(一)薛定諤方程課件

（一）薛定諤方程1.坐標變換：在解薛定諤方程的過程中，要設(shè)法使3個自變量分離；但在直角坐標系中：

r=(x2+y2+z2)1/2

無法使x、y、z分開；因此，必須進行坐標變換，即：直角坐標系坐標(x,

y,

z)→球坐標系坐標(r,

,

)得：

x=rsin

cosy=rsin

sinz=rcosr=(x2+y2+z2)1/2

(x,

y,

z)

(r,

,

)（一）薛定諤方程1.坐標變換：1直角坐標(x,y,z)與球坐標(r,,)之間的關(guān)系

直角坐標(x,y,z)與球坐標(r,,)之間的關(guān)2直角坐標(x,y,z)與球坐標(r,θ,φ)的轉(zhuǎn)換

222zyxr++=cosrz=qsinsinry=φqcossinrx=φq()()φq,,

,,

rΨzyxΨ()()φq,YrR=θ：0-2π,Φ：0-π直角坐標(x,y,z)與球坐標(r,θ,φ)的轉(zhuǎn)換2223

2.

波函數(shù)和3個量子數(shù)(n、l、m)

:薛定諤方程的數(shù)學(xué)解很多，但只有少數(shù)的數(shù)學(xué)解是符合電子運動狀態(tài)的合理解。在求合理解的過程中，引入了3個參數(shù)（量子數(shù)）n、l、m.于是波函數(shù)

(r,

,

)具有3個參數(shù)和3個自變量，寫為：

(r,,)

n,l,m

(r,,)

2.波函數(shù)和3個量子數(shù)(n、l、m):4量子數(shù)n、l、m的意義：每一組允許的n、l、m值→核外電子運動的一種空間狀態(tài)→有對應(yīng)的波函數(shù)n,l,m（r,,），表示一個原子軌道函數(shù)→有對應(yīng)的能量En,l；

量子數(shù)n、l、m的意義：53.四個量子數(shù)n、l、m和ms的意義(1)主量子數(shù)n=1,2,3,4，5，6，7，它決定電子離核的平均距離、能級。1.確定電子出現(xiàn)概率最大的區(qū)域離核的平均距離。

2.確定電子層:

n1234567

電子層KLMNOPQ3.四個量子數(shù)n、l、m和ms的意義(1)主量子數(shù)n6(2)角量子數(shù)l

(軌道角動量量子數(shù))l=0,1,2,3…n-1，共有n個值.1.確定原子軌道和電子云在空間的角度分布情況（形狀）；2.在多電子原子中，n與l一起決定的電子的能量；3.確定電子亞層：l

0

1

2

34

電子亞層：spdfgl=0123anforbital(2)角量子數(shù)l(軌道角動量量子數(shù))l=07(3)磁量子數(shù)m

m

=0,±1,±2,…±l.（共有“2l+1”個值）m值決定波函數(shù)(原子軌道)或電子云在空間的伸展方向:由于m可?。?l+1）個值，所以相應(yīng)于一個l值的電子亞層共有（2l+1）個取向，例如d軌道的l=2，m

=0，±1,±2，則d軌道共有5種取向的軌道。(3)磁量子數(shù)m8(4)自旋量子數(shù)ms

ms=1/2,表示同一軌道中電子的二種自旋狀態(tài)。根據(jù)四個量子數(shù)的取值規(guī)則，則每一電子層中可容納的電子總數(shù)為2n2(4)自旋量子數(shù)ms9四個量子數(shù)描述核外電子運動的可能狀態(tài)例：

原子軌道

msn=1l=01s(1個)

1/2n=2l=0，ml=02s(1個)

1/2

l=1，ml=0,12p(3個)

1/2

n=3l=0，ml=03s(1個)

1/2l=1，ml=0,13p(3個)

1/2l=2，ml=0,1，23d(5個)

1/2

n=4?四個量子數(shù)描述核外電子運動的可能狀態(tài)例：10氫原子和類氫離子(單電子體系)

的幾個波函數(shù)氫原子和類氫離子(單電子體系)

的幾個波函數(shù)11（二）波函數(shù)圖形波函數(shù)n,l,m(r,,)是三維空間坐標r,,

的函數(shù)，不可能用單一圖形來全面表示它，需要用各種不同類型的圖形表示。設(shè)n,l,m(r,,)=

Rn,l(r)

Yl,m(,)

空間波函數(shù)

徑向部分

角度部分

3參數(shù)3自變量2參數(shù)1自變量2參數(shù)2自變量

n、l、ml

→波函數(shù)n,l,m(r,,)(原子軌道)；

n、l

→能量En,l

原子軌道——區(qū)別于玻爾的“軌道”.

波函數(shù)圖形又稱為“原子軌道（函）圖形”。（二）波函數(shù)圖形波函數(shù)n,l,m(121.波函數(shù)（原子軌道）的角度分布圖

即Yl,m(,)-(,)對畫圖.（1）作圖方法：

①原子核為原點，引出方向為(,)的向量；

②從原點起，沿此向量方向截取長度=|Yl,m(,)|的線段；

③所有這些向量的端點在空間組成一個立體曲面，就是波函數(shù)的角度分布圖。1.波函數(shù)（原子軌道）的角度分布圖13原子軌道與電子云的空間圖像例：氫原子波函數(shù)2,1,0的角度部分2Pz為例原子軌道與電子云的空間圖像例：氫原子波函數(shù)2,1,0的角度14

原子軌道角度分布圖和電子云的角度分布圖：原子軌道角度分布圖和電子云的角度分布圖：15波函數(shù)（原子軌道）的角度分布圖(剖面圖)(一)薛定諤方程課件16

p原子軌道角度分布圖p原子軌道角度分布圖17d原子軌道角度分布圖d原子軌道角度分布圖181.波函數(shù)（原子軌道）的角度分布圖

（2）意義：表示波函數(shù)角度部分隨,的變化，與r無關(guān)。（3）用途：用于判斷能否形成化學(xué)鍵及成鍵的方向（分子結(jié)構(gòu)理論：雜化軌道）。1.波函數(shù)（原子軌道）的角度分布圖192.波函數(shù)徑向部分圖形（徑向波函數(shù)圖形）

即Rn,l(r)-r對畫圖（1）作圖方法:寫出Rn,l(r)的表達式。例.氫原子波函數(shù)100(r,,)(1s原子軌道)的徑向部分為：R10

(r)=2(1/a03)1/2exp(-Zr/a0)求出不同r對應(yīng)的R(r)值，并以r為橫標、

R(r)為縱標作圖。（2）意義：表示波函數(shù)徑向部分隨r的變化。

2.波函數(shù)徑向部分圖形（徑向波函數(shù)圖形）20（一）薛定諤方程1.坐標變換：在解薛定諤方程的過程中，要設(shè)法使3個自變量分離；但在直角坐標系中：

r=(x2+y2+z2)1/2

無法使x、y、z分開；因此，必須進行坐標變換，即：直角坐標系坐標(x,

y,

z)→球坐標系坐標(r,

,

)得：

x=rsin

cosy=rsin

sinz=rcosr=(x2+y2+z2)1/2

(x,

y,

z)

(r,

,

)（一）薛定諤方程1.坐標變換：21直角坐標(x,y,z)與球坐標(r,,)之間的關(guān)系

直角坐標(x,y,z)與球坐標(r,,)之間的關(guān)22直角坐標(x,y,z)與球坐標(r,θ,φ)的轉(zhuǎn)換

222zyxr++=cosrz=qsinsinry=φqcossinrx=φq()()φq,,

,,

rΨzyxΨ()()φq,YrR=θ：0-2π,Φ：0-π直角坐標(x,y,z)與球坐標(r,θ,φ)的轉(zhuǎn)換22223

2.

波函數(shù)和3個量子數(shù)(n、l、m)

:薛定諤方程的數(shù)學(xué)解很多，但只有少數(shù)的數(shù)學(xué)解是符合電子運動狀態(tài)的合理解。在求合理解的過程中，引入了3個參數(shù)（量子數(shù)）n、l、m.于是波函數(shù)

(r,

,

)具有3個參數(shù)和3個自變量，寫為：

(r,,)

n,l,m

(r,,)

2.波函數(shù)和3個量子數(shù)(n、l、m):24量子數(shù)n、l、m的意義：每一組允許的n、l、m值→核外電子運動的一種空間狀態(tài)→有對應(yīng)的波函數(shù)n,l,m（r,,），表示一個原子軌道函數(shù)→有對應(yīng)的能量En,l；

量子數(shù)n、l、m的意義：253.四個量子數(shù)n、l、m和ms的意義(1)主量子數(shù)n=1,2,3,4，5，6，7，它決定電子離核的平均距離、能級。1.確定電子出現(xiàn)概率最大的區(qū)域離核的平均距離。

2.確定電子層:

n1234567

電子層KLMNOPQ3.四個量子數(shù)n、l、m和ms的意義(1)主量子數(shù)n26(2)角量子數(shù)l

(軌道角動量量子數(shù))l=0,1,2,3…n-1，共有n個值.1.確定原子軌道和電子云在空間的角度分布情況（形狀）；2.在多電子原子中，n與l一起決定的電子的能量；3.確定電子亞層：l

0

1

2

34

電子亞層：spdfgl=0123anforbital(2)角量子數(shù)l(軌道角動量量子數(shù))l=027(3)磁量子數(shù)m

m

=0,±1,±2,…±l.（共有“2l+1”個值）m值決定波函數(shù)(原子軌道)或電子云在空間的伸展方向:由于m可?。?l+1）個值，所以相應(yīng)于一個l值的電子亞層共有（2l+1）個取向，例如d軌道的l=2，m

=0，±1,±2，則d軌道共有5種取向的軌道。(3)磁量子數(shù)m28(4)自旋量子數(shù)ms

ms=1/2,表示同一軌道中電子的二種自旋狀態(tài)。根據(jù)四個量子數(shù)的取值規(guī)則，則每一電子層中可容納的電子總數(shù)為2n2(4)自旋量子數(shù)ms29四個量子數(shù)描述核外電子運動的可能狀態(tài)例：

原子軌道

msn=1l=01s(1個)

1/2n=2l=0，ml=02s(1個)

1/2

l=1，ml=0,12p(3個)

1/2

n=3l=0，ml=03s(1個)

1/2l=1，ml=0,13p(3個)

1/2l=2，ml=0,1，23d(5個)

1/2

n=4?四個量子數(shù)描述核外電子運動的可能狀態(tài)例：30氫原子和類氫離子(單電子體系)

的幾個波函數(shù)氫原子和類氫離子(單電子體系)

的幾個波函數(shù)31（二）波函數(shù)圖形波函數(shù)n,l,m(r,,)是三維空間坐標r,,

的函數(shù)，不可能用單一圖形來全面表示它，需要用各種不同類型的圖形表示。設(shè)n,l,m(r,,)=

Rn,l(r)

Yl,m(,)

空間波函數(shù)

徑向部分

角度部分

3參數(shù)3自變量2參數(shù)1自變量2參數(shù)2自變量

n、l、ml

→波函數(shù)n,l,m(r,,)(原子軌道)；

n、l

→能量En,l

原子軌道——區(qū)別于玻爾的“軌道”.

波函數(shù)圖形又稱為“原子軌道（函）圖形”。（二）波函數(shù)圖形波函數(shù)n,l,m(321.波函數(shù)（原子軌道）的角度分布圖

即Yl,m(,)-(,)對畫圖.（1）作圖方法：

①原子核為原