《數(shù)學(xué)建模方法及其應(yīng)用》幻燈片

數(shù)學(xué)建模方法及其應(yīng)用韓中庚編著數(shù)學(xué)建模教學(xué)片第十六章隨機(jī)性決策分析方法設(shè)計(jì)制作：主要內(nèi)容

第十六章隨機(jī)性決策分析方法32022年11月21日隨機(jī)性決策問(wèn)題的根本概念；

效用函數(shù)的概念；

效用與風(fēng)險(xiǎn)的關(guān)系；

隨機(jī)優(yōu)勢(shì)與效用函數(shù)的關(guān)系；案例分析：彩票中的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

一、問(wèn)題的引入－彩票與數(shù)學(xué)42022年11月21日

彩票中的數(shù)學(xué)知多少？你們了解彩票嗎？你們買過(guò)彩票嗎？你們了解彩票的規(guī)章嗎？No,Idon’tknow!請(qǐng)問(wèn)幾個(gè)問(wèn)題：〔1〕博彩有規(guī)律可尋嗎？〔2〕現(xiàn)行的各種彩票方案中獎(jiǎng)的可能性有多大？〔3〕現(xiàn)行的彩票方案合理嗎？哪種方案“好”？〔4〕我們應(yīng)當(dāng)如何對(duì)待彩票？中國(guó)的彩票業(yè)還有多大的進(jìn)展空間？我想應(yīng)當(dāng)有規(guī)律吧！??！有這么懸乎嗎？52022年11月21日

一、問(wèn)題的引入－彩票與數(shù)學(xué)

“彩票中的數(shù)學(xué)”問(wèn)題〔CUMCM2023-B〕近年來(lái)“彩票颶風(fēng)”席卷中華大地，巨額誘惑使越來(lái)越多的人參加到“彩民”的行列，目前流行的彩票主要有“傳統(tǒng)型”和“樂(lè)透型”兩種類型?！皞鹘y(tǒng)型”承受“10選6+1”方案：中獎(jiǎng)等級(jí)10選6+1（6+1/10）基本號(hào)碼特別號(hào)碼說(shuō)明一等獎(jiǎng)abcdefg選7中（6+1）二等獎(jiǎng)abcdef

選7中（6）三等獎(jiǎng)abcdeXXbcdef

選7中（5）四等獎(jiǎng)abcdXXXbcdeXXXcdef選7中（4）五等獎(jiǎng)abcXXXXbcdXXXXcdeXXXXdef選7中（3）六等獎(jiǎng)abXXXXXbcXXXXXcdXXXXXdeXXXXXef選7中（2）62022年11月21日

一、問(wèn)題的引入－彩票與數(shù)學(xué)

“彩票中的數(shù)學(xué)”問(wèn)題〔CUMCM2023-B〕“樂(lè)透型”有多種不同的形式，比方“33選7”的方案和“36選6+1”的方案，中獎(jiǎng)等級(jí)33選7（7/33）36選6+1（6+1/36）基本號(hào)碼特別號(hào)碼說(shuō)明基本號(hào)碼特別號(hào)碼說(shuō)明一等獎(jiǎng)●●●●●●●選7中（7）●●●●●●★選7中（6+1）二等獎(jiǎng)●●●●●●○

★選7中（6+1）●●●●●●

選7中（6）三等獎(jiǎng)●●●●●●○選7中（6）●●●●●○★選7中（5+1）四等獎(jiǎng)●●●●●○○★選7中（5+1）●●●●●○選7中（5）五等獎(jiǎng)●●●●●○○選7中（5）●●●●○○★選7中（4+1）六等獎(jiǎng)●●●●○○○★選7中（4+1）●●●●○○選7中（4）七等獎(jiǎng)●●●●○○○選7中（4）●●●○○○★選7中（3+1）72022年11月21日

一、問(wèn)題的引入－彩票與數(shù)學(xué)“彩票中的數(shù)學(xué)”問(wèn)題〔CUMCM2023-B〕要解決的問(wèn)題：〔1〕依據(jù)這些方案的具體狀況，綜合分析各種獎(jiǎng)項(xiàng)消失的可能性、獎(jiǎng)項(xiàng)和獎(jiǎng)金額的設(shè)置以及對(duì)彩民的吸引力等因素評(píng)價(jià)各方案的合理性?！?〕設(shè)計(jì)一種“更好”的方案及相應(yīng)的算法，并據(jù)此給彩票治理部門提出建議?！?〕給報(bào)紙寫一篇短文，供彩民參考。82022年11月21日二.隨機(jī)性決策的根本概念隨機(jī)性決策問(wèn)題包含兩個(gè)方面：決策人所實(shí)行的行動(dòng)方案(決策);問(wèn)題的自然狀態(tài)(狀態(tài))；根本特點(diǎn)：后果的不確定性和后果的效用。后果的不確定性：由問(wèn)題的隨機(jī)性，使問(wèn)題會(huì)消失什么狀態(tài)的不確定性，決策人做出決策后會(huì)消失后果的不確定性。后果的效用：后果價(jià)值的量化。由后果的不確定性，對(duì)于不同決策后果的效用是不同的。92022年11月21日

1、主觀概率二.隨機(jī)性決策的根本概念隨機(jī)性決策問(wèn)題后果的不確定性是由狀態(tài)的不確定性引起的，狀態(tài)的不確定性不能通過(guò)在一樣條件下的大量重復(fù)試驗(yàn)來(lái)確定其概率分布。實(shí)際中只能由決策人主觀地做出估量，稱其為主觀概率。主觀概率遵循客觀概率應(yīng)當(dāng)遵循的假設(shè)、公理、性質(zhì)等，客觀概率的全部規(guī)律推理方法均適用于主觀概率。

設(shè)定主觀概率的方法：主觀先驗(yàn)分布法、無(wú)信息先驗(yàn)分布法、極大熵先驗(yàn)分布法和利用過(guò)去數(shù)據(jù)設(shè)定先驗(yàn)分布法等。102022年11月21日

2、隨機(jī)性決策的效用函數(shù)二.隨機(jī)性決策的根本概念112022年11月21日

2、隨機(jī)性決策的效用函數(shù)122022年11月21日效用函數(shù)的定義：

2、隨機(jī)性決策的效用函數(shù)132022年11月21日

2、隨機(jī)性決策的效用函數(shù)142022年11月21日

2、隨機(jī)性決策的效用函數(shù)152022年11月21日

實(shí)際中的決策問(wèn)題對(duì)決策人的決策往往是效益和風(fēng)險(xiǎn)并存。不同的決策人對(duì)待風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度可分為厭惡型、中立型和喜好型。

3、效用與風(fēng)險(xiǎn)的關(guān)系二.隨機(jī)性決策的根本概念問(wèn)題：決策人對(duì)待這一風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度是什么呢？162022年11月21日

3、效用與風(fēng)險(xiǎn)的關(guān)系厭惡型:

決策人認(rèn)為冒此風(fēng)險(xiǎn)的期望盈利只等價(jià)于比它低的不冒風(fēng)險(xiǎn)的盈利。喜好型:

對(duì)待風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度與厭惡型相反的。中立型：介于二者之間的，即決策人認(rèn)為這和不冒任何風(fēng)險(xiǎn)的另一行為盈利a元等價(jià)。這三種不同的態(tài)度可以反映在效用函數(shù)上就是凹函數(shù)，線性函數(shù)和凸函數(shù)。172022年11月21日

3、效用與風(fēng)險(xiǎn)的關(guān)系182022年11月21日

實(shí)際中，有的效用函數(shù)曲線呈S型，即在后果的范圍內(nèi)，決策人會(huì)從厭惡風(fēng)險(xiǎn)變?yōu)橄埠蔑L(fēng)險(xiǎn)。

3、效用與風(fēng)險(xiǎn)的關(guān)系(1)反映了決策人的財(cái)產(chǎn)從小到大，對(duì)待風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度從喜好到厭惡的轉(zhuǎn)變。(2)反映了決策人的財(cái)產(chǎn)從損失到盈利的增加，對(duì)待風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度從喜好到厭惡的變化。192022年11月21日

4、損失函數(shù)與風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)的關(guān)系二.隨機(jī)性決策的根本概念202022年11月21日4、損失函數(shù)與風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)的關(guān)系212022年11月21日

5、隨機(jī)優(yōu)勢(shì)與效用函數(shù)

二.隨機(jī)性決策的根本概念隨機(jī)優(yōu)勢(shì)法:在有價(jià)證券問(wèn)題的爭(zhēng)論中常用的一種在肯定風(fēng)險(xiǎn)的狀況下確定決策的方法。隨機(jī)優(yōu)勢(shì)法常用的效用函數(shù)有三種：222022年11月21日

5、隨機(jī)優(yōu)勢(shì)與效用函數(shù)

〔１〕遞增的效用函數(shù)232022年11月21日

5、隨機(jī)優(yōu)勢(shì)與效用函數(shù)

〔１〕遞增的效用函數(shù)這種類型的效用函數(shù)僅能反映出財(cái)寶與風(fēng)險(xiǎn)的關(guān)系，但不能反映出決策人對(duì)待風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度。242022年11月21日

5、隨機(jī)優(yōu)勢(shì)與效用函數(shù)

〔２〕遞增的凹效用函數(shù)252022年11月21日

5、隨機(jī)優(yōu)勢(shì)與效用函數(shù)

〔２〕遞增的凹效用函數(shù)事實(shí)上，可以證明：〔3〕遞減的厭惡風(fēng)險(xiǎn)的效用函數(shù)262022年11月21日

5、隨機(jī)優(yōu)勢(shì)與效用函數(shù)

272022年11月21日〔3〕遞減的厭惡風(fēng)險(xiǎn)的效用函數(shù)

5、隨機(jī)優(yōu)勢(shì)與效用函數(shù)

282022年11月21日1、問(wèn)題的提出三、案例分析：彩票中的數(shù)學(xué)問(wèn)題要解決的問(wèn)題：〔1〕依據(jù)所給方案的具體狀況，綜合分析各種獎(jiǎng)項(xiàng)消失的可能性、獎(jiǎng)項(xiàng)和獎(jiǎng)金額的設(shè)置以及對(duì)彩民的吸引力等因素評(píng)價(jià)各方案的合理性?！?〕設(shè)計(jì)一種“更好”的方案及相應(yīng)的算法，并據(jù)此給彩票治理部門提出建議?！?〕給報(bào)紙寫一篇短文，供彩民參考。292022年11月21日

２、問(wèn)題的分析三、案例分析：彩票中的數(shù)學(xué)問(wèn)題評(píng)價(jià)一個(gè)方案的優(yōu)劣，或合理性如何，主要取決于彩票公司和彩民兩方面的利益。事實(shí)上，公司和彩民各得銷售總額的50%是確定的，雙方的利益主要就取決于銷售總額的大小，即雙方的利益都與銷售額成正比。問(wèn)題是怎樣才能有利于銷售額的增加？即公司承受什么樣的方案才能吸引寬闊的彩民樂(lè)觀踴躍購(gòu)置彩票？302022年11月21日問(wèn)題涉及到一個(gè)方案的設(shè)置使彩民獲獎(jiǎng)的可能性有多大、獎(jiǎng)金額有多少、中獎(jiǎng)面怎樣、各獎(jiǎng)項(xiàng)的設(shè)置是否合理等因素，這些都對(duì)彩民的購(gòu)置彩票的吸引力有產(chǎn)生肯定的影響，在這里可用彩民的心理曲線來(lái)描述一個(gè)方案對(duì)彩民的吸引力。另外，一個(gè)方案對(duì)彩民的影響程度可能與區(qū)域有關(guān)，即與彩民所在地區(qū)的經(jīng)濟(jì)狀況以及收入和消費(fèi)水平有關(guān)。為此，要考察一個(gè)方案的合理性問(wèn)題，需要綜合考慮以上這些因素的影響，這是建立模型的關(guān)鍵所在。

2、問(wèn)題的分析312022年11月21日

３、模型的建立與求解三、案例分析：彩票中的數(shù)學(xué)問(wèn)題問(wèn)題〔一〕：依據(jù)所給方案的具體狀況，綜合分析各種獎(jiǎng)項(xiàng)消失的可能性、獎(jiǎng)項(xiàng)和獎(jiǎng)金額的設(shè)置以及對(duì)彩民的吸引力等因素評(píng)價(jià)各方案的合理性?！?〕彩民獲各項(xiàng)獎(jiǎng)的概率322022年11月21日

3、模型的建立與求解〔2〕綜合評(píng)價(jià)各種方案的合理性332022年11月21日

3、模型的建立與求解342022年11月21日綜合〔1)和〔2〕式，利用Matlab編程計(jì)算出29種方案的合理性指標(biāo)值及高項(xiàng)獎(jiǎng)的期望值，排在前三位的如下表：指標(biāo)方案

排序97/304.009×10-71.086×1062067914101117