函數(shù)模型的應(yīng)用學(xué)案-高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊(cè)

第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)4.5.3函數(shù)模型的應(yīng)用學(xué)案一、學(xué)習(xí)目標(biāo)1.在實(shí)際情境中，會(huì)選擇合適的函數(shù)模型刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的變化規(guī)律.2.了解建立擬合函數(shù)模型的步驟，并了解檢驗(yàn)和調(diào)整的必要性.3.理解函數(shù)是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的重要數(shù)學(xué)語(yǔ)言和工具.二、知識(shí)歸納1.常見(jiàn)的函數(shù)模型：（1）一次函數(shù)模型：（k，b為常數(shù)，）.（2）二次函數(shù)模型：（a，b，c為常數(shù)，）.（3）指數(shù)函數(shù)模型：（a，b，c為常數(shù)，，，且）.（4）對(duì)數(shù)函數(shù)模型：（m，a，n為常數(shù)，，，且）.（5）冪函數(shù)模型：（a，n，b為常數(shù)，）.2.利用函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的基本過(guò)程：（1）審題：弄清題意，分清條件和要求的結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系；（2）建模：將自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)建立相應(yīng)的函數(shù)模型；（3）求模：推理并求解函數(shù)模型；（4）還原：用得到的函數(shù)模型描述實(shí)際問(wèn)題的變化規(guī)律.三、習(xí)題檢測(cè)1.螃蟹素有“一盤(pán)蟹，頂桌菜”的民諺，它不但味美，且營(yíng)養(yǎng)豐富，是一種高蛋白的補(bǔ)品，假設(shè)某池塘里的螃蟹繁殖數(shù)量y（只）與時(shí)間x（年）的關(guān)系為，假設(shè)該池塘第一年繁殖數(shù)量有200只，則第3年它們繁殖數(shù)量為()A.400 B.600 C.800 D.16002.大西洋鮭魚(yú)每年都要逆流而上，游回出生地產(chǎn)卵.研究鮭魚(yú)的科學(xué)家發(fā)現(xiàn)鮭魚(yú)的游速v（單位：m/s）可以表示為，其中Q表示魚(yú)的耗氧量的單位數(shù).當(dāng)一條鮭魚(yú)的游速為m/s時(shí)，它的耗氧量的單位數(shù)為()

A.900 B.1600 C.2700 D.81003.在一定的儲(chǔ)存溫度范圍內(nèi)，某食品的保鮮時(shí)間y（單位：小時(shí)）與儲(chǔ)存溫度x（單位：℃）之間滿足函數(shù)關(guān)系（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，k，b為常數(shù)），若該食品在0℃時(shí)的保鮮時(shí)間為120小時(shí)，在30℃時(shí)的保鮮時(shí)間為15小時(shí)，則該食品在20℃時(shí)的保鮮時(shí)間為()A.30小時(shí) B.40小時(shí) C.50小時(shí) D.80小時(shí)4.據(jù)報(bào)道，全球變暖使北冰洋冬季冰雪覆蓋面積在最近50年內(nèi)減少了5%.如果按此速度，設(shè)2010年的冬季冰雪覆蓋面積為m，從2010年起，經(jīng)過(guò)x年后，北冰洋冬季冰雪覆蓋面積y與x的函數(shù)關(guān)系式是()A. B.C. D.5.某公司為了業(yè)務(wù)發(fā)展制訂了一個(gè)激勵(lì)銷售人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案，在銷售額x為8萬(wàn)元時(shí)，獎(jiǎng)金y為1萬(wàn)元；銷售額x為64萬(wàn)元時(shí)，獎(jiǎng)金y為4萬(wàn)元.若公司擬定的獎(jiǎng)勵(lì)模型為，某業(yè)務(wù)員要得到8萬(wàn)元獎(jiǎng)金，則他的銷售額應(yīng)為()

A.512萬(wàn)元 B.1024萬(wàn)元 C.2048萬(wàn)元 D.256萬(wàn)元6.某校為了規(guī)范教職工績(jī)效考核制度，現(xiàn)準(zhǔn)備擬定一函數(shù)用于根據(jù)當(dāng)月評(píng)價(jià)分?jǐn)?shù)x(正常情況下，且教職工平均月評(píng)價(jià)分?jǐn)?shù)在50分左右，若有突出貢獻(xiàn)可以高于100分)計(jì)算當(dāng)月績(jī)效工資y(元).要求績(jī)效工資不低于500元，不設(shè)上限，且讓大部分教職工的績(jī)效工資在600元左右，另外績(jī)效工資越低或越高時(shí)，人數(shù)要越少.則下列函數(shù)最符合要求的是()A. B.C. D.7.土壤沙化危害嚴(yán)重，影響深遠(yuǎn)，因沙漠化每年給我國(guó)造成的直接經(jīng)濟(jì)損失達(dá)540億元，而間接經(jīng)濟(jì)損失更是直接經(jīng)濟(jì)損失的2～3倍，甚至10倍以上，若某一塊綠地，每經(jīng)過(guò)一年，沙漠吞噬其綠地面積的，經(jīng)過(guò)x年，該綠地被沙漠吞噬了原來(lái)面積的，則x為_(kāi)_________.8.某種細(xì)菌經(jīng)30分鐘后數(shù)量變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，且該種細(xì)菌的繁殖規(guī)律為，其中k為常數(shù)，t表示時(shí)間（單位：小時(shí)），y表示繁殖后細(xì)菌總個(gè)數(shù)，則________，經(jīng)過(guò)5小時(shí)，1個(gè)細(xì)菌通過(guò)繁殖個(gè)數(shù)變?yōu)開(kāi)____________.9.某科研團(tuán)隊(duì)對(duì)某一生物生長(zhǎng)規(guī)律進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)其生長(zhǎng)蔓延的速度越來(lái)越快，開(kāi)始在某水域投放一定面積的該生物，經(jīng)過(guò)2個(gè)月其覆蓋面積為18平方米，經(jīng)過(guò)3個(gè)月其覆蓋面積達(dá)到27平方米.該生物覆蓋面積y（單位：平方米）與經(jīng)過(guò)月份的關(guān)系有兩個(gè)函數(shù)模型與可供選擇.（1）試判斷哪個(gè)函數(shù)模型更合適，并求出該模型的函數(shù)解析式；（2）問(wèn)約經(jīng)過(guò)幾個(gè)月，該水域中此生物的覆蓋面積是當(dāng)初投放時(shí)的1000倍？（參考數(shù)據(jù)：，，，）10.一片礦山原來(lái)的體積為a，計(jì)劃每年開(kāi)采一些礦石，且每年開(kāi)礦體積的百分比相等，當(dāng)開(kāi)采到原體積的一半時(shí)所需要的時(shí)間是12年，為保護(hù)生態(tài)環(huán)境，造福下一代，礦山至少要保留原體積的，已知到今年為止，礦山剩余為原來(lái)的.（1）求每年開(kāi)采礦山的百分比.（2）到今年為止，該礦山已開(kāi)采了多少年？（3）今后最多還能開(kāi)采多少年？

答案以及解析1.答案：C解析：由題意得，，，則第3年數(shù)量.故選C.2.答案：C解析：當(dāng)時(shí)，，即，故，所以.故選C.3.答案：A解析：由題意可得，解得，所以當(dāng)時(shí)，.故選A.4.答案：A解析：設(shè)每年減少的百分比為a，由在50年內(nèi)減少，得，即，所以經(jīng)過(guò)x年后，y與x的函數(shù)關(guān)系式為.5.答案：B解析：依題意得，即，解得，，所以，當(dāng)，即時(shí)，解得.故選B.6.答案：C解析：由題意知，擬定函數(shù)應(yīng)滿足：①時(shí)單調(diào)遞增函數(shù)，且增長(zhǎng)速度先快后慢再快；②在左右增長(zhǎng)速度較慢，最小值為500.A中，函數(shù)在內(nèi)先減后增，不符合要求；B中，函數(shù)是指數(shù)型函數(shù)，增長(zhǎng)速度越來(lái)越快，不符合要求；D中，函數(shù)是對(duì)數(shù)型函數(shù)，增長(zhǎng)速度越來(lái)越慢，不符合要求；在C中，函數(shù)的圖象是由函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)平移和伸縮變換得到的，形狀符合要求，且最小值為500.故選C.7.答案：3解析：先求綠地剩余面積y隨時(shí)間x（年）變化的函數(shù)關(guān)系式，設(shè)綠地最初的面積為1，則經(jīng)過(guò)1年，，經(jīng)過(guò)2年，，…，那么經(jīng)過(guò)x年，則.依題意得，解得.8.答案：；1024解析：由題意知，當(dāng)時(shí)，，即，所以，所以.

當(dāng)時(shí)，.即經(jīng)過(guò)5小時(shí)，1個(gè)細(xì)菌通過(guò)繁殖個(gè)數(shù)變?yōu)?024.9.解析：（1）因?yàn)榈脑鲩L(zhǎng)速度越來(lái)越快，而的增長(zhǎng)速度越來(lái)越慢，所以依題意應(yīng)選擇，則有，解得，所以.（2）當(dāng)時(shí)，，設(shè)經(jīng)過(guò)x個(gè)月，該水域中此生物的覆蓋面積是當(dāng)初投放時(shí)的1000倍，則，解得.故約經(jīng)過(guò)17個(gè)月后該水域中此生物的覆蓋面積是當(dāng)初