分子對稱性和點(diǎn)群(同名47)課件

第三章分子對稱性和點(diǎn)群

分子具有某種對稱性.它對于理解和應(yīng)用分子量子態(tài)及相關(guān)光譜有極大幫助.

確定光譜的選擇定則需要用到對稱性.

標(biāo)記分子的量子態(tài)需要用到對稱性.第三章分子對稱性和點(diǎn)群分子具有某種對稱性.3.1對稱元素對稱性是指分子具有兩個(gè)或更多的在空間不可區(qū)分的圖象.把等價(jià)原子進(jìn)行交換的操作叫做對稱操作.對稱操作依賴的幾何集合(點(diǎn),線,面)叫做對稱元素.3.1對稱元素對稱性是指分子具有兩個(gè)或更多的在空間不可區(qū)分3.1.1n重對稱軸,Cn(轉(zhuǎn)動)轉(zhuǎn)角I為恒等操作主軸:n最大的軸。產(chǎn)生n-1個(gè)轉(zhuǎn)動。3.1.1n重對稱軸,Cn(轉(zhuǎn)動)轉(zhuǎn)角I為3.1.2對稱面,(反映)2=Ih:垂直于主軸的對稱面v:包含主軸的對稱面d:包含主軸且平分兩個(gè)C2軸的對稱面3.1.2對稱面,(反映)2=I3.1.3.對稱中心,i(反演)i2=I3.1.3.對稱中心,i(反演)i2=I3.1.4n重旋轉(zhuǎn)反映軸,SnSn=h

Cn

由于S1=h

C1=,S2=h

C2=i所以S1

和S2無意義.3.1.5恒等元素,E

或I所有分子都具有恒等元素E(有時(shí)也寫為I).是保持群論規(guī)則必需的元素.Sn=hCn

=Cn

h3.1.4n重旋轉(zhuǎn)反映軸,SnSn=h3.1.6元素的生成v=v

C2,v包含CH2面,而v包含CF2面.

對Cn,會產(chǎn)生(n-1)個(gè)對稱操作.如:類似地,v=v

C2,C2=vv（注意順序）3.1.6元素的生成v=vC2,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),例:當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),例:3.2群的定義和基本性質(zhì)定義:群G是一個(gè)不同元素的集合{A,B,…,R,…},

對于一定的乘法規(guī)則,滿足以下四個(gè)條件:1)封閉性群中任意兩個(gè)元素R和S的乘積等于集合中另一個(gè)元素,T=RS2)結(jié)合律

A(BC)=(AB)C3)有唯一的恒等元素E,使得對任意群元素R,有RE=ER=R4)每個(gè)元素R必有逆元素R-1,使得RR-1=R-1R=E性質(zhì):1)若AB=AC則B=C2)(AB)–1=B–1A–1

因?yàn)?AB)(AB)–1=ABB–1A–1=AA–1=E3.2.1群的定義與分類3.2群的定義和基本性質(zhì)定義:群G是一個(gè)不同元素的集10群的分類阿貝爾群

群元素的乘積都可對易的群SR=RS非阿貝爾群群中至少有一對元素乘積不能對易有限群

群元素的數(shù)目有限，群元素的個(gè)數(shù)稱為群的階無限群

群元素的數(shù)目無限連續(xù)群

群元素可用一組連續(xù)變化的參數(shù)描寫離散群群元素個(gè)數(shù)是可數(shù)無限的10群的分類阿貝爾群群元素的乘積都可對易的群SR例一：數(shù)群（群元素為數(shù)字）(1)全部整數(shù)的集合,乘法規(guī)則為代數(shù)加法,則構(gòu)成一個(gè)群.

恒等元素為0.數(shù)n的逆元素為(-n).

封閉性和結(jié)合律是顯然的.

(2)數(shù)的集合{1,-1,i,-i},乘法規(guī)則為代數(shù)乘法,

則構(gòu)成一個(gè)群.恒等元素為1.數(shù)(-1)的逆元素為(-1).

數(shù)(i)的逆元素為(-i).(3)全體非零整數(shù)的集合,乘法規(guī)則為代數(shù)乘法,不構(gòu)成群.數(shù)n的逆元素為1/n,不為整數(shù)，不在群元素中.例一：數(shù)群（群元素為數(shù)字）例二：置換群（群元素為變換位置的操作，乘法規(guī)則為從右到左相繼操作）.S3

群(三階置換群)

123123將1、2、3處之物分別放于2、3、1處例二：置換群（群元素為變換位置的操作，乘法規(guī)則為從右到左相繼例三：矩陣群（群元素為矩陣，乘法規(guī)則為矩陣乘法）例三：矩陣群（群元素為矩陣，乘法規(guī)則為矩陣乘法）例四：對稱操作群（群元素為對稱操作，乘法規(guī)則為相繼兩次操作）(1)D3={e,d,f,a,b,c}e:恒等操作d:繞z軸順時(shí)針轉(zhuǎn)動120f:繞z軸順時(shí)針轉(zhuǎn)動240a:繞a軸順時(shí)針轉(zhuǎn)動180b:繞b軸順時(shí)針轉(zhuǎn)動180c:繞c軸順時(shí)針轉(zhuǎn)動180故ad=b(2)空間反演群{E,i},i為空間反演操作.i2=E例四：對稱操作群（群元素為對稱操作，乘法規(guī)則為相繼兩次操作）D3群的乘法表重排定理：乘法表中每一行和每一列都是所有群元素的重排ad=b,da=c，D3群為6階非阿貝爾群3.2.2群的乘法表對有限群，群元素的數(shù)目有限，把元素所有可能的乘積全部列出（左列元素乘頂行元素），構(gòu)成一個(gè)表，稱群的乘法表.D3群的乘法表重排定理：乘法表中每一行和每一列都是所有群元素例1.求3階群的乘法表.(錯(cuò))G={E,A,A2}3階群只能為循環(huán)群(?)循環(huán)群:整個(gè)群是由一個(gè)元素及其所有的冪產(chǎn)生.如:構(gòu)成n階循環(huán)群Cn

例1.求3階群的乘法表.(錯(cuò))G={E,A,A2}(?)例2.求4階群的乘法表.（1）顯然存在一個(gè)循環(huán)群（2）非循環(huán)群

欲構(gòu)成非循環(huán)群，只可能是各元素的逆元素為自身

即,再根據(jù)重排定理即可得乘法表例2.求4階群的乘法表.（1）顯然存在一個(gè)循環(huán)群（2）非循子群:設(shè)H是群G的非空子集,若對于群G的乘法規(guī)則,集合H也滿足群的四個(gè)條件,則稱H是G的子群.1)封閉性2)結(jié)合律：H屬于G并且為相同的乘法規(guī)則，因此結(jié)合律顯然滿足3)恒等元素：針對每個(gè)子群加入群G的恒等元素即可4)逆元素因此滿足條件1）與4）是證明子群成立的關(guān)鍵.

顯然,恒等元素E單獨(dú)構(gòu)成的群和群G自身是平庸子群.3.2.3群的子群

例1.在D3={e,d,f,a,b,c}中,子集{e,d,f},{e,a},{e,b},{e,c}都是子群.{e,d,f}：df=fd=e{e,a}：aa=e{e,b},{e,c}與{e,a}同理可證子群:設(shè)H是群G的非空子集,若對于群G的乘法例2.乘法規(guī)則為代數(shù)加法,全體實(shí)數(shù)構(gòu)成的群R全體整數(shù)構(gòu)成一個(gè)子群Z例3.三階置換群S3{E,D,F}構(gòu)成S3的一個(gè)3階子群{E,A}、{E,B}、{E,C}分別構(gòu)成S3的2階子群例2.乘法規(guī)則為代數(shù)加法,全體實(shí)數(shù)構(gòu)成的群R例3.三階共軛元素:B=X-1AX(X,A,B都是群G的元素)

元素的共軛類:一組彼此共軛的所有元素集合稱為群的一個(gè)類.f類={x-1fx,x取遍所有的群元素}(A和B共軛）3.2.4群的共軛類共軛元素的性質(zhì)（1）每個(gè)元素與其自身共軛（2）若A與B共軛，則B與A共軛（3）傳遞性：若A與B及C共軛，則B與C共軛(令）共軛元素:B=X-1AX(X,A,B都是群G例.求D3

的所有共軛類D3={e,d,f,a,b,c}e類:x-1ex=ed類:a-1da=ac=fa類:b-1ab=bd=cd-1ad=fb=cc-1ac=cf=b所以D3的共軛類為:{e},{d,f},{a,b,c}一個(gè)群的單位元素始終自成一類例.求D3的所有共軛類所以D3的共軛類為:{e}3.3點(diǎn)群分子的所有對稱元素構(gòu)成分子的點(diǎn)群.這些對稱元素至少保持空間中的一點(diǎn)(分子質(zhì)心)不變,從而成為點(diǎn)群.如H2O的所有對稱元素為:

1.Cn點(diǎn)群3.3點(diǎn)群分子的所有對稱元素構(gòu)成分子的點(diǎn)群.1.Cn點(diǎn)群2.Sn點(diǎn)群(n為偶數(shù))3.Cnv點(diǎn)群有一個(gè)Cn軸和n個(gè)包含該軸的對稱面vCv上下兩個(gè)平面平行，各平面中兩個(gè)相鄰的硫氰酸根夾角均為120°，上下兩個(gè)平面旋轉(zhuǎn)60°即可重合.S6六硫氰酸根合鉻離子2.Sn點(diǎn)群(n為偶數(shù))3.Cnv點(diǎn)群Cv上下兩4.Dn點(diǎn)群有一個(gè)Cn軸和n個(gè)垂直于該軸的C2軸.5.Cnh點(diǎn)群有一個(gè)Cn軸和一個(gè)垂直于該軸的對稱面h.三乙胺合鈷離子

風(fēng)扇形構(gòu)型D34.Dn點(diǎn)群5.Cnh點(diǎn)群三乙胺合鈷離子6.Dnd點(diǎn)群有一個(gè)Cn軸,一個(gè)S2n軸,n個(gè)垂直于該軸的C2軸,n個(gè)平分C2軸的對稱面d.7.Dnh群有一個(gè)Cn軸,n個(gè)垂直于該軸的C2軸,1個(gè)垂直于該軸的對稱面hD3hH2為Dh6.Dnd點(diǎn)群7.Dnh群D3hH2為Dh8.Td點(diǎn)群有4個(gè)C3軸,3個(gè)C2軸,6個(gè)對稱面d.正四面體對稱群.9.Oh點(diǎn)群有3個(gè)C4軸,4個(gè)C3軸,3個(gè)h,6個(gè)對稱面d,對稱中心i.正八面體對稱群.8.Td點(diǎn)群9.Oh點(diǎn)群3.4群的表示3.4.1向量和矩陣

向量具有一定的大小和方向.是數(shù)的有序排列,代表在坐標(biāo)軸上的投影.3.4群的表示3.4.1向量和矩陣是數(shù)的有序排列,代表矩陣是由數(shù)值或符號組成的長方形列陣.如行列維數(shù):每行和每列中矩陣元的個(gè)數(shù).矩陣加法:矩陣乘法:矩陣與向量的乘法:（i＝1,2,3)矩陣是由數(shù)值或符號組成的長方形列陣.如行列維數(shù):每行和每矩陣的跡

(trace)或特征標(biāo)

(character):相似變換:(S為正交矩陣)證明:(這個(gè)性質(zhì)在群表示中很有用）矩陣的跡(trace)或特征標(biāo)(character):矩陣的直和m階矩陣A與n階矩陣B的直和為由下式定義的m+n階矩陣C

：符號代表直和。這個(gè)概念很容易推廣到多個(gè)矩陣的直和。例如矩陣的直和是下面的六階方陣:分塊對角矩陣矩陣的直和m階矩陣A與n階矩陣B的直和為由下式分塊對角矩陣的性質(zhì)：其中A1和A2都是n階矩陣，B1和B2都是m階矩陣。分塊對角矩陣的性質(zhì)：其中A1和A2都是n階矩陣，矩陣的直積如果有兩個(gè)矩陣，另有一個(gè)矩陣，它們的矩陣元之間滿足關(guān)系就說矩陣A和B的直積是矩陣C，記作例如由定義有矩陣的直積如果有兩個(gè)矩陣，另有一個(gè)矩陣特征標(biāo):推廣：直積矩陣的特征標(biāo)等于每個(gè)直積因子矩陣的特征標(biāo)的乘積。通過直接計(jì)算可以證明，若和是階相同的矩陣，和是階相同的矩陣，則有注意兩個(gè)矩陣間沒有符號時(shí)，如表示兩個(gè)矩陣和的乘積。特征標(biāo):推廣：直積矩陣的特征標(biāo)等于每個(gè)直積因子矩陣的特征標(biāo)的3.4.2群的表示(矩陣群)選定一組基向量,把群元素用一個(gè)矩陣表示,且

(1)一一對應(yīng).任一群元素g都有對應(yīng)的矩陣A(g).(2)保持群的乘法規(guī)律不變.即A(f)A(g)=A(fg)

則稱為群的表示.在三維空間中對稱操作的矩陣表示.（表示的乘積等于乘積的表示）繞z軸轉(zhuǎn)動3.4.2群的表示(矩陣群)選定一組基向量,把群元素用一個(gè)特征標(biāo):表示矩陣對角元之和.共軛類的特征標(biāo)相等.

從

f=X-1gX得

A(f)=A(X)-1A(g)A(X)

從而

例:D3={e,d,f,a,b,c}在三維空間的表示特征標(biāo):表示矩陣對角元之和.例:D3={e,d,f,a,分子對稱性和點(diǎn)群(同名47)課件如果選取作為表示空間的基。映射A為：例:求以為基函數(shù)的群的表示矩陣。如果選取例:求以分子對稱性和點(diǎn)群(同名47)課件分子對稱性和點(diǎn)群(同名47)課件所以的表示矩陣為同理可得其余操作的表示矩陣所以的表示矩陣為同理可得其余操作的表示分子對稱性和點(diǎn)群(同名47)課件分子對稱性和點(diǎn)群(同名47)課件表示的分類:(1)等價(jià)表示若A(g)是群G的一個(gè)表示,X是一正交變換矩陣,則

B(g)=X-1A(g)X是表示A的等價(jià)表示.(因?yàn)锽(g)B(f)=X-1A(g)XX-1A(f)X=X-1A(g)A(f)X=X-1A(gf)X=B(gf),從而保持乘法規(guī)律不變)等價(jià)表示有相等的特征標(biāo).

表示的分類:例：二階群的二維等價(jià)表示表示1表示2正交變換矩陣表示1與表示2為兩組等價(jià)的二維表示例：二階群的二維等價(jià)表示表示1表示2正交變換矩陣表示1與表示(2)可約表示與不可約表示若表示A可通過相似變換形成對角分塊的等價(jià)表示,則稱為可約表示,否則為不可約表示.(對所有的群元素)如D3群在直角坐標(biāo)系下的表示就是可約表示.群論的任務(wù)之一就是要找出點(diǎn)群所有不等價(jià)不可約表示的特征標(biāo).(2)可約表示與不可約表示(對所有的群元素)如D3群在D3群在直角坐標(biāo)系下的表示化成了一組二維不可約表示與一組一維不可約表示D3群在直角坐標(biāo)系下的表示化成了一組二維不可約表示與一組一規(guī)則一.

點(diǎn)群中不可約表示的數(shù)目等于共軛類的數(shù)目.

如D3中有3個(gè)共軛類{e},{d,f},{a,b,c},故有3個(gè)不可約表示.規(guī)則二.點(diǎn)群中所有不可約表示的維數(shù)的平方和等于群的階n.

在D3中,從而

規(guī)則一.點(diǎn)群中不可約表示的數(shù)目等于共軛類的數(shù)目.規(guī)則二.點(diǎn)k為群中所有共軛類的數(shù)目;hj為共軛類j中的群元素個(gè)數(shù).規(guī)則三.點(diǎn)群中不可約表示特征標(biāo)間的正交關(guān)系:

對不可約表示:

或?qū)杉s表示:如D3群在直角坐標(biāo)系下的表示一般地,可約表示的分解公式:由此可得該可約表示中含不可約表示r的數(shù)目.由此很容易判斷可約表示k為群中所有共軛類的數(shù)目;規(guī)則三.點(diǎn)群中不可約表示特征標(biāo)設(shè)群有兩個(gè)表示作表示矩陣和的直積直積矩陣的集合構(gòu)成群的一個(gè)直積表示。因此C

也是群G

的一個(gè)表示，稱為是表示A

和B

的直積表示。保持G的乘法規(guī)律不變.對任意，有群的直積表示設(shè)群有兩個(gè)表示作表示矩陣設(shè)表示A和B

的特征標(biāo)為和，則直積表示C的特征標(biāo)為如果A

和B

分別是有限群G的不等價(jià)不可約表示，則由特征標(biāo)的正交性定理，可得而一般不等于1，故C

一般是G

的可約表示。設(shè)表示A和B的特征標(biāo)為和，則直積表示點(diǎn)群的特征標(biāo)表說明:A1為全對稱表示

A表示對主軸是對稱的

B表示對主軸是反對稱的我們經(jīng)常需要考慮兩個(gè)不可約表示的乘積,即表示的直積,如故

對稱:反對稱:點(diǎn)群的特征標(biāo)表說明:A1為全對稱表示我們經(jīng)常需要考慮兩個(gè)不利用可約表示的分解公式:故對前例中的三維表示:30-1利用可約表示的分解公式:故對前例中的三維表示:分子對稱性和點(diǎn)群(同名47)課件3.5偶極矩的對稱性偶極矩是用來度量分子中電荷的不對稱性,常用符號d或表示.對稱性,電負(fù)性,孤對電子3.5偶極矩的對稱性偶極矩是用來度量分子中電荷的不對稱性,偶極矩的定義:

偶極矩的常用單位為Debye(D):

如NH3(1.47D),NF3(0.2D),C6H5CH3(0.36D)實(shí)驗(yàn)上可測出偶極矩的數(shù)值,但不能確定其方向.用量子化學(xué)計(jì)算可以提供方向和大小.

如何判斷分子具有非零偶極矩?由于偶極矩向量對分子所屬點(diǎn)群的所有對稱操作都必須是完全對稱的,且偶極矩的定義:如何判斷分子具有非零偶極矩?可見分子具有非零偶極矩的規(guī)則為:

若分子點(diǎn)群中任一平動的對稱性屬于全對稱表示,則該分子具有永久偶極矩.可見分子具有非零偶極矩的規(guī)則為:習(xí)題1.以下分子的基態(tài)和激發(fā)態(tài)具有不同幾何構(gòu)型,找出它們所屬的點(diǎn)群和對稱元素.(a)NH3(基態(tài)為錐形,激發(fā)態(tài)為平面)(b)C2H2(基態(tài)為直線,激發(fā)態(tài)為平面反式彎曲)(c)H2CO(基態(tài)為平面,激發(fā)態(tài)為錐形)2.確定丙二烯分子所屬點(diǎn)群,并利用特征標(biāo)表計(jì)算直積:3.給出下列分子的對稱元素,并利用相應(yīng)的特征標(biāo)表判斷分子是否有非零偶極矩:(a)1,2,3-三氟代苯;(b)1,2,4-三氟代苯;(c)1,3,5-三氟代苯;習(xí)題1.以下分子的基態(tài)和激發(fā)態(tài)具有不同幾何構(gòu)型,找出它們所第三章分子對稱性和點(diǎn)群

分子具有某種對稱性.它對于理解和應(yīng)用分子量子態(tài)及相關(guān)光譜有極大幫助.

確定光譜的選擇定則需要用到對稱性.

標(biāo)記分子的量子態(tài)需要用到對稱性.第三章分子對稱性和點(diǎn)群分子具有某種對稱性.3.1對稱元素對稱性是指分子具有兩個(gè)或更多的在空間不可區(qū)分的圖象.把等價(jià)原子進(jìn)行交換的操作叫做對稱操作.對稱操作依賴的幾何集合(點(diǎn),線,面)叫做對稱元素.3.1對稱元素對稱性是指分子具有兩個(gè)或更多的在空間不可區(qū)分3.1.1n重對稱軸,Cn(轉(zhuǎn)動)轉(zhuǎn)角I為恒等操作主軸:n最大的軸。產(chǎn)生n-1個(gè)轉(zhuǎn)動。3.1.1n重對稱軸,Cn(轉(zhuǎn)動)轉(zhuǎn)角I為3.1.2對稱面,(反映)2=Ih:垂直于主軸的對稱面v:包含主軸的對稱面d:包含主軸且平分兩個(gè)C2軸的對稱面3.1.2對稱面,(反映)2=I3.1.3.對稱中心,i(反演)i2=I3.1.3.對稱中心,i(反演)i2=I3.1.4n重旋轉(zhuǎn)反映軸,SnSn=h

Cn

由于S1=h

C1=,S2=h

C2=i所以S1

和S2無意義.3.1.5恒等元素,E

或I所有分子都具有恒等元素E(有時(shí)也寫為I).是保持群論規(guī)則必需的元素.Sn=hCn

=Cn

h3.1.4n重旋轉(zhuǎn)反映軸,SnSn=h3.1.6元素的生成v=v

C2,v包含CH2面,而v包含CF2面.

對Cn,會產(chǎn)生(n-1)個(gè)對稱操作.如:類似地,v=v

C2,C2=vv（注意順序）3.1.6元素的生成v=vC2,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),例:當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),例:3.2群的定義和基本性質(zhì)定義:群G是一個(gè)不同元素的集合{A,B,…,R,…},

對于一定的乘法規(guī)則,滿足以下四個(gè)條件:1)封閉性群中任意兩個(gè)元素R和S的乘積等于集合中另一個(gè)元素,T=RS2)結(jié)合律

A(BC)=(AB)C3)有唯一的恒等元素E,使得對任意群元素R,有RE=ER=R4)每個(gè)元素R必有逆元素R-1,使得RR-1=R-1R=E性質(zhì):1)若AB=AC則B=C2)(AB)–1=B–1A–1

因?yàn)?AB)(AB)–1=ABB–1A–1=AA–1=E3.2.1群的定義與分類3.2群的定義和基本性質(zhì)定義:群G是一個(gè)不同元素的集67群的分類阿貝爾群

群元素的乘積都可對易的群SR=RS非阿貝爾群群中至少有一對元素乘積不能對易有限群

群元素的數(shù)目有限，群元素的個(gè)數(shù)稱為群的階無限群

群元素的數(shù)目無限連續(xù)群

群元素可用一組連續(xù)變化的參數(shù)描寫離散群群元素個(gè)數(shù)是可數(shù)無限的10群的分類阿貝爾群群元素的乘積都可對易的群SR例一：數(shù)群（群元素為數(shù)字）(1)全部整數(shù)的集合,乘法規(guī)則為代數(shù)加法,則構(gòu)成一個(gè)群.

恒等元素為0.數(shù)n的逆元素為(-n).

封閉性和結(jié)合律是顯然的.

(2)數(shù)的集合{1,-1,i,-i},乘法規(guī)則為代數(shù)乘法,

則構(gòu)成一個(gè)群.恒等元素為1.數(shù)(-1)的逆元素為(-1).

數(shù)(i)的逆元素為(-i).(3)全體非零整數(shù)的集合,乘法規(guī)則為代數(shù)乘法,不構(gòu)成群.數(shù)n的逆元素為1/n,不為整數(shù)，不在群元素中.例一：數(shù)群（群元素為數(shù)字）例二：置換群（群元素為變換位置的操作，乘法規(guī)則為從右到左相繼操作）.S3

群(三階置換群)

123123將1、2、3處之物分別放于2、3、1處例二：置換群（群元素為變換位置的操作，乘法規(guī)則為從右到左相繼例三：矩陣群（群元素為矩陣，乘法規(guī)則為矩陣乘法）例三：矩陣群（群元素為矩陣，乘法規(guī)則為矩陣乘法）例四：對稱操作群（群元素為對稱操作，乘法規(guī)則為相繼兩次操作）(1)D3={e,d,f,a,b,c}e:恒等操作d:繞z軸順時(shí)針轉(zhuǎn)動120f:繞z軸順時(shí)針轉(zhuǎn)動240a:繞a軸順時(shí)針轉(zhuǎn)動180b:繞b軸順時(shí)針轉(zhuǎn)動180c:繞c軸順時(shí)針轉(zhuǎn)動180故ad=b(2)空間反演群{E,i},i為空間反演操作.i2=E例四：對稱操作群（群元素為對稱操作，乘法規(guī)則為相繼兩次操作）D3群的乘法表重排定理：乘法表中每一行和每一列都是所有群元素的重排ad=b,da=c，D3群為6階非阿貝爾群3.2.2群的乘法表對有限群，群元素的數(shù)目有限，把元素所有可能的乘積全部列出（左列元素乘頂行元素），構(gòu)成一個(gè)表，稱群的乘法表.D3群的乘法表重排定理：乘法表中每一行和每一列都是所有群元素例1.求3階群的乘法表.(錯(cuò))G={E,A,A2}3階群只能為循環(huán)群(?)循環(huán)群:整個(gè)群是由一個(gè)元素及其所有的冪產(chǎn)生.如:構(gòu)成n階循環(huán)群Cn

例1.求3階群的乘法表.(錯(cuò))G={E,A,A2}(?)例2.求4階群的乘法表.（1）顯然存在一個(gè)循環(huán)群（2）非循環(huán)群

欲構(gòu)成非循環(huán)群，只可能是各元素的逆元素為自身

即,再根據(jù)重排定理即可得乘法表例2.求4階群的乘法表.（1）顯然存在一個(gè)循環(huán)群（2）非循子群:設(shè)H是群G的非空子集,若對于群G的乘法規(guī)則,集合H也滿足群的四個(gè)條件,則稱H是G的子群.1)封閉性2)結(jié)合律：H屬于G并且為相同的乘法規(guī)則，因此結(jié)合律顯然滿足3)恒等元素：針對每個(gè)子群加入群G的恒等元素即可4)逆元素因此滿足條件1）與4）是證明子群成立的關(guān)鍵.

顯然,恒等元素E單獨(dú)構(gòu)成的群和群G自身是平庸子群.3.2.3群的子群

例1.在D3={e,d,f,a,b,c}中,子集{e,d,f},{e,a},{e,b},{e,c}都是子群.{e,d,f}：df=fd=e{e,a}：aa=e{e,b},{e,c}與{e,a}同理可證子群:設(shè)H是群G的非空子集,若對于群G的乘法例2.乘法規(guī)則為代數(shù)加法,全體實(shí)數(shù)構(gòu)成的群R全體整數(shù)構(gòu)成一個(gè)子群Z例3.三階置換群S3{E,D,F}構(gòu)成S3的一個(gè)3階子群{E,A}、{E,B}、{E,C}分別構(gòu)成S3的2階子群例2.乘法規(guī)則為代數(shù)加法,全體實(shí)數(shù)構(gòu)成的群R例3.三階共軛元素:B=X-1AX(X,A,B都是群G的元素)

元素的共軛類:一組彼此共軛的所有元素集合稱為群的一個(gè)類.f類={x-1fx,x取遍所有的群元素}(A和B共軛）3.2.4群的共軛類共軛元素的性質(zhì)（1）每個(gè)元素與其自身共軛（2）若A與B共軛，則B與A共軛（3）傳遞性：若A與B及C共軛，則B與C共軛(令）共軛元素:B=X-1AX(X,A,B都是群G例.求D3

的所有共軛類D3={e,d,f,a,b,c}e類:x-1ex=ed類:a-1da=ac=fa類:b-1ab=bd=cd-1ad=fb=cc-1ac=cf=b所以D3的共軛類為:{e},{d,f},{a,b,c}一個(gè)群的單位元素始終自成一類例.求D3的所有共軛類所以D3的共軛類為:{e}3.3點(diǎn)群分子的所有對稱元素構(gòu)成分子的點(diǎn)群.這些對稱元素至少保持空間中的一點(diǎn)(分子質(zhì)心)不變,從而成為點(diǎn)群.如H2O的所有對稱元素為:

1.Cn點(diǎn)群3.3點(diǎn)群分子的所有對稱元素構(gòu)成分子的點(diǎn)群.1.Cn點(diǎn)群2.Sn點(diǎn)群(n為偶數(shù))3.Cnv點(diǎn)群有一個(gè)Cn軸和n個(gè)包含該軸的對稱面vCv上下兩個(gè)平面平行，各平面中兩個(gè)相鄰的硫氰酸根夾角均為120°，上下兩個(gè)平面旋轉(zhuǎn)60°即可重合.S6六硫氰酸根合鉻離子2.Sn點(diǎn)群(n為偶數(shù))3.Cnv點(diǎn)群Cv上下兩4.Dn點(diǎn)群有一個(gè)Cn軸和n個(gè)垂直于該軸的C2軸.5.Cnh點(diǎn)群有一個(gè)Cn軸和一個(gè)垂直于該軸的對稱面h.三乙胺合鈷離子

風(fēng)扇形構(gòu)型D34.Dn點(diǎn)群5.Cnh點(diǎn)群三乙胺合鈷離子6.Dnd點(diǎn)群有一個(gè)Cn軸,一個(gè)S2n軸,n個(gè)垂直于該軸的C2軸,n個(gè)平分C2軸的對稱面d.7.Dnh群有一個(gè)Cn軸,n個(gè)垂直于該軸的C2軸,1個(gè)垂直于該軸的對稱面hD3hH2為Dh6.Dnd點(diǎn)群7.Dnh群D3hH2為Dh8.Td點(diǎn)群有4個(gè)C3軸,3個(gè)C2軸,6個(gè)對稱面d.正四面體對稱群.9.Oh點(diǎn)群有3個(gè)C4軸,4個(gè)C3軸,3個(gè)h,6個(gè)對稱面d,對稱中心i.正八面體對稱群.8.Td點(diǎn)群9.Oh點(diǎn)群3.4群的表示3.4.1向量和矩陣

向量具有一定的大小和方向.是數(shù)的有序排列,代表在坐標(biāo)軸上的投影.3.4群的表示3.4.1向量和矩陣是數(shù)的有序排列,代表矩陣是由數(shù)值或符號組成的長方形列陣.如行列維數(shù):每行和每列中矩陣元的個(gè)數(shù).矩陣加法:矩陣乘法:矩陣與向量的乘法:（i＝1,2,3)矩陣是由數(shù)值或符號組成的長方形列陣.如行列維數(shù):每行和每矩陣的跡

(trace)或特征標(biāo)

(character):相似變換:(S為正交矩陣)證明:(這個(gè)性質(zhì)在群表示中很有用）矩陣的跡(trace)或特征標(biāo)(character):矩陣的直和m階矩陣A與n階矩陣B的直和為由下式定義的m+n階矩陣C

：符號代表直和。這個(gè)概念很容易推廣到多個(gè)矩陣的直和。例如矩陣的直和是下面的六階方陣:分塊對角矩陣矩陣的直和m階矩陣A與n階矩陣B的直和為由下式分塊對角矩陣的性質(zhì)：其中A1和A2都是n階矩陣，B1和B2都是m階矩陣。分塊對角矩陣的性質(zhì)：其中A1和A2都是n階矩陣，矩陣的直積如果有兩個(gè)矩陣，另有一個(gè)矩陣，它們的矩陣元之間滿足關(guān)系就說矩陣A和B的直積是矩陣C，記作例如由定義有矩陣的直積如果有兩個(gè)矩陣，另有一個(gè)矩陣特征標(biāo):推廣：直積矩陣的特征標(biāo)等于每個(gè)直積因子矩陣的特征標(biāo)的乘積。通過直接計(jì)算可以證明，若和是階相同的矩陣，和是階相同的矩陣，則有注意兩個(gè)矩陣間沒有符號時(shí)，如表示兩個(gè)矩陣和的乘積。特征標(biāo):推廣：直積矩陣的特征標(biāo)等于每個(gè)直積因子矩陣的特征標(biāo)的3.4.2群的表示(矩陣群)選定一組基向量,把群元素用一個(gè)矩陣表示,且

(1)一一對應(yīng).任一群元素g都有對應(yīng)的矩陣A(g).(2)保持群的乘法規(guī)律不變.即A(f)A(g)=A(fg)

則稱為群的表示.在三維空間中對稱操作的矩陣表示.（表示的乘積等于乘積的表示）繞z軸轉(zhuǎn)動3.4.2群的表示(矩陣群)選定一組基向量,把群元素用一個(gè)特征標(biāo):表示矩陣對角元之和.共軛類的特征標(biāo)相等.

從

f=X-1gX得

A(f)=A(X)-1A(g)A(X)

從而

例:D3={e,d,f,a,b,c}在三維空間的表示特征標(biāo):表示矩陣對角元之和.例:D3={e,d,f,a,分子對稱性和點(diǎn)群(同名47)課件如果選取作為表示空間的基。映射A為：例:求以為基函數(shù)的群的表示矩陣。如果選取例:求以分子對稱性和點(diǎn)群(同名47)課件分子對稱性和點(diǎn)群(同名47)課件所以的表示矩陣為同理可得其余操作的表示矩陣所以的表示矩陣為同理可得其余操作的表示分子對稱性和點(diǎn)群(同名47)課件分子對稱性和點(diǎn)群(同名47)課件表示的分類:(1)等價(jià)表示若A(g)是群G的一個(gè)表示,X是一正交變換矩陣,則

B(g)=X-1A(g)X是表示A的等價(jià)表示.(因?yàn)锽(g)B(f)=X-1A(g)XX-1A(f)X=X-1A(g)A(f)X=X-1A(gf)X=B(gf),從而保持乘法規(guī)律不變)等價(jià)表示有相等的特征標(biāo).

表示的分類:例：二階群的二維等價(jià)表示表示1表示2正交變換矩陣表示1與表示2為兩組等價(jià)的二維表示例：二階群的二維等價(jià)表示表示1表示2正交變換矩陣表示1與表示(2)可約表示與不可約表示若表示A可通過相似變換形成對角分塊的等價(jià)表示,則稱為可約表示,否則為不可約表示.(對所有的群元素)如D3群在直角坐標(biāo)系下的表示就是可約表示.群論的任務(wù)之一就是要找出點(diǎn)群所有不等價(jià)不可約表示的特征標(biāo).(2)可約表示與不可約表示(對所有的群元素)如D3群在D3群在直角坐標(biāo)系下的表示化成了一組二維不可約表示與一組一維不可約表示D3群在直角坐標(biāo)系下的表示化成了一組二維不可約表示與一組一規(guī)則一.

點(diǎn)群中不可約表示的數(shù)目等于共軛類的數(shù)目