1晶體中電子的運(yùn)動(dòng)特征課件

在我們了解了電子在晶體周期勢場中運(yùn)動(dòng)的本征態(tài)和本征能量之后，就可以開始研究晶體中電子運(yùn)動(dòng)的具體問題了，由于周期勢場的作用，晶體中的電子的本征能量和本征函數(shù)都已不同于自由電子，因而在外場中的行為也完全不同于自由電子，我們稱之為

Bloch電子。首先分析一下它和自由電子的區(qū)別及其一般特征。一.Bloch電子的準(zhǔn)經(jīng)典描述波包與電子速度電子的準(zhǔn)動(dòng)量電子的加速度和有效質(zhì)量見黃昆書5.1節(jié)p237第七篇

晶體中電子的運(yùn)動(dòng)特征在我們了解了電子在晶體周期勢場中運(yùn)動(dòng)的本征態(tài)和1

一.Bloch電子的準(zhǔn)經(jīng)典描述：

當(dāng)外加場（電場、磁場等）施加到晶體上時(shí)，晶體中的電子不只是感受到外場的作用，而且還同時(shí)感受著晶體周期場的作用。通常情況下，外場要比晶體周期勢場弱得多。因?yàn)榫w周期場強(qiáng)度一般相當(dāng)于108V/cm。而外電場是難以達(dá)到這個(gè)強(qiáng)度的。因此，晶體中的電子在外場中的運(yùn)動(dòng)必須在周期場本征態(tài)的基礎(chǔ)上進(jìn)行討論。采用的方法有兩種：

求解含外場的單電子波動(dòng)方程。或者是在一定條件下，把晶體中電子在外場中的運(yùn)動(dòng)當(dāng)作準(zhǔn)經(jīng)典粒子來處理。一.Bloch電子的準(zhǔn)經(jīng)典描述：2通常情況下求解含外場的波動(dòng)方程，但只能近似求解。含外場的波動(dòng)方程外場較弱且恒定。不考慮電子在不同能帶間的躍遷。不考慮電子的衍射、干涉及碰撞。另一種方法是在：等條件下把晶體中電子在外場中的運(yùn)動(dòng)當(dāng)作準(zhǔn)經(jīng)典粒子來處理。這種方法圖像清晰，運(yùn)算簡單，我們樂于采用。通常情況下求解含外場的波動(dòng)方程，但只能近似求解。含外場的波動(dòng)3

經(jīng)典粒子同時(shí)具有確定的能量和動(dòng)量，但服從量子力學(xué)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的微觀粒子是不可能的，如果一個(gè)量子態(tài)的經(jīng)典描述近似成立，則在量子力學(xué)中這個(gè)態(tài)就要用一個(gè)“波包”來代表，所謂波包是指該粒子（例如電子）空間分布在r0附近的△r

范圍內(nèi)，動(dòng)量取值在附近的范圍內(nèi)，滿足測不準(zhǔn)關(guān)系。把波包中心r0

看作該粒子的位置，把看作該粒子的動(dòng)量。

晶體中的電子，可以用其本征函數(shù)Bloch波組成波包，從而當(dāng)作準(zhǔn)經(jīng)典粒子來處理。經(jīng)典粒子同時(shí)具有確定的能量和動(dòng)量，但服從量子力4二.波包與電子速度：

在晶體中，電子的準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng)可以用Bloch函數(shù)組成的波包描述。由于波包中含有能量不同的本征態(tài)，因此，必須用含時(shí)間因子的Bloch函數(shù)。首先考慮于一維情況。設(shè)波包由以k0為中心，在k的范圍內(nèi)的波函數(shù)組成，并假設(shè)k很小，可近似認(rèn)為不隨k而變。對(duì)于一確定的k

，含時(shí)間的Bloch函數(shù)為

把與k0相鄰近的各k’狀態(tài)疊加起來就可以組成與量子態(tài)k0相對(duì)應(yīng)的波包：二.波包與電子速度：在晶體中，電子的準(zhǔn)5波包令波包令6為分析波包的運(yùn)動(dòng)，只需分析2，即幾率分布即可。令0波函數(shù)集中在尺度為的范圍內(nèi)，波包中心為：w＝0。為分析波包的運(yùn)動(dòng)，只需分析2，即幾率分布即可。令0波7有若將波包看成一個(gè)準(zhǔn)粒子，則粒子的速度為布里淵區(qū)的寬度：2/a，而假設(shè)k很小，一般要求即推廣到三維情況，電子速度為有若將波包看成一個(gè)準(zhǔn)粒子，則粒子的速度為布里淵區(qū)的寬度：28注意，這里給出了把Bloch波當(dāng)作準(zhǔn)經(jīng)典粒子處理的條件。由于Bloch波有色散，一個(gè)穩(wěn)定的波包所包含的波矢范圍△k應(yīng)是一個(gè)很小的量。Bloch波有獨(dú)立物理意義的波矢被限制在第一布里淵區(qū)內(nèi)，因?yàn)闇y不準(zhǔn)關(guān)系這表明，如果波包的大小比原胞尺寸大得多，晶體中電子的運(yùn)動(dòng)就可以用波包的運(yùn)動(dòng)規(guī)律來描述。對(duì)于輸運(yùn)現(xiàn)象，只有當(dāng)電子平均自由程遠(yuǎn)大于原胞尺寸的情況下，才可以把晶體中的電子當(dāng)作準(zhǔn)經(jīng)典粒子，波包移動(dòng)的速度（群速度）等于處于波包中心處粒子所具有的平均速度。注意，這里給出了把Bloch波當(dāng)作準(zhǔn)經(jīng)典粒子處理的條件。9附錄：更簡明的說明：

量子力學(xué)告訴我們，晶體中處于狀態(tài)的電子，在經(jīng)典近似下，其平均速度相當(dāng)于以k0為中心的波包速度，而波包的傳播速度是群速度：量子力學(xué)中的德布羅意關(guān)系：所以電子的平均速度：附錄：更簡明的說明：10考慮到不同能帶的電子，晶體中電子速度的一般表述：

這個(gè)公式表達(dá)了一個(gè)非常重要的事實(shí)，那就是：

晶體中電子的平均速度只與能量和波矢有關(guān)，對(duì)時(shí)間和空間而言，它是常數(shù)，因此平均速度將永遠(yuǎn)保持不變而不衰減。也就是說可以一直流動(dòng)下去而不衰減。這意味著：電子不會(huì)被靜止的原子所散射，嚴(yán)格周期性晶體的電阻率為零。這一點(diǎn)和自由電子論中離子是作為散射中心對(duì)電子產(chǎn)生散射而影響電子的平均（漂移）速度的概念完全不同。

下一節(jié)還將仔細(xì)分析這種情況。

考慮到不同能帶的電子，晶體中電子速度的一般表述：11換句話說：若電子處于一個(gè)確定的狀態(tài)時(shí)，只要晶格的周期性不變，則永遠(yuǎn)處于這個(gè)態(tài)，因此，只要這種情況不變，則電子將以同樣的速度在整個(gè)晶體中不斷運(yùn)動(dòng)，而不被任何晶格所阻礙，即電子速度是一個(gè)常數(shù)，因?yàn)榫Ц駥?duì)傳播速度的影響，都已經(jīng)通過能量包括在內(nèi)了。

當(dāng)然，晶格對(duì)周期性的偏離會(huì)引起電子的散射，使它的速度發(fā)生變化，例如，電子在熱振動(dòng)的晶格中運(yùn)動(dòng)，會(huì)和聲子多次碰撞，對(duì)電子的速度產(chǎn)生極大影響；此外，外加電場和磁場也會(huì)對(duì)電子運(yùn)動(dòng)速度帶來變化，以后將陸續(xù)討論到這些情況。換句話說：若電子處于一個(gè)確定的狀態(tài)時(shí)，只要晶12這個(gè)公式還表明：電子速度的方向?yàn)閗空間中能量梯度的方向，即垂直于等能面。因此，電子的運(yùn)動(dòng)方向決定于等能面的形狀，在一般情況下，在k空間中，等能面并不是球面，因此，v的方向一般并不是k的方向。下圖比較準(zhǔn)確地反映了Bloch電子的這一特點(diǎn)。這個(gè)公式還表明：電子速度的方向?yàn)閗空間中能量梯度的方向，13只有當(dāng)?shù)饶苊鏋榍蛎?，或在某些特殊方向上，v才與k的方向相同。電子運(yùn)動(dòng)速度的大小與k

的關(guān)系，以一維為例說明在能帶底和能帶頂，E(k)取極值，因此，在能帶底和能帶頂，電子速度v＝0。E(k)v(k)而在能帶中的某處：電子速度的數(shù)值最大，這種情況與自由電子的速度總是隨能量的增加而單調(diào)上升是完全不同的。只有當(dāng)?shù)饶苊鏋榍蛎妫蛟谀承┨厥夥较蛏?，v才與k的方因14上頁圖取自黃昆書圖5-2，右圖表示的更準(zhǔn)確，一維晶格的能帶結(jié)構(gòu)（上圖）相應(yīng)的電子速度（下圖），虛線表示自由電子的速度。這種變化可用NEF模型來解釋：在區(qū)心處，電子可以用平面波描寫，因而速度成線性變化，但隨著k值的增加，自由波受晶格散射波的影響越來越大，散射波對(duì)入射波的消弱越來越明顯，直到布里淵區(qū)邊界，強(qiáng)的Bragg反射使散射波和入射波相等，所以波速度為零。這個(gè)結(jié)果和一切幅射波在有周期性的晶體中的傳播是一樣的。上頁圖取自黃昆書圖5-2，右圖表示的更準(zhǔn)確，一維晶格的能帶15三.電子的準(zhǔn)動(dòng)量：

在外場中，電子所受的力為F，在dt時(shí)間內(nèi)，外場對(duì)電子所做的功為Fvdt根據(jù)功能原理，有在平行于v的方向上，dk/dt和F的分量相等；當(dāng)F與速度v垂直時(shí)，不能用功能原理來討論電子能量狀態(tài)的變化，但是我們?nèi)钥梢宰C明在垂直于速度的方向上，dk/dt和外力F的分量也相等。三.電子的準(zhǔn)動(dòng)量：在外場16

上式是電子在外場作用下運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化的基本公式，具有與經(jīng)典力學(xué)中牛頓定律相似的形式。k是電子的準(zhǔn)動(dòng)量，準(zhǔn)動(dòng)量不是嚴(yán)格意義上的Bloch電子的動(dòng)量，嚴(yán)格意義上的動(dòng)量的變化率等于作用在電子上面所有力的和，而準(zhǔn)動(dòng)量的變化率只是外場力作用的結(jié)果，這里沒有包括晶格勢場作用力。晶格勢場的作用被包含在準(zhǔn)動(dòng)量中。上式是電子在外場作用下運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化的基本公式17

是Bloch電子準(zhǔn)動(dòng)量的另一種說明：對(duì)于自由電子，

k=p

就是電子的動(dòng)量。對(duì)于晶體周期場中的電子用Bloch波描述，動(dòng)量算符作用下：這表明Bloch波不是動(dòng)量算符的本征函數(shù)。在晶體周期場中，k是動(dòng)量概念的擴(kuò)展，稱為準(zhǔn)動(dòng)量或電子晶格動(dòng)量。是Bloch電子準(zhǔn)動(dòng)量的另一種說明：對(duì)于18四.電子的加速度和有效質(zhì)量

晶體中電子運(yùn)動(dòng)的準(zhǔn)經(jīng)典模型為，外場用經(jīng)典方式處理，晶體周期場用能帶論的處理，電子位置用Bloch波包的中心位置代替。準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng)的基本關(guān)系式：此外，假定能帶指標(biāo)n是運(yùn)動(dòng)常數(shù)，即電子總是呆在同一能帶中，忽略電子在能帶之間的躍遷。相當(dāng)于牛頓第二定律四.電子的加速度和有效質(zhì)量晶體中電子運(yùn)動(dòng)19從電子運(yùn)動(dòng)的基本關(guān)系式可以直接導(dǎo)出在外力作用下電子的加速度。1.一維情況引入電子的有效質(zhì)量：

由于周期場的作用，當(dāng)把加速度在形式上寫成僅由外力引起的形式時(shí)，外力與加速度之間的關(guān)系顯然不是由電子的慣性質(zhì)量所聯(lián)系的，而必須引入一個(gè)有效質(zhì)量的概念，它計(jì)入了周期場的影響。從電子運(yùn)動(dòng)的基本關(guān)系式可以直接導(dǎo)出在外力作用下1.一維情況20有由于周期場中電子的能量E(k)與k的函數(shù)關(guān)系不是拋物線關(guān)系，因此，電子的有效質(zhì)量不是常數(shù)，m*與k有關(guān)。在能帶底，E(k)取極小值，這時(shí)，m*>0；E(k)取極大值，所以，m*<0。在能帶頂有由于周期場中電子的能量E(k)與k的函數(shù)關(guān)系不是拋212.三維情況其分量形式為＝1,2,32.三維情況其分量形式為＝1,2,322矩陣形式與牛頓定律相比可知，現(xiàn)在是用一個(gè)二階張量代替了矩陣形式與牛頓定律相比可知，現(xiàn)在是用一個(gè)二階張量代替了23稱為倒有效質(zhì)量張量。由于微商可以交換順序，倒有效質(zhì)量張量是一個(gè)對(duì)稱張量。同時(shí)，晶體的點(diǎn)群對(duì)稱性也會(huì)使張量的獨(dú)立分量減少，對(duì)于各向同性晶體，它退化為一個(gè)標(biāo)量。由于倒有效質(zhì)量張量是對(duì)稱張量，如將kx、ky、kz取為張量的主軸方向，就可將其對(duì)角化。稱為倒有效質(zhì)量張量。由于微商可以交換順序，倒有效質(zhì)量張量是一24這時(shí)有這時(shí)有25

有效質(zhì)量的作用在于它概括了晶體內(nèi)部周期場作用（把這個(gè)作用用有效質(zhì)量代替），使我們能夠簡單地由外場力確定電子的加速度。

需要注意電子的加速度方向并不一定與外場力的方向一致，這是由倒有效質(zhì)量張量的性質(zhì)所決定的。電子有效質(zhì)量常用電子比熱數(shù)據(jù)計(jì)算得到：其中0為自由電子的比熱系數(shù)，exp為實(shí)驗(yàn)值。有效質(zhì)量的作用在于它概括了晶體內(nèi)部周期場作26對(duì)于有些材料，這個(gè)比值可以很大，100～1000倍，即電子的有效質(zhì)量很大，稱為重費(fèi)米子，相應(yīng)材料稱為重費(fèi)米子材料。這類材料對(duì)應(yīng)于費(fèi)米能級(jí)處非常高的態(tài)密度。這一點(diǎn)我們可以從自由電子氣比熱系數(shù)中看到γ∝N(EF)例如，1975年發(fā)現(xiàn)化合物CeAl3，其低溫電子比熱系數(shù)γ高達(dá)1620mJ/mol·K。通常把γ值大于400mJ/mol·K的材料稱為重費(fèi)米子系統(tǒng)。（見黃昆書p286）對(duì)于有些材料，這個(gè)比值可以很大，100～1000倍，即電子的27例：求簡單立方晶體s態(tài)電子的有效質(zhì)量。,1,2,3即kx,ky,kz為張量的主軸方向，由此可得例：求簡單立方晶體s態(tài)電子的有效質(zhì)量。28這表明有效質(zhì)量的三個(gè)主分量均與J1成反比，若原子間距越大，J1越小，則有效質(zhì)量就越大。在能帶底點(diǎn)：k=(0,0,0)，這時(shí)有效質(zhì)量張量退化為一個(gè)標(biāo)量。在能帶頂R點(diǎn)：這表明有效質(zhì)量的三個(gè)主分量均與J1成反比，若原子間距在能29這表明，在能帶底和能帶頂電子的有效質(zhì)量是各向同性的，退化為一標(biāo)量，這是立方對(duì)稱的結(jié)果。在X點(diǎn)：

有效質(zhì)量是一個(gè)很重要的概念，它把晶體中電子準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng)的加速度與外力聯(lián)系起來。

有效質(zhì)量中包含了周期場對(duì)電子的作用。在一般情況下，

有效質(zhì)量是一個(gè)張量，在特殊情況下也可以退化為標(biāo)量。

有效質(zhì)量不僅可以取正，也可以取負(fù)。在能帶底附近，有效質(zhì)量總是正的；而在能帶頂附近，

有效質(zhì)量總是負(fù)的。這是因?yàn)樵谀軒У缀湍軒ы擡(k)分

別取極大值和極小值，分別具有正的和負(fù)的二價(jià)微商。這表明，在能帶底和能帶頂電子的有效質(zhì)量是各向同性的，退化為一30補(bǔ)充：有效質(zhì)量的再理解：

電子的運(yùn)動(dòng)應(yīng)該同時(shí)受到晶格力Fl和外場力F,但在實(shí)際中，是難以表示清楚的，因此可將公式改寫為：通過引入有效質(zhì)量m*取代真實(shí)質(zhì)量m而將未知的晶格力的作用考慮進(jìn)來，采用有效質(zhì)量后，就可以仍采用我們已經(jīng)非常熟悉的牛頓定律來描述晶體電子在外場中的行為。但由于包含了晶格力作用的緣故，m*不同于m，因此，晶體中運(yùn)動(dòng)的電子是一種“準(zhǔn)粒子”，我們稱之為Bloch電子。補(bǔ)充：有效質(zhì)量的再理解：但在實(shí)際中，是難以表示清楚的31上式可以改寫為：顯而易見，當(dāng)電子從外場獲得的動(dòng)量大于電子傳遞給晶格的動(dòng)量時(shí)，有效質(zhì)量m*>0，反之，當(dāng)電子從外場獲得的動(dòng)量小于電子傳遞給晶格的動(dòng)量時(shí)，m*<0，當(dāng)電子從外場獲得的動(dòng)量全部傳遞給晶格時(shí)，m*→

∞

。此時(shí)電子的平均加速度為零。從上式還可以看出：電子加速度的方向?yàn)橥鈭隽途Ц窳Φ暮狭Ψ较颍⒉灰欢ê屯饬Ψ较蛞恢?。上式可以改寫為：顯而易見，當(dāng)電子從外場獲得的動(dòng)量大于電子傳遞32自由電子Bloch電子量子數(shù)k(量子化取值無限制）n,k（取值在第一布里淵區(qū)）能量

能量分為能級(jí)

一般沒有簡單形式為平面波為Bloch波波函數(shù)

沒有確定的簡單形式，但和晶格具有同樣的周期性自由電子Bloch電子量子數(shù)k(量子化取值無限制）n33自由電子Bloch電子自由電子34

在我們了解了電子在晶體周期勢場中運(yùn)動(dòng)的本征態(tài)和本征能量之后，就可以開始研究晶體中電子運(yùn)動(dòng)的具體問題了，由于周期勢場的作用，晶體中的電子的本征能量和本征函數(shù)都已不同于自由電子，因而在外場中的行為也完全不同于自由電子，我們稱之為

Bloch電子。首先分析一下它和自由電子的區(qū)別及其一般特征。一.Bloch電子的準(zhǔn)經(jīng)典描述波包與電子速度電子的準(zhǔn)動(dòng)量電子的加速度和有效質(zhì)量見黃昆書5.1節(jié)p237第七篇

晶體中電子的運(yùn)動(dòng)特征在我們了解了電子在晶體周期勢場中運(yùn)動(dòng)的本征態(tài)和35

一.Bloch電子的準(zhǔn)經(jīng)典描述：

當(dāng)外加場（電場、磁場等）施加到晶體上時(shí)，晶體中的電子不只是感受到外場的作用，而且還同時(shí)感受著晶體周期場的作用。通常情況下，外場要比晶體周期勢場弱得多。因?yàn)榫w周期場強(qiáng)度一般相當(dāng)于108V/cm。而外電場是難以達(dá)到這個(gè)強(qiáng)度的。因此，晶體中的電子在外場中的運(yùn)動(dòng)必須在周期場本征態(tài)的基礎(chǔ)上進(jìn)行討論。采用的方法有兩種：

求解含外場的單電子波動(dòng)方程?；蛘呤窃谝欢l件下，把晶體中電子在外場中的運(yùn)動(dòng)當(dāng)作準(zhǔn)經(jīng)典粒子來處理。一.Bloch電子的準(zhǔn)經(jīng)典描述：36通常情況下求解含外場的波動(dòng)方程，但只能近似求解。含外場的波動(dòng)方程外場較弱且恒定。不考慮電子在不同能帶間的躍遷。不考慮電子的衍射、干涉及碰撞。另一種方法是在：等條件下把晶體中電子在外場中的運(yùn)動(dòng)當(dāng)作準(zhǔn)經(jīng)典粒子來處理。這種方法圖像清晰，運(yùn)算簡單，我們樂于采用。通常情況下求解含外場的波動(dòng)方程，但只能近似求解。含外場的波動(dòng)37

經(jīng)典粒子同時(shí)具有確定的能量和動(dòng)量，但服從量子力學(xué)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的微觀粒子是不可能的，如果一個(gè)量子態(tài)的經(jīng)典描述近似成立，則在量子力學(xué)中這個(gè)態(tài)就要用一個(gè)“波包”來代表，所謂波包是指該粒子（例如電子）空間分布在r0附近的△r

范圍內(nèi)，動(dòng)量取值在附近的范圍內(nèi)，滿足測不準(zhǔn)關(guān)系。把波包中心r0

看作該粒子的位置，把看作該粒子的動(dòng)量。

晶體中的電子，可以用其本征函數(shù)Bloch波組成波包，從而當(dāng)作準(zhǔn)經(jīng)典粒子來處理。經(jīng)典粒子同時(shí)具有確定的能量和動(dòng)量，但服從量子力38二.波包與電子速度：

在晶體中，電子的準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng)可以用Bloch函數(shù)組成的波包描述。由于波包中含有能量不同的本征態(tài)，因此，必須用含時(shí)間因子的Bloch函數(shù)。首先考慮于一維情況。設(shè)波包由以k0為中心，在k的范圍內(nèi)的波函數(shù)組成，并假設(shè)k很小，可近似認(rèn)為不隨k而變。對(duì)于一確定的k

，含時(shí)間的Bloch函數(shù)為

把與k0相鄰近的各k’狀態(tài)疊加起來就可以組成與量子態(tài)k0相對(duì)應(yīng)的波包：二.波包與電子速度：在晶體中，電子的準(zhǔn)39波包令波包令40為分析波包的運(yùn)動(dòng)，只需分析2，即幾率分布即可。令0波函數(shù)集中在尺度為的范圍內(nèi)，波包中心為：w＝0。為分析波包的運(yùn)動(dòng)，只需分析2，即幾率分布即可。令0波41有若將波包看成一個(gè)準(zhǔn)粒子，則粒子的速度為布里淵區(qū)的寬度：2/a，而假設(shè)k很小，一般要求即推廣到三維情況，電子速度為有若將波包看成一個(gè)準(zhǔn)粒子，則粒子的速度為布里淵區(qū)的寬度：242注意，這里給出了把Bloch波當(dāng)作準(zhǔn)經(jīng)典粒子處理的條件。由于Bloch波有色散，一個(gè)穩(wěn)定的波包所包含的波矢范圍△k應(yīng)是一個(gè)很小的量。Bloch波有獨(dú)立物理意義的波矢被限制在第一布里淵區(qū)內(nèi)，因?yàn)闇y不準(zhǔn)關(guān)系這表明，如果波包的大小比原胞尺寸大得多，晶體中電子的運(yùn)動(dòng)就可以用波包的運(yùn)動(dòng)規(guī)律來描述。對(duì)于輸運(yùn)現(xiàn)象，只有當(dāng)電子平均自由程遠(yuǎn)大于原胞尺寸的情況下，才可以把晶體中的電子當(dāng)作準(zhǔn)經(jīng)典粒子，波包移動(dòng)的速度（群速度）等于處于波包中心處粒子所具有的平均速度。注意，這里給出了把Bloch波當(dāng)作準(zhǔn)經(jīng)典粒子處理的條件。43附錄：更簡明的說明：

量子力學(xué)告訴我們，晶體中處于狀態(tài)的電子，在經(jīng)典近似下，其平均速度相當(dāng)于以k0為中心的波包速度，而波包的傳播速度是群速度：量子力學(xué)中的德布羅意關(guān)系：所以電子的平均速度：附錄：更簡明的說明：44考慮到不同能帶的電子，晶體中電子速度的一般表述：

這個(gè)公式表達(dá)了一個(gè)非常重要的事實(shí)，那就是：

晶體中電子的平均速度只與能量和波矢有關(guān)，對(duì)時(shí)間和空間而言，它是常數(shù)，因此平均速度將永遠(yuǎn)保持不變而不衰減。也就是說可以一直流動(dòng)下去而不衰減。這意味著：電子不會(huì)被靜止的原子所散射，嚴(yán)格周期性晶體的電阻率為零。這一點(diǎn)和自由電子論中離子是作為散射中心對(duì)電子產(chǎn)生散射而影響電子的平均（漂移）速度的概念完全不同。

下一節(jié)還將仔細(xì)分析這種情況。

考慮到不同能帶的電子，晶體中電子速度的一般表述：45換句話說：若電子處于一個(gè)確定的狀態(tài)時(shí)，只要晶格的周期性不變，則永遠(yuǎn)處于這個(gè)態(tài)，因此，只要這種情況不變，則電子將以同樣的速度在整個(gè)晶體中不斷運(yùn)動(dòng)，而不被任何晶格所阻礙，即電子速度是一個(gè)常數(shù)，因?yàn)榫Ц駥?duì)傳播速度的影響，都已經(jīng)通過能量包括在內(nèi)了。

當(dāng)然，晶格對(duì)周期性的偏離會(huì)引起電子的散射，使它的速度發(fā)生變化，例如，電子在熱振動(dòng)的晶格中運(yùn)動(dòng)，會(huì)和聲子多次碰撞，對(duì)電子的速度產(chǎn)生極大影響；此外，外加電場和磁場也會(huì)對(duì)電子運(yùn)動(dòng)速度帶來變化，以后將陸續(xù)討論到這些情況。換句話說：若電子處于一個(gè)確定的狀態(tài)時(shí)，只要晶46這個(gè)公式還表明：電子速度的方向?yàn)閗空間中能量梯度的方向，即垂直于等能面。因此，電子的運(yùn)動(dòng)方向決定于等能面的形狀，在一般情況下，在k空間中，等能面并不是球面，因此，v的方向一般并不是k的方向。下圖比較準(zhǔn)確地反映了Bloch電子的這一特點(diǎn)。這個(gè)公式還表明：電子速度的方向?yàn)閗空間中能量梯度的方向，47只有當(dāng)?shù)饶苊鏋榍蛎妫蛟谀承┨厥夥较蛏?，v才與k的方向相同。電子運(yùn)動(dòng)速度的大小與k

的關(guān)系，以一維為例說明在能帶底和能帶頂，E(k)取極值，因此，在能帶底和能帶頂，電子速度v＝0。E(k)v(k)而在能帶中的某處：電子速度的數(shù)值最大，這種情況與自由電子的速度總是隨能量的增加而單調(diào)上升是完全不同的。只有當(dāng)?shù)饶苊鏋榍蛎?，或在某些特殊方向上，v才與k的方因48上頁圖取自黃昆書圖5-2，右圖表示的更準(zhǔn)確，一維晶格的能帶結(jié)構(gòu)（上圖）相應(yīng)的電子速度（下圖），虛線表示自由電子的速度。這種變化可用NEF模型來解釋：在區(qū)心處，電子可以用平面波描寫，因而速度成線性變化，但隨著k值的增加，自由波受晶格散射波的影響越來越大，散射波對(duì)入射波的消弱越來越明顯，直到布里淵區(qū)邊界，強(qiáng)的Bragg反射使散射波和入射波相等，所以波速度為零。這個(gè)結(jié)果和一切幅射波在有周期性的晶體中的傳播是一樣的。上頁圖取自黃昆書圖5-2，右圖表示的更準(zhǔn)確，一維晶格的能帶49三.電子的準(zhǔn)動(dòng)量：

在外場中，電子所受的力為F，在dt時(shí)間內(nèi)，外場對(duì)電子所做的功為Fvdt根據(jù)功能原理，有在平行于v的方向上，dk/dt和F的分量相等；當(dāng)F與速度v垂直時(shí)，不能用功能原理來討論電子能量狀態(tài)的變化，但是我們?nèi)钥梢宰C明在垂直于速度的方向上，dk/dt和外力F的分量也相等。三.電子的準(zhǔn)動(dòng)量：在外場50

上式是電子在外場作用下運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化的基本公式，具有與經(jīng)典力學(xué)中牛頓定律相似的形式。k是電子的準(zhǔn)動(dòng)量，準(zhǔn)動(dòng)量不是嚴(yán)格意義上的Bloch電子的動(dòng)量，嚴(yán)格意義上的動(dòng)量的變化率等于作用在電子上面所有力的和，而準(zhǔn)動(dòng)量的變化率只是外場力作用的結(jié)果，這里沒有包括晶格勢場作用力。晶格勢場的作用被包含在準(zhǔn)動(dòng)量中。上式是電子在外場作用下運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化的基本公式51

是Bloch電子準(zhǔn)動(dòng)量的另一種說明：對(duì)于自由電子，

k=p

就是電子的動(dòng)量。對(duì)于晶體周期場中的電子用Bloch波描述，動(dòng)量算符作用下：這表明Bloch波不是動(dòng)量算符的本征函數(shù)。在晶體周期場中，k是動(dòng)量概念的擴(kuò)展，稱為準(zhǔn)動(dòng)量或電子晶格動(dòng)量。是Bloch電子準(zhǔn)動(dòng)量的另一種說明：對(duì)于52四.電子的加速度和有效質(zhì)量

晶體中電子運(yùn)動(dòng)的準(zhǔn)經(jīng)典模型為，外場用經(jīng)典方式處理，晶體周期場用能帶論的處理，電子位置用Bloch波包的中心位置代替。準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng)的基本關(guān)系式：此外，假定能帶指標(biāo)n是運(yùn)動(dòng)常數(shù)，即電子總是呆在同一能帶中，忽略電子在能帶之間的躍遷。相當(dāng)于牛頓第二定律四.電子的加速度和有效質(zhì)量晶體中電子運(yùn)動(dòng)53從電子運(yùn)動(dòng)的基本關(guān)系式可以直接導(dǎo)出在外力作用下電子的加速度。1.一維情況引入電子的有效質(zhì)量：

由于周期場的作用，當(dāng)把加速度在形式上寫成僅由外力引起的形式時(shí)，外力與加速度之間的關(guān)系顯然不是由電子的慣性質(zhì)量所聯(lián)系的，而必須引入一個(gè)有效質(zhì)量的概念，它計(jì)入了周期場的影響。從電子運(yùn)動(dòng)的基本關(guān)系式可以直接導(dǎo)出在外力作用下1.一維情況54有由于周期場中電子的能量E(k)與k的函數(shù)關(guān)系不是拋物線關(guān)系，因此，電子的有效質(zhì)量不是常數(shù)，m*與k有關(guān)。在能帶底，E(k)取極小值，這時(shí)，m*>0；E(k)取極大值，所以，m*<0。在能帶頂有由于周期場中電子的能量E(k)與k的函數(shù)關(guān)系不是拋552.三維情況其分量形式為＝1,2,32.三維情況其分量形式為＝1,2,356矩陣形式與牛頓定律相比可知，現(xiàn)在是用一個(gè)二階張量代替了矩陣形式與牛頓定律相比可知，現(xiàn)在是用一個(gè)二階張量代替了57稱為倒有效質(zhì)量張量。由于微商可以交換順序，倒有效質(zhì)量張量是一個(gè)對(duì)稱張量。同時(shí)，晶體的點(diǎn)群對(duì)稱性也會(huì)使張量的獨(dú)立分量減少，對(duì)于各向同性晶體，它退化為一個(gè)標(biāo)量。由于倒有效質(zhì)量張量是對(duì)稱張量，如將kx、ky、kz取為張量的主軸方向，就可將其對(duì)角化。稱為倒有效質(zhì)量張量。由于微商可以交換順序，倒有效質(zhì)量張量是一58這時(shí)有這時(shí)有59

有效質(zhì)量的作用在于它概括了晶體內(nèi)部周期場作用（把這個(gè)作用用有效質(zhì)量代替），使我們能夠簡單地由外場力確定電子的加速度。

需要注意電子的加速度方向并不一定與外場力的方向一致，這是由倒有效質(zhì)量張量的性質(zhì)所決定的。電子有效質(zhì)量常用電子比熱數(shù)據(jù)計(jì)算得到：其中0為自由電子的比熱系數(shù)，exp為實(shí)驗(yàn)值。有效質(zhì)量的作用在于它概括了晶體內(nèi)部周期場作60對(duì)于有些材料，這個(gè)比值可以很大，100～1000倍，即電子的有效質(zhì)量很大，稱為重費(fèi)米子，相應(yīng)材料稱為重費(fèi)米子材料。這類材料對(duì)應(yīng)于費(fèi)米能級(jí)處非常高的態(tài)密度。這一點(diǎn)我們可以從自由電子氣比熱系數(shù)中看到γ∝N(EF)例如，1975年發(fā)現(xiàn)化合物CeAl3，其低溫電子比熱系數(shù)γ高達(dá)1620mJ/mol·K。通常把γ值大于400mJ/mol·K的材料稱為重費(fèi)米子系統(tǒng)。（見黃昆書p286）對(duì)于有些材料，這個(gè)比值可以很大，100～1000倍，即電子的61例：求簡單立方晶體s態(tài)