復(fù)變函數(shù)課件-002

作業(yè)要求:每周交一次，交給各班課代表,

每次改大約1/4上課要求:按時(shí)上課(有事要請(qǐng)假)；課程要求:要求著重理解基本概念;

要求掌握基本方法;課程性質(zhì):專(zhuān)業(yè)基礎(chǔ)課程;先修課程:高等數(shù)學(xué)基本知識(shí)；期末總成績(jī)=平時(shí)成績(jī)*20%+期末考試成績(jī)*80%；平時(shí)成績(jī)包括平時(shí)作業(yè)，出勤等。作業(yè)要求:每周交一次，交給各班課代表,2學(xué)習(xí)方法（一）要抓住重點(diǎn)，即應(yīng)牢固掌握基本概念、基本定理和主要公式，重在理解。（二）要有良好的學(xué)習(xí)方法，可運(yùn)用對(duì)比或比較的學(xué)習(xí)方法，以加深對(duì)各種定理和定律的理解。（三）注意各部分內(nèi)容之間的聯(lián)系，前后如何呼應(yīng)。（四）通過(guò)習(xí)題可以加深對(duì)所學(xué)內(nèi)容的理解，所以應(yīng)按要求完成作業(yè)。2學(xué)習(xí)方法（一）要抓住重點(diǎn)，即應(yīng)牢固掌握基本概念、基本定理3幾點(diǎn)要求：3、認(rèn)真、按時(shí)、獨(dú)立完成作業(yè)2、上課不玩手機(jī)4、盡量多的做課后習(xí)題交作業(yè)地點(diǎn)：答疑時(shí)間：周四上午8:30-11：007J-C-107外答疑地點(diǎn)：7J-C-1021、

不準(zhǔn)遲到3幾點(diǎn)要求：3、認(rèn)真、按時(shí)、獨(dú)立完成作業(yè)2、上課不玩手復(fù)變函數(shù)與積分變換，實(shí)際上是兩門(mén)課，都屬于工程數(shù)學(xué).所用教材：《應(yīng)用復(fù)變函數(shù)與積分變換》王以忠等編中國(guó)礦業(yè)大學(xué)出版社共48學(xué)時(shí)單周4學(xué)時(shí)，雙周2學(xué)時(shí)參考教材：《復(fù)變函數(shù)》（第四版）西安交通大學(xué)高等數(shù)學(xué)教研室編《積分變換》（第四版）東南大學(xué)數(shù)學(xué)系張?jiān)志?/p>

復(fù)變函數(shù)與積分變換，實(shí)際上是兩門(mén)課，都屬于工程數(shù)學(xué).5復(fù)變函數(shù)黎曼曲面理論解析函數(shù)留數(shù)理論復(fù)積分幾何函數(shù)理論積分變換傅里葉變換拉普拉斯變換z變換……內(nèi)容級(jí)數(shù)理論5復(fù)變函數(shù)黎曼曲面理論解析函數(shù)留數(shù)理論復(fù)積分幾何函數(shù)理論積分6

復(fù)變函數(shù)論起源于解二次方程或三次方程中出現(xiàn)了負(fù)數(shù)開(kāi)平方的問(wèn)題，為此“造”出了復(fù)數(shù)，起先人們對(duì)這類(lèi)數(shù)并不理解，隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，這類(lèi)數(shù)的重要性逐漸顯現(xiàn)出來(lái)。以復(fù)數(shù)為自變量的函數(shù)就是復(fù)變函數(shù)，與之相關(guān)的理論就是復(fù)變函數(shù)論。

復(fù)變函數(shù)論的全面發(fā)展是在19世紀(jì)，就像微積分統(tǒng)治18世紀(jì)的數(shù)學(xué)一樣，復(fù)變函數(shù)論統(tǒng)治了19世紀(jì)的數(shù)學(xué)，是最豐饒的數(shù)學(xué)分支，并稱(chēng)為這個(gè)世紀(jì)的數(shù)學(xué)享受。這門(mén)學(xué)科的先驅(qū)是歐拉，達(dá)朗貝爾，法國(guó)的拉普拉斯等。對(duì)這門(mén)學(xué)科的大力發(fā)展做了大量工作的是柯西、黎曼、德國(guó)的維爾斯托拉斯等。6復(fù)變函數(shù)論起源于解二次方程或三次方程中出現(xiàn)了負(fù)7

復(fù)變函數(shù)論發(fā)展到今天已成為一個(gè)內(nèi)容非常豐富、應(yīng)用極為廣泛的數(shù)學(xué)分支。是數(shù)學(xué)、通信、電子、自動(dòng)化等專(zhuān)業(yè)重要的基礎(chǔ)課程之一。

應(yīng)用積分變換在許多領(lǐng)域被廣泛地應(yīng)用，如電力工程、通信和控制領(lǐng)域以及信號(hào)分析、圖象處理和其他許多數(shù)學(xué)、物理和工程技術(shù)領(lǐng)域．7復(fù)變函數(shù)論發(fā)展到今天已成為一個(gè)內(nèi)容非常應(yīng)用8第一章復(fù)變函數(shù)與極限§１復(fù)變函數(shù)§２初等函數(shù)§３復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性8第一章復(fù)變函數(shù)與極限§１復(fù)變函數(shù)9預(yù)備知識(shí)一、復(fù)數(shù)的概念二、復(fù)數(shù)的關(guān)系與代數(shù)運(yùn)算三、復(fù)數(shù)的幾何表示9預(yù)備知識(shí)一、復(fù)數(shù)的概念二、復(fù)數(shù)的關(guān)系與代數(shù)運(yùn)算三、復(fù)數(shù)的幾10一、復(fù)數(shù)的概念1.虛數(shù)單位:規(guī)定:……10一、復(fù)數(shù)的概念1.虛數(shù)單位:規(guī)定:……112.復(fù)數(shù):112.復(fù)數(shù):12二、復(fù)數(shù)的關(guān)系與代數(shù)運(yùn)算1.兩復(fù)數(shù)相等:2.和、差:3.復(fù)數(shù)的積:4.復(fù)數(shù)的商:定義：滿足關(guān)系式

記為復(fù)數(shù)不能比較大小注：復(fù)數(shù)的運(yùn)算滿足交換律、結(jié)合律、分配律12二、復(fù)數(shù)的關(guān)系與代數(shù)運(yùn)算1.兩復(fù)數(shù)相等:2.和、差:135.共軛復(fù)數(shù):例1解135.共軛復(fù)數(shù):例1解146.共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì):146.共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì):15三復(fù)數(shù)的幾何表示一、復(fù)平面二、復(fù)球面15三復(fù)數(shù)的幾何表示一、復(fù)平面二、復(fù)球面16一、復(fù)平面1.復(fù)數(shù)的表示法實(shí)軸虛軸復(fù)平面(1)復(fù)數(shù)的點(diǎn)表示：(2)復(fù)數(shù)的向量表示：兩個(gè)復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算與相應(yīng)的向量的加減法運(yùn)算一致16一、復(fù)平面1.復(fù)數(shù)的表示法實(shí)軸虛軸復(fù)平面(1)復(fù)數(shù)的點(diǎn)17平行四邊形法則及三角形法則17平行四邊形法則及三角形法則18﹡復(fù)數(shù)的模：﹡復(fù)數(shù)和差的模的性質(zhì)18﹡復(fù)數(shù)的模：﹡復(fù)數(shù)和差的模的性質(zhì)19﹡復(fù)數(shù)的輻角(argument)輻角不確定.P輻角的主值19﹡復(fù)數(shù)的輻角(argument)輻角不確定.P輻角的主值20Oxy20Oxy21直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系復(fù)數(shù)可以表示成復(fù)數(shù)的三角表示式再利用歐拉公式復(fù)數(shù)可以表示成復(fù)數(shù)的指數(shù)表示式(3)復(fù)數(shù)的三角表示和指數(shù)表示Pxyr21直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系復(fù)數(shù)可以表示成復(fù)數(shù)的三角表示式再利22﹡復(fù)數(shù)的乘法和除法的幾何意義22﹡復(fù)數(shù)的乘法和除法的幾何意義23例1將下列復(fù)數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式:解故三角表示式為指數(shù)表示式為23例1將下列復(fù)數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式:解故三角表24例2解Oxy24例2解Oxyx1yuoz(x,y,0)xyP(x’,y’,u’)x’y’N(0,0,1)對(duì)復(fù)平面內(nèi)任一點(diǎn)z,

用直線將z與N相連,與球面相交于P點(diǎn),則球面上除N點(diǎn)外的所有點(diǎn)和復(fù)平面上的所有點(diǎn)有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,

二、復(fù)球面xx1yuoz(x,y,0)xyP(x’,y’,u’)x’y’為了使復(fù)平面與球面上的點(diǎn)無(wú)例外地都能一一對(duì)應(yīng)起來(lái)，我們規(guī)定：復(fù)平面上有一個(gè)唯一的“無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)”，它與球面上的球極N相對(duì)應(yīng)．相應(yīng)地，我們又規(guī)定：復(fù)數(shù)中有一個(gè)唯一的“無(wú)窮大”與復(fù)平面上的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)相對(duì)應(yīng)，并把它記作∞．為了使復(fù)平面與球面上的點(diǎn)無(wú)例外地都能一一對(duì)應(yīng)起來(lái)，我們規(guī)定：而N點(diǎn)本身可代表無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn),記作.

這樣的球面稱(chēng)作復(fù)球面.擴(kuò)充復(fù)數(shù)域---引進(jìn)一個(gè)“新”的數(shù)∞:擴(kuò)充復(fù)平面---引進(jìn)一個(gè)“理想點(diǎn)”:無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)

∞.而N點(diǎn)本身可代表無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn),記作.

這樣的球面稱(chēng)作復(fù)球面.四、復(fù)變函數(shù)的定義1.復(fù)變函數(shù)的定義:四、復(fù)變函數(shù)的定義1.復(fù)變函數(shù)的定義:2.單(多)值函數(shù)的定義:3.定義集合和函數(shù)值集合:2.單(多)值函數(shù)的定義:3.定義集合和函數(shù)值集合:30

例如：?jiǎn)沃岛瘮?shù)與多值函數(shù)一個(gè)復(fù)變函數(shù)與兩個(gè)二元實(shí)函數(shù)一一對(duì)應(yīng)注:30例如：?jiǎn)沃岛瘮?shù)與多值函數(shù)一個(gè)復(fù)變函數(shù)與兩個(gè)二元實(shí)函數(shù)一31例31例32二、復(fù)變函數(shù)的幾何意義xyOuvOz的象

w的原象32二、復(fù)變函數(shù)的幾何意義xyOuvOz的象w的原象33

簡(jiǎn)單地說(shuō)，復(fù)變函數(shù)的幾何意義就是：它是一種變換，它把z平面上的點(diǎn)變換成了w平面上的點(diǎn)；把z平面上的一條曲線變換成w平面上的一條曲線變換成了w平面上的一條曲線；把z平面上的一個(gè)區(qū)域變換成w平面上的一個(gè)區(qū)域．33簡(jiǎn)單地說(shuō)，復(fù)變函數(shù)的幾何意義就是：34兩個(gè)特殊的映射:34兩個(gè)特殊的映射:35且是全同圖形.35且是全同圖形.3636373738解仍是扇形域.例138解仍是扇形域.例139解例1還是線段.39解例1還是線段.40xyuv40xyuv求下列曲線在映射（1）；（2）；下的象解法一（1）消建立所滿足的象曲線方程或由兩個(gè)實(shí)二元函數(shù)反解得后，代入原象曲線方程即得象曲線方程。（2）例1代入法求下列曲線在映射（1）；（2）；代入原象曲線方程，得

平面內(nèi)的一條直線。解法二（1）將

化為復(fù)數(shù)方程代入原象方程得

（或）化為實(shí)方程形式（2）留作練習(xí)。拼湊法代入原象曲線方程，得平面內(nèi)的一條直線。解法二（1）將（2）化為共軛法解法三把所以代入上式，得化為實(shí)方程形式（2）化為共軛法解法三把所以代入上式，得化為實(shí)方程形式44平面定常向量場(chǎng)主要有兩個(gè)要求一、這個(gè)向量場(chǎng)中的向量是與時(shí)間無(wú)關(guān)的；二、向量場(chǎng)中的向量都平行于某一平面a，并且在垂直于a的任何一條直線上所有點(diǎn)處，這個(gè)場(chǎng)中的向量都相等．用復(fù)變函數(shù)來(lái)描述平面定常向量場(chǎng)如平穩(wěn)流動(dòng)的江水速度向量場(chǎng)就可視為平面定常向量場(chǎng)．建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，平面定常向量場(chǎng)可表示為：44用復(fù)變函數(shù)來(lái)描述平面定常向量場(chǎng)如平穩(wěn)流動(dòng)的江水速度向量場(chǎng)45作業(yè):P121.1；1.2（1，3）;p140---p152附錄下次課講授內(nèi)容§1.2初等函數(shù)45作業(yè):P121.1；1.2（1，3）;p140---46LeonhardEulerBorn:15April1707inBasel,Switzerland

Died:18Sept1783inStPetersburg,Russia46LeonhardEulerBorn:15April47歐拉的驚人成就并不是偶然的。他可以在任何不良的環(huán)境中工作，經(jīng)常抱著孩子在膝上完成論文，也不顧較大的孩子在旁邊喧嘩。歐拉在28歲時(shí)，不幸一只眼睛失明，過(guò)了30年以后，他的另一只眼睛也失明了。在他雙目失明至逝世的十七年間，還口述著作了幾本書(shū)和400篇左右的論文。由于歐拉的著作甚多，出版歐拉全集是十分困難的事情，1909年瑞士自然科學(xué)會(huì)就開(kāi)始整理出版，直到現(xiàn)在還沒(méi)有出完，計(jì)劃是72卷。尤其值得一提的是他編寫(xiě)的平面三角課本，采用的記號(hào)如sinx，cosｘ，…等等直到現(xiàn)今還在用。47歐拉的驚人成就并不是偶然的。他可以在任何不良的環(huán)境中工作48歐拉1720年秋天入巴塞爾大學(xué)，由于異常勤奮和聰慧，受到約翰·伯努利的嘗識(shí)，給以特別的指導(dǎo)。歐拉同約翰的兩個(gè)兒子尼古拉·伯努力和丹尼爾·伯努利也結(jié)成了親密的朋友。1735年，歐拉解決一個(gè)天文學(xué)的難題（計(jì)算慧星軌道）。這個(gè)問(wèn)題幾個(gè)著名數(shù)學(xué)家，幾個(gè)月的努力才得以解決，歐拉卻以自已發(fā)明的方法，三日而成。但過(guò)度的工作使他得了眼病，不幸右眼失明，這時(shí)才28歲。48歐拉1720年秋天入巴塞爾大學(xué)，由于異常勤奮和聰慧，受到49歐拉的記憶和心算能力是罕見(jiàn)的，他能夠復(fù)述青年時(shí)代筆記的內(nèi)容，高等數(shù)學(xué)一樣可以用心算去完成。歐拉的風(fēng)格是很高的，拉格朗日是稍后于歐拉的大數(shù)學(xué)家。從19歲起和歐拉通信、討論等周問(wèn)題的一般解法，歷史學(xué)家把歐拉和阿基米德、牛頓、高斯并列為有史以來(lái)貢獻(xiàn)最大的四位數(shù)學(xué)家

49歐拉的記憶和心算能力是罕見(jiàn)的，他能夠復(fù)述青年時(shí)代筆記的內(nèi)作業(yè)要求:每周交一次，交給各班課代表,

每次改大約1/4上課要求:按時(shí)上課(有事要請(qǐng)假)；課程要求:要求著重理解基本概念;

要求掌握基本方法;課程性質(zhì):專(zhuān)業(yè)基礎(chǔ)課程;先修課程:高等數(shù)學(xué)基本知識(shí)；期末總成績(jī)=平時(shí)成績(jī)*20%+期末考試成績(jī)*80%；平時(shí)成績(jī)包括平時(shí)作業(yè)，出勤等。作業(yè)要求:每周交一次，交給各班課代表,51學(xué)習(xí)方法（一）要抓住重點(diǎn)，即應(yīng)牢固掌握基本概念、基本定理和主要公式，重在理解。（二）要有良好的學(xué)習(xí)方法，可運(yùn)用對(duì)比或比較的學(xué)習(xí)方法，以加深對(duì)各種定理和定律的理解。（三）注意各部分內(nèi)容之間的聯(lián)系，前后如何呼應(yīng)。（四）通過(guò)習(xí)題可以加深對(duì)所學(xué)內(nèi)容的理解，所以應(yīng)按要求完成作業(yè)。2學(xué)習(xí)方法（一）要抓住重點(diǎn)，即應(yīng)牢固掌握基本概念、基本定理52幾點(diǎn)要求：3、認(rèn)真、按時(shí)、獨(dú)立完成作業(yè)2、上課不玩手機(jī)4、盡量多的做課后習(xí)題交作業(yè)地點(diǎn)：答疑時(shí)間：周四上午8:30-11：007J-C-107外答疑地點(diǎn)：7J-C-1021、

不準(zhǔn)遲到3幾點(diǎn)要求：3、認(rèn)真、按時(shí)、獨(dú)立完成作業(yè)2、上課不玩手復(fù)變函數(shù)與積分變換，實(shí)際上是兩門(mén)課，都屬于工程數(shù)學(xué).所用教材：《應(yīng)用復(fù)變函數(shù)與積分變換》王以忠等編中國(guó)礦業(yè)大學(xué)出版社共48學(xué)時(shí)單周4學(xué)時(shí)，雙周2學(xué)時(shí)參考教材：《復(fù)變函數(shù)》（第四版）西安交通大學(xué)高等數(shù)學(xué)教研室編《積分變換》（第四版）東南大學(xué)數(shù)學(xué)系張?jiān)志?/p>

復(fù)變函數(shù)與積分變換，實(shí)際上是兩門(mén)課，都屬于工程數(shù)學(xué).54復(fù)變函數(shù)黎曼曲面理論解析函數(shù)留數(shù)理論復(fù)積分幾何函數(shù)理論積分變換傅里葉變換拉普拉斯變換z變換……內(nèi)容級(jí)數(shù)理論5復(fù)變函數(shù)黎曼曲面理論解析函數(shù)留數(shù)理論復(fù)積分幾何函數(shù)理論積分55

復(fù)變函數(shù)論起源于解二次方程或三次方程中出現(xiàn)了負(fù)數(shù)開(kāi)平方的問(wèn)題，為此“造”出了復(fù)數(shù)，起先人們對(duì)這類(lèi)數(shù)并不理解，隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，這類(lèi)數(shù)的重要性逐漸顯現(xiàn)出來(lái)。以復(fù)數(shù)為自變量的函數(shù)就是復(fù)變函數(shù)，與之相關(guān)的理論就是復(fù)變函數(shù)論。

復(fù)變函數(shù)論的全面發(fā)展是在19世紀(jì)，就像微積分統(tǒng)治18世紀(jì)的數(shù)學(xué)一樣，復(fù)變函數(shù)論統(tǒng)治了19世紀(jì)的數(shù)學(xué)，是最豐饒的數(shù)學(xué)分支，并稱(chēng)為這個(gè)世紀(jì)的數(shù)學(xué)享受。這門(mén)學(xué)科的先驅(qū)是歐拉，達(dá)朗貝爾，法國(guó)的拉普拉斯等。對(duì)這門(mén)學(xué)科的大力發(fā)展做了大量工作的是柯西、黎曼、德國(guó)的維爾斯托拉斯等。6復(fù)變函數(shù)論起源于解二次方程或三次方程中出現(xiàn)了負(fù)56

復(fù)變函數(shù)論發(fā)展到今天已成為一個(gè)內(nèi)容非常豐富、應(yīng)用極為廣泛的數(shù)學(xué)分支。是數(shù)學(xué)、通信、電子、自動(dòng)化等專(zhuān)業(yè)重要的基礎(chǔ)課程之一。

應(yīng)用積分變換在許多領(lǐng)域被廣泛地應(yīng)用，如電力工程、通信和控制領(lǐng)域以及信號(hào)分析、圖象處理和其他許多數(shù)學(xué)、物理和工程技術(shù)領(lǐng)域．7復(fù)變函數(shù)論發(fā)展到今天已成為一個(gè)內(nèi)容非常應(yīng)用57第一章復(fù)變函數(shù)與極限§１復(fù)變函數(shù)§２初等函數(shù)§３復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性8第一章復(fù)變函數(shù)與極限§１復(fù)變函數(shù)58預(yù)備知識(shí)一、復(fù)數(shù)的概念二、復(fù)數(shù)的關(guān)系與代數(shù)運(yùn)算三、復(fù)數(shù)的幾何表示9預(yù)備知識(shí)一、復(fù)數(shù)的概念二、復(fù)數(shù)的關(guān)系與代數(shù)運(yùn)算三、復(fù)數(shù)的幾59一、復(fù)數(shù)的概念1.虛數(shù)單位:規(guī)定:……10一、復(fù)數(shù)的概念1.虛數(shù)單位:規(guī)定:……602.復(fù)數(shù):112.復(fù)數(shù):61二、復(fù)數(shù)的關(guān)系與代數(shù)運(yùn)算1.兩復(fù)數(shù)相等:2.和、差:3.復(fù)數(shù)的積:4.復(fù)數(shù)的商:定義：滿足關(guān)系式

記為復(fù)數(shù)不能比較大小注：復(fù)數(shù)的運(yùn)算滿足交換律、結(jié)合律、分配律12二、復(fù)數(shù)的關(guān)系與代數(shù)運(yùn)算1.兩復(fù)數(shù)相等:2.和、差:625.共軛復(fù)數(shù):例1解135.共軛復(fù)數(shù):例1解636.共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì):146.共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì):64三復(fù)數(shù)的幾何表示一、復(fù)平面二、復(fù)球面15三復(fù)數(shù)的幾何表示一、復(fù)平面二、復(fù)球面65一、復(fù)平面1.復(fù)數(shù)的表示法實(shí)軸虛軸復(fù)平面(1)復(fù)數(shù)的點(diǎn)表示：(2)復(fù)數(shù)的向量表示：兩個(gè)復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算與相應(yīng)的向量的加減法運(yùn)算一致16一、復(fù)平面1.復(fù)數(shù)的表示法實(shí)軸虛軸復(fù)平面(1)復(fù)數(shù)的點(diǎn)66平行四邊形法則及三角形法則17平行四邊形法則及三角形法則67﹡復(fù)數(shù)的模：﹡復(fù)數(shù)和差的模的性質(zhì)18﹡復(fù)數(shù)的模：﹡復(fù)數(shù)和差的模的性質(zhì)68﹡復(fù)數(shù)的輻角(argument)輻角不確定.P輻角的主值19﹡復(fù)數(shù)的輻角(argument)輻角不確定.P輻角的主值69Oxy20Oxy70直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系復(fù)數(shù)可以表示成復(fù)數(shù)的三角表示式再利用歐拉公式復(fù)數(shù)可以表示成復(fù)數(shù)的指數(shù)表示式(3)復(fù)數(shù)的三角表示和指數(shù)表示Pxyr21直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系復(fù)數(shù)可以表示成復(fù)數(shù)的三角表示式再利71﹡復(fù)數(shù)的乘法和除法的幾何意義22﹡復(fù)數(shù)的乘法和除法的幾何意義72例1將下列復(fù)數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式:解故三角表示式為指數(shù)表示式為23例1將下列復(fù)數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式:解故三角表73例2解Oxy24例2解Oxyx1yuoz(x,y,0)xyP(x’,y’,u’)x’y’N(0,0,1)對(duì)復(fù)平面內(nèi)任一點(diǎn)z,

用直線將z與N相連,與球面相交于P點(diǎn),則球面上除N點(diǎn)外的所有點(diǎn)和復(fù)平面上的所有點(diǎn)有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,

二、復(fù)球面xx1yuoz(x,y,0)xyP(x’,y’,u’)x’y’為了使復(fù)平面與球面上的點(diǎn)無(wú)例外地都能一一對(duì)應(yīng)起來(lái)，我們規(guī)定：復(fù)平面上有一個(gè)唯一的“無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)”，它與球面上的球極N相對(duì)應(yīng)．相應(yīng)地，我們又規(guī)定：復(fù)數(shù)中有一個(gè)唯一的“無(wú)窮大”與復(fù)平面上的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)相對(duì)應(yīng)，并把它記作∞．為了使復(fù)平面與球面上的點(diǎn)無(wú)例外地都能一一對(duì)應(yīng)起來(lái)，我們規(guī)定：而N點(diǎn)本身可代表無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn),記作.

這樣的球面稱(chēng)作復(fù)球面.擴(kuò)充復(fù)數(shù)域---引進(jìn)一個(gè)“新”的數(shù)∞:擴(kuò)充復(fù)平面---引進(jìn)一個(gè)“理想點(diǎn)”:無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)

∞.而N點(diǎn)本身可代表無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn),記作.

這樣的球面稱(chēng)作復(fù)球面.四、復(fù)變函數(shù)的定義1.復(fù)變函數(shù)的定義:四、復(fù)變函數(shù)的定義1.復(fù)變函數(shù)的定義:2.單(多)值函數(shù)的定義:3.定義集合和函數(shù)值集合:2.單(多)值函數(shù)的定義:3.定義集合和函數(shù)值集合:79

例如：?jiǎn)沃岛瘮?shù)與多值函數(shù)一個(gè)復(fù)變函數(shù)與兩個(gè)二元實(shí)函數(shù)一一對(duì)應(yīng)注:30例如：?jiǎn)沃岛瘮?shù)與多值函數(shù)一個(gè)復(fù)變函數(shù)與兩個(gè)二元實(shí)函數(shù)一80例31例81二、復(fù)變函數(shù)的幾何意義xyOuvOz的象

w的原象32二、復(fù)變函數(shù)的幾何意義xyOuvOz的象w的原象82

簡(jiǎn)單地說(shuō)，復(fù)變函數(shù)的幾何意義就是：它是一種變換，它把z平面上的點(diǎn)變換成了w平面上的點(diǎn)；把z平面上的一條曲線變換成w平面上的一條曲線變換成了w平面上的一條曲線；把z平面上的一個(gè)區(qū)域變換成w平面上的一個(gè)區(qū)域．33簡(jiǎn)單地說(shuō)，復(fù)變函數(shù)的幾何意義就是：83兩個(gè)特殊的映射:34兩個(gè)特殊的映射:84且是全同圖形.35且是全同圖形.8536863787解仍是扇形域.例138解仍是扇形域.例188解例1還是線段.39解例1還是線段.89xyuv40xyuv求下列曲線在映射（1）；（2）；下的象解法一（1）消建立所滿足的象曲線方程或由兩個(gè)實(shí)二元函數(shù)反解得后，代入原象曲線方程即得象曲線方程。（2）例1代入法求下列曲線在映射（1）；（2）；代入原象曲線方程，得

平面內(nèi)的一條直線。解法二（1）將

化為復(fù)數(shù)方程代入原象方程得

（或）化為實(shí)方程形式（2）留作練習(xí)。拼湊法代入原象曲線方程，得平面內(nèi)的一條直線。解法二（1）將（2）化為共軛法解法三把所以代入上式，得化為實(shí)方程形式（2）化為共軛法解法三把所以代入上式，得化為實(shí)方程形式93平面定常向量場(chǎng)主要有兩個(gè)要求一、這個(gè)向量場(chǎng)中的向量是與時(shí)間無(wú)關(guān)的；二、向量場(chǎng)中的向量都平行于某一平面a，并且在垂直于a的任何一條直線上所有點(diǎn)處，這個(gè)場(chǎng)中的向量都相等．用復(fù)變函數(shù)來(lái)描述平面定常向量場(chǎng)如平穩(wěn)流動(dòng)的江水速度向量場(chǎng)就可視為平面定常向量場(chǎng)．建立適當(dāng)?shù)?/p>