遼寧省沈陽二中2022高二下學(xué)期期末考試 省賽獲獎

遼寧省沈陽二中2022—2022學(xué)年度高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（理科）時間：120分，滿分：150分一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1．已知復(fù)數(shù)z1＝2＋i，z2＝1＋i，則eq\f(z1,z2)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于 ()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限2．若命題p(n)對n＝k成立，則它對n＝k＋2也成立，又已知命題p(1)成立，則下列結(jié)論正確的是 ()A．p(n)對所有自然數(shù)n都成立B．p(n)對所有正偶數(shù)n成立C．p(n)對所有正奇數(shù)n都成立D．p(n)對所有大于1的自然數(shù)n成立3.用數(shù)學(xué)歸納法證明“對于的正整數(shù)均成立”時，第一步證明中的起始值應(yīng)?。ǎ〢.1B.3C.64.已知甲、乙兩車由同一起點同時出發(fā),并沿同一路線（假定為直線）行駛．甲車、乙車的速度曲線分別為（如右圖所示）．那么對于圖中給定的，下列判斷中一定正確的是（）A.在時刻，甲車在乙車前面B.時刻后，甲車在乙車后面C.在時刻，兩車的位置相同D.時刻后，乙車在甲車前面5．設(shè)θ是三角形的一個內(nèi)角，且sinθ＋cosθ＝eq\f(1,5)，則方程eq\f(x2,sinθ)＋eq\f(y2,cosθ)＝1所表示的曲線為()A．焦點在x軸上的橢圓B．焦點在y軸上的橢圓C．焦點在x軸上的雙曲線D．焦點在y軸上的雙曲線6．定義在R上的函數(shù)的值為（） A．2 B．0 C．—1 D．17．如圖所示，從雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦點F引圓x2＋y2＝a2的切線，切點為T，延長FT交雙曲線右支于P點，若M為線段FP的中點，O為坐標(biāo)原點，則|MO|－|MT|與b－a的大小關(guān)系為 ()A．|MO|－|MT|>b－a B．|MO|－|MT|＝b－aC．|MO|－|MT|<b－a D．不確定8.已知點、，是直線上任意一點，以、為焦點的橢圓過點.記橢圓離心率關(guān)于的函數(shù)為，那么下列結(jié)論正確的是()A.與一一對應(yīng)B.函數(shù)無最小值，有最大值C.函數(shù)是增函數(shù)D.函數(shù)有最小值，無最大值9xy11O第9題.右圖是函數(shù)的部分圖象，則函數(shù)的零點所在的區(qū)間是（xy11O第9題A． B．C．D．10．若橢圓：（）和橢圓：（）的焦點相同且.給出如下四個結(jié)論：橢圓和橢圓一定沒有公共點；②；③；④.其中，所有正確結(jié)論的序號是（）A．②③④B.①③④C．①②④D.①②③11．三次函數(shù)在[1，2]內(nèi)恒為正值的充要條件為（） A． B． C． D．12．設(shè)，為不同的兩點，直線，，以下命題中正確的序號為（）．不論為何值，點N都不在直線上；若，則過M，N的直線與直線平行；若，則直線經(jīng)過MN的中點；若，則點M、N在直線的同側(cè)且直線與線段MN的延長線相交．A．(1)(2)(3)B.(2)(3)(4)C.(1)(3)(4)D.(1)(2)(3)(4)二、填空題；本大題共4小題，每小題5分，共20分13滿足復(fù)數(shù)在復(fù)平面上的對應(yīng)點的軌跡是（注意僅回答軌跡類型不給分）14設(shè)為區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，且恒有，可以用隨機模擬方法近似計算積分，先產(chǎn)生兩組（每組個）區(qū)間上的均勻隨機數(shù)和，由此得到個點再數(shù)出其中滿足的點數(shù)，那么由隨機模擬方法計算積分的近似值為15．一個頂點在下，底面在上的圓錐形容器，其底面半徑等于圓錐的高，若以的速度向該容器注水，則水深10時水面上升的速度為16．五位同學(xué)圍成一圈依序循環(huán)報數(shù)，規(guī)定：①第一位同學(xué)首次報出的數(shù)為1，第二位同學(xué)首次報出的數(shù)也為1，之后每位同學(xué)所報出的數(shù)都是前兩位同學(xué)所報出的數(shù)之和；②若報出的數(shù)為3的倍數(shù)，則報該數(shù)的同學(xué)需拍手一次．已知甲同學(xué)第一個報數(shù)，當(dāng)五位同學(xué)依序循環(huán)報到第100個數(shù)時，甲同學(xué)拍手的總次數(shù)為________．三、解答題：本大題共6小題，共70分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟17．(本小題滿分12分)（1）對于定義在上的函數(shù)，滿足，求證：函數(shù)在上是減函數(shù)；（2）請你認真研讀（1）中命題并聯(lián)系以下命題：若是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，滿足，則是上的減函數(shù)然后填空建立一個普遍化的命題：設(shè)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，，若+，則是上的減函數(shù)注：命題的普遍化就是從考慮一個對象過渡到考慮包含該對象的一個集合；或者從考慮一個較小的集合過渡到考慮包含該較小集合的更大集合（3）證明（2）中建立的普遍化命題18．（本小題滿分12分）已知函數(shù)，其圖像記為，若對于任意非零實數(shù)，曲線與其在點處的切線交于另一點，曲線與其在點處的切線交于另一點，線段，與曲線所圍成封閉圖形的面積分別記為，求證：為定值；19．（本小題滿分12分）自然狀態(tài)下的魚類是一種可再生的資源，為了持續(xù)利用這一資源，需從宏觀上考察其再生能力及捕撈強度對魚群總量的影響用表示某魚群在第年初的總量，，且不考慮其他因素，設(shè)在第年內(nèi)魚群的繁殖量及被捕撈量都與成正比，死亡量與成正比，這些比例系數(shù)依次為正數(shù)其中稱為捕撈強度求與的關(guān)系式；設(shè)，為了保證對任意，都有，則捕撈強度的最大允許值是多少？證明你的結(jié)論20．（本小題滿分12分）（第20題圖）已知點，過點作拋物線的切線，切點在第二象限，如圖．（第20題圖）（Ⅰ）求切點的縱坐標(biāo)；（Ⅱ）若離心率為的橢圓恰好經(jīng)過切點，設(shè)切線交橢圓的另一點為，記切線的斜率分別為，若，求橢圓方程．21（本小題滿分12分）已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）證明：.四、選做題（本小題滿分10分，請考生在第22、23、24三題中任選一題作答如果多做，則按所做的第一題計分，作答時請在答題紙上所選題目的方框內(nèi)打“√”22．選修4－1：幾何證明選講如圖，是圓的直徑，是弦，的平分線交圓于點，，交的延長線于點，交于點（1）求證：是圓的切線；（2）若，求的值23.選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系中，直線過點且傾斜角為，以坐標(biāo)原點為極點，軸的非負半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，直線與曲線相交于兩點；（1）若，求直線的傾斜角的取值范圍；（2）求弦最短時直線的參數(shù)方程24．選修4-5不等式選講已知函數(shù)（I）試求的值域；（II）設(shè)，若對，恒有成立，試求實數(shù)a的取值范圍遼寧省沈陽二中2022—2022學(xué)年度高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（理科）參考答案一、DCCACCBBBBBD二、13．以和對應(yīng)的點為端點的線段14．；15．；16．517（1）證明：當(dāng)時，用乘以，得所以，函數(shù)在上是減函數(shù)；………4分（2）設(shè)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，，若+，則是上的減函數(shù)……….4分（3）證明略…………4分18解：，函數(shù)圖象在點處的切線方程為，即，聯(lián)立方程組消得關(guān)于的方程，解之得或于是，同理依題意==用替代，替代可得再考慮到，所以，即為定值19．解：（1）從第年初到從第年初，魚群的繁殖量為，被捕撈量為，死亡量為，依題意即（2）若的值使得，由，知特別地有，即而，所以，以下去證當(dāng)時，恒有，由此確定的允許最大值是1①當(dāng)時，結(jié)論顯然成立②假設(shè)當(dāng)時結(jié)論成立，即則當(dāng)時，因為，所以故當(dāng)時結(jié)論也成立由①②可知對于任意恒有綜上，為了保證對任意，都有，則捕撈強度的最大允許值是120．（第20題圖）解：(Ⅰ)設(shè)切點，且，（第20題圖）由切線的斜率為，得的方程為，又點在上，，即點的縱坐標(biāo)．(Ⅱ)由(Ⅰ)得，切線斜率，設(shè)，切線方程為，由，得，所以橢圓方程為，且過，由，，將，代入得：，所以，橢圓方程為．21解：（1）的定義域為（0，+∞），當(dāng)時，＞0，故在（0，+∞）單調(diào)遞增；當(dāng)時，＜0，故在（0，+∞）單調(diào)遞減；當(dāng)-1＜＜0時，令=0，解得.則當(dāng)時，＞0；時，＜0.故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減（2）因為，所以當(dāng)時，恒成立令，則,因為，由得，且當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以在上遞增，在上遞減.所以，故（3）由（2）知當(dāng)時，有，當(dāng)時，即，令，則，即所以，，…，，相加得而所以，22．選修4－1：幾何證明選講22.（1）連接，可得，∴，又，∴，又為半徑，∴是圓的切線（2）過作于點，連接，則有，設(shè)，則，∴，由可得，又由，可得23.選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程23．（1）∵曲線的極坐標(biāo)方