABC中，三邊長(zhǎng)分別為8，15，17．其中是直角三角形的個(gè)數(shù)有（）．A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)（2）若三角形的三邊之比為，則這個(gè)三角形一定是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.不等邊三角形（3）已知a，b，c為△ABC三邊，且滿(mǎn)足(a2－b2)(a2+b2－c2)＝0，則它的形狀為（）A.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形（4）將直角三角形的三條邊長(zhǎng)同時(shí)擴(kuò)大同一倍數(shù),得到的三角形是()A．鈍角三角形B.銳角三角形C.直角三角形D.等腰三角形（5）若△ABC的三邊長(zhǎng)a,b,c滿(mǎn)足試判斷△ABC的形狀。（6）△ABC的兩邊分別為5,12，另一邊為奇數(shù)，且a+b+c是3的倍數(shù)，則c應(yīng)為，此三角形為。例3：求最大、最小角的問(wèn)題（1）若三角形三條邊的長(zhǎng)分別是7,24,25，則這個(gè)三角形的最大內(nèi)角是度。（2）已知三角形三邊的比為1：：2，則其最小角為?？键c(diǎn)三：勾股定理的應(yīng)用例題：例1：面積問(wèn)題（1）下圖是一株美麗的勾股樹(shù)，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的邊長(zhǎng)分別是3、5、2、3，則最大正方形E的面積是（）A.13B.26C.47D.94（圖1）（圖2）（圖3）（3）如圖，△ABC為直角三角形，分別以AB，BC，AC為直徑向外作半圓，用勾股定理說(shuō)明三個(gè)半圓的面積關(guān)系，可得（）A.S1+S2>S3B.S1+S2=S3C.S2+S3<S1D.以上都不是（2）如圖所示，分別以直角三角形的三邊向外作三個(gè)正三角形，其面積分別是S1、S2、S3，則它們之間的關(guān)系是（）A.S1-S2=S3B.S1+S2=S3C.S2+S3<S1D.S2-S3=S1例2：求長(zhǎng)度問(wèn)題小明想知道學(xué)校旗桿的高，他發(fā)現(xiàn)旗桿頂端的繩子垂到地面還多1米，當(dāng)他把繩子的下端拉開(kāi)5米后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，求旗桿的高度。（2）在一棵樹(shù)10m高的B處，有兩只猴子，一只爬下樹(shù)走到離樹(shù)20m處的池塘A處；另外一只爬到樹(shù)頂D處后直接躍到A外，距離以直線(xiàn)計(jì)算，如果兩只猴子所經(jīng)過(guò)的距離相等，試問(wèn)這棵樹(shù)有多高例3：最短路程問(wèn)題（1）如圖1，已知圓柱體底面圓的半徑為，高為2，AB，CD分別是兩底面的直徑，AD，BC是母線(xiàn)，若一只小蟲(chóng)從A點(diǎn)出發(fā)，從側(cè)面爬行到C點(diǎn)，則小蟲(chóng)爬行的最短路線(xiàn)的長(zhǎng)度是。（結(jié)果保留根式）（圖1）（2）如圖2，有一個(gè)長(zhǎng)、寬、高為3米的封閉的正方體紙盒，一只昆蟲(chóng)從頂點(diǎn)A要爬到頂點(diǎn)B，那么這只昆蟲(chóng)爬行的最短距離為。（圖2）例4：航海問(wèn)題（1）一輪船以16海里/時(shí)的速度從A港向東北方向航行，另一艘船同時(shí)以12海里/時(shí)的速度從A港向西北方向航行，經(jīng)過(guò)小時(shí)后，它們相距________海里．（2）如圖1，某貨船以24海里／時(shí)的速度將一批重要物資從A處運(yùn)往正東方向的M處，在點(diǎn)A處測(cè)得某島C在北偏東60°的方向上。該貨船航行30分鐘到達(dá)B處，此時(shí)又測(cè)得該島在北偏東30°的方向上，已知在C島周?chē)?海里的區(qū)域內(nèi)有暗礁，若繼續(xù)向正東方向航行，該貨船有無(wú)暗礁危險(xiǎn)試說(shuō)明理由。（圖1）（圖2）如圖2，某沿海開(kāi)放城市A接到臺(tái)風(fēng)警報(bào)，在該市正南方向260km的B處有一臺(tái)風(fēng)中心，沿BC方向以15km/h的速度向D移動(dòng)，已知城市A到BC的距離AD=100km，那么臺(tái)風(fēng)中心經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間從B點(diǎn)移到D點(diǎn)如果在距臺(tái)風(fēng)中心30km的圓形區(qū)域內(nèi)都將有受到臺(tái)風(fēng)的破壞的危險(xiǎn)，正在D點(diǎn)休閑的游人在接到臺(tái)風(fēng)警報(bào)后的幾小時(shí)內(nèi)撤離才可脫離危險(xiǎn)例5：網(wǎng)格問(wèn)題（1）如圖，正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，則網(wǎng)格上的三角形ABC中，邊長(zhǎng)為無(wú)理數(shù)的邊數(shù)是（）A．0B．1C．2D．3（2）如圖，正方形網(wǎng)格中的△ABC，若小方格邊長(zhǎng)為1，則△ABC是（）A.直角三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.以上答案都不對(duì)（3）如圖，小方格都是邊長(zhǎng)為1的正方形,則四邊形ABCD的面積是()A．25B.C.9D.（圖1）（圖2）（圖3）例6：圖形問(wèn)題（1）如圖1，求該四邊形的面積（2）（2010四川宜賓）如圖2，已知，在△ABC中，∠A=45°，AC=eq\r(\s\do1(),2)，AB=eq\r(\s\do1(),3)+1，則邊BC的長(zhǎng)為．（圖1）（圖2）（3）某公司的大門(mén)如圖所示,其中四邊形ＡＢＣＤ是長(zhǎng)方形,上部是以ＡＤ為直徑的半圓,其中ＡＢ=ｍ，ＢＣ=2ｍ,現(xiàn)有一輛裝滿(mǎn)貨物的卡車(chē),高為ｍ,寬為ｍ,問(wèn)這輛卡車(chē)能否通過(guò)公司的大門(mén)并說(shuō)明你的理由.（4）將一根長(zhǎng)24㎝的筷子置于地面直徑為5㎝，高為12㎝的圓柱形水杯中，設(shè)筷子露在杯子外面的長(zhǎng)為h㎝，則h的取值范圍。【培優(yōu)提高】1.如圖是一張直角三角形的紙片，兩直角邊AC＝6cm、BC＝8cm，現(xiàn)將△ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕為DE，則BE的長(zhǎng)為（A）4cm （B）5cm（C）6cm（D）10cmABABCD如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分線(xiàn)，CD＝5㎝，求AB的長(zhǎng)．3.如圖，正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)都是1，每個(gè)小格的頂點(diǎn)叫格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)分別按下列要求畫(huà)三角形：①使三角形的三邊長(zhǎng)分別為3、、（在圖甲中畫(huà)一個(gè)即可）；②使三角形為鈍角三角形且面積為4（在圖乙中畫(huà)一個(gè)即可）．4．下列四組線(xiàn)段中，可以構(gòu)成直角三角形的是（），2，3，3，4，4，5，5，65．在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，則該三角形為（）A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．等腰直角三角形6.已知△ABC是邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜邊AC為直角邊，畫(huà)第二個(gè)等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜邊AD為直角邊，畫(huà)第三個(gè)等腰Rt△ADE，…，依此類(lèi)推，第n個(gè)等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)是．7.如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，的三邊的大小關(guān)系式：（A）（B）（C）（D）8．（本題滿(mǎn)分10分）[問(wèn)題情境]勾股定理是一條古老的數(shù)學(xué)定理，