高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試分類匯編三角恒等變換蘇教版

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）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】利用余弦的二倍角公式可得答案.【詳解】.故選：A.2．（2021·江蘇常州·高一期末）已知，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知條件，運用三角函數(shù)的兩角差公式，可得，對等式兩邊同時平方，再結(jié)合二倍角公式，即可求解．【詳解】解：，，，對等式兩邊平方，可得，，解得．故選：A．3．（2021·江蘇揚州·高一期末）已知，，則（

）A．1 B． C．7 D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知條件，先運用二倍角公式，可得，再結(jié)合正切函數(shù)的兩角差公式，即可求解．【詳解】解：因為，所以且，所以﹔又，所以.故選：A4．（2021·江蘇淮安·高一期末）如圖，在有五個正方形拼接而成的圖形中，（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知條件可得，，結(jié)合正切函數(shù)的兩角差公式，即可求解．【詳解】解：由圖可得，，，，因為，，所以．故選：．5．（2021·江蘇徐州·高一期末）已知則sin2θ=（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由已知條件化簡可得，兩邊平方可得，從而可求得答案【詳解】解：由得，所以，所以，所以，所以，所以，故選：A6．（2021·江蘇鹽城·高一期末）為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象（

）A．向左平移個單位長度得到 B．向右平移個單位長度得到C．向左平移個單位長度得到 D．向右平移個單位長度得到【答案】A【解析】【分析】先利用輔助角公式將函數(shù)變形，然后利用圖象的平移變換分析求解即可．【詳解】解：函數(shù)，將函數(shù)的圖象向左平移個單位可得的圖象．故選：．7．（2021·江蘇泰州·高一期末）設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)兩角和正切公式有，可求，再由兩角差正弦公式、二倍角正弦公式可求b、c，進而可知它們的大小關(guān)系.【詳解】∵，∴，，，∴.故選：A8．（2021·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)高一期末）若，則（）．A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】直接對已知的式子利用三角恒等變換公式化簡可得答案【詳解】解：因為，所以，，所以，所以，所以，所以，故選：C二、多選題9．（2021·江蘇淮安·高一期末）一般地，對任意角，在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)的終邊上異于原點的任意一點P的坐標(biāo)為，它與原點的距離是r.我們規(guī)定：比值，，分別叫做角的余切、余割、正割，分別記作，，，把，，分別叫做余切函數(shù)、余割函數(shù)、正割函數(shù)，下列敘述正確的有（

）A．B．C．的定義域為D．【答案】ACD【解析】依據(jù)題意結(jié)合教材正弦余弦函數(shù)的定義逐一判斷.【詳解】，故A正確；，故B不正確；，，故C正確；，，，即，故D正確.故選:ACD10．（2021·江蘇·高一期末）下列化簡正確的是A． B．C． D．【答案】CD【解析】根據(jù)兩角和差正弦和正切公式、二倍角的正弦和余弦公式依次化簡各個選項可得結(jié)果.【詳解】中，，則錯誤；中，，則錯誤；中，，則正確；中，，則正確.故選：【點睛】本題考查三角恒等變換的化簡問題，涉及到兩角和差正弦和正切公式、二倍角的正弦和余弦公式的應(yīng)用.三、填空題11．（2021·江蘇常州·高一期末）滿足等式的數(shù)組有無窮多個，試寫出一個這樣的數(shù)組___________.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】對化簡可得，則，從而可得，，進而可得答案【詳解】解：由，得，所以，所以，所以，所以，，所以可以為0，可以為，故答案為：（答案不唯一）12．（2021·江蘇常州·高一期末）______．【答案】【解析】【分析】利用兩角和與差的正弦、余弦公式即可求解.【詳解】.故答案為：13．（2021·江蘇蘇州·高一期末）若，則的值為_________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和余弦的倍角公式，準(zhǔn)確運算，即可求解.【詳解】由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和余弦的倍角公式，可得.故答案為：14．（2021·江蘇·高郵市臨澤中學(xué)高一期末）已知銳角α，β滿足（tanα–1）（tanβ–1）=2，則α+β的值為__________．【答案】【解析】【詳解】由（tanα–1）（tanβ–1）=2，可得：tanαtanβ–tanα–tanβ+1=2，∴tan（α+β）=═–1，∵銳角α，β，∴α+β∈（0，π），∴α+β=．故答案為．四、解答題15．（2021·江蘇常州·高一期末）（1）已知求的值（2）已知，且為第四象限角，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由誘導(dǎo)公式得，進而由，將所求的式子化為二次齊次式，進而得到含的式子，從而得解（2）由，結(jié)合角的范圍可得解.【詳解】（1）由，得，所以，.（2），所以，又為第四象限角，所以，所以.16．（2021·江蘇鹽城·高一期末）已知函數(shù).（1）求的最小正周期；（2）若在區(qū)間上的值域為，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用三角函數(shù)恒等變換公式對函數(shù)化簡變形得，從而可求得函數(shù)的最小正周期；（2）由，得，由于函數(shù)的值域為，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可得，從而可求出的取值范圍【詳解】（1），則，所以的最小正周期為.（2）因為，，所以要使得值域為，則只需要，解得所以的取值范圍為.17．（2021·江蘇·高一期末）已知函數(shù)．求的對稱軸所在直線方程及其對稱中心；在中，內(nèi)角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，且，，求周長的取值范圍．【答案】（1）對稱軸方程為，，對稱中心為，（2）【解析】【詳解】分析：（1）用兩角和的正弦公式展開變形，用二倍角公式和兩角和的正弦公式化函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)的形式，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)論；（2）由，求得，再由余弦定理得的等量關(guān)系，利用基本不等式和三角形中兩邊之和大于第三邊可得的取值范圍，從而得周長范圍．詳解：（1）由，∴∴的對稱軸方程為，由，∴，∴的對稱中心為，（2）∵，∴，∴，∴，得：，，∴又，∴，∴點睛：第（2）周長范圍還可用正弦定理化邊為角，利用三角函數(shù)性質(zhì)求得：解：∵，∴，∵，∴∴，∴由正弦定理得：∴，∴∵，∴∴的周長范圍為一、單選題1．（2021·江蘇·南京師大附中高一期末）對于任意的銳角，，下列不等關(guān)系中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】利用和角正弦公式結(jié)合正余函數(shù)的有界性推理可判斷A，B；取特殊角計算不等式的兩邊即可判斷C；對于D，利用余弦函數(shù)在上的單調(diào)性推理判斷作答.【詳解】因，是銳角，則，A不正確；，B不正確；令，，，而，C不正確；因，是銳角，則，而函數(shù)在上單調(diào)遞減，于是得，又，有，D正確.故選：D2．（2021·江蘇南京·高一期末）若，則實數(shù)的值為（

）A．3 B． C．2 D．4【答案】C【解析】【分析】利用三角恒等變換，化簡函數(shù)，求實數(shù)的值.【詳解】原式變形為，即，則.故選：C3．（2021·江蘇·南京師大附中高一期末）已知，，，若，則＝（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】，，利用兩角和與差的正弦拆分和，求出，由得出以及角的范圍，從而求出，再求出，結(jié)合角的范圍求出結(jié)果.【詳解】解：因為若，則，即，，則，所以，，即又，所以.故選：C4．（2021·江蘇·南京市第二十九中學(xué)高一期末）《九章算術(shù)》是我國古代著名數(shù)學(xué)經(jīng)典，其對勾股定理的論述比西方早一千多年.其中有這樣一個問題：“今有勾三步，股四步，間勾中容方幾何？”其意思為：今有直角三角形，勾（短直角邊）長3步，股（長直角邊）長為4步，問該直角三角形能容納的正方形（，，分別在邊，，上）邊長為多少？在求得正方形的邊長后，可進一步求得的正切值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由題設(shè)，令，正方形的邊長為，由相似比有求a值，再由及兩角差正切公式即可求值.【詳解】由題意知：若，設(shè)正方形的邊長為，則，解得，∵，而，，∴.故選：B5．（2021·江蘇·南京市第二十九中學(xué)高一期末）已知，，，則的最大值為（

）A． B． C．1 D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)可得，而，利用基本不等式即可求其最大值，注意等號成立的條件.【詳解】，∴由題設(shè)，，∵，，∴，且，∴當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.故選：A6．（2021·江蘇蘇州·高三期末）在平面直角坐標(biāo)系中，、是位于不同象限的任意角，它們的終邊交單位圓(圓心在坐標(biāo)原點)于A、B兩點.若A、B兩點的縱坐標(biāo)分別為正數(shù)a、b，且，則a+b的最大值為(

)A． B． C． D．不存在【答案】B【解析】【分析】用a、b表示出點A、B的坐標(biāo)，利用三角函數(shù)定義結(jié)合探求出a、b的關(guān)系再求解即得.【詳解】、是位于不同象限的任意角，依題意它們的終邊在x軸上方，不妨令為第一象限角，為第二象限角，則點，，由三角函數(shù)定義知，，而a>0，b>0，，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，所以a+b的最大值是.故選：B【點睛】基本不等式處理最值問題的三要素：“一正，二定，三相等”；不只一次涉及取等號，要確保各次取等號的條件不矛盾.二、多選題7．（2021·江蘇南通·高三期末）已知函數(shù)（，，）的最大值為，其圖象相鄰的兩條對稱軸之間的距離為，且的圖象關(guān)于點對稱，則下列結(jié)論確的定（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱B．當(dāng)時，函數(shù)的最小值為C．若，則的值為D．要得到函數(shù)的圖象，只需要將的圖象向右平移個單位【答案】BD【解析】【分析】由函數(shù)性質(zhì)求出函數(shù)解析式，然后再確定正弦函數(shù)的其他性質(zhì)判斷各選項：計算是否為最值，判斷A，確定函數(shù)在的單調(diào)性得最小值判斷B，代入函數(shù)解析式求得，再由平方關(guān)系、二倍角公式計算判斷C，由三角函數(shù)圖象變換判斷D．【詳解】由題意，，，，，又，所以，，，不是對稱軸，A錯；時，，此時遞增，，B正確；，，，C錯；將的圖象向右平移個單位得函數(shù)解析式為，D正確．故選：BD．8．（2021·江蘇南京·高一期末）關(guān)于函數(shù)的描述正確的是（

）．A．其圖象可由的圖象向左平移個單位得到B．在單調(diào)遞增C．在有2個零點D．在的最小值為【答案】ACD【解析】【分析】先根據(jù)二倍角公式、誘導(dǎo)公式及輔助角公式將函數(shù)解析式進行化簡，然后結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)分別檢驗各選項即可判斷．【詳解】解：,對選項A：的圖象向左平移個單位，得,所以選項正確；對選項B：在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，所以選項錯誤；對選項C：由得,,解得,在，上有2個零點和，所以選項正確；對選項D：由，得，所以，即的最小值，所以選項正確．故選：ACD．9．（2021·江蘇·南京市中華中學(xué)高一期末）函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（

）A．在區(qū)間上單調(diào)遞增B．的圖象關(guān)于直線對稱C．將的圖象向左平移個單位后與的圖象重合D．若，則【答案】ABD【解析】【分析】由二倍角公式、兩角和的正弦公式化函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)形式，然后結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)判斷．【詳解】，時，，此時遞增，A正確；，B正確；將的圖象向左平移個單位后得解析式，C錯誤；易知函數(shù)周期為，因此當(dāng)則，D正確．故選：ABD．三、填空題10．（2021·江蘇·海安市曲塘中學(xué)高三期末）聲音是物體振動產(chǎn)生的聲波，其中包含著正、余弦函數(shù)．若一個聲音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是________．(填序號)①是偶函數(shù)，且周期是；②在上有4個零點；③的值域為；④在上是減函數(shù)．【答案】①③【解析】【分析】利用奇偶性、周期性的定義判定①正確；利用二倍角公式得到，再通過解方程結(jié)合余弦函數(shù)的值域判定②錯誤；利用二次函數(shù)的值域、余弦函數(shù)的最值判定③正確；利用二次函數(shù)的單調(diào)性、余弦函數(shù)的單調(diào)性及值域判定④錯誤.【詳解】對于①：因為，即是偶函數(shù)，又對于，，且即的周期是，即①正確；對于②：因為，令，即，解得或（舍），則在上有2個零點，即②錯誤；對于③：因為，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，；即的值域為，即③正確；對于④：令，則，且在單調(diào)遞減，且，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在上不是單調(diào)遞減，即④錯誤.故答案為：①③.四、解答題11．（2021·江蘇南通·高一期末）已知O為坐標(biāo)原點，對于函數(shù)，稱向量為函數(shù)的伴隨向量，同時稱函數(shù)為向量的伴隨函數(shù).（1）設(shè)函數(shù)，試求的伴隨向量；（2）記向量的伴隨函數(shù)為，求當(dāng)且時的值；（3）由（1）中函數(shù)的圖象（縱坐標(biāo)不變）橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，再把整個圖象向右平移個單位長度得到的圖象，已知，，問在的圖象上是否存在一點P，使得.若存在，求出P點坐標(biāo)；若不存在，說明理由.【答案】（1）（2）（3）存在，【解析】【分析】(1)利用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式化簡函數(shù)得，根據(jù)題意寫出伴隨向量；(2)根據(jù)題意求出函數(shù)，再由及求出及，由展開代入相應(yīng)值即可得解；(3)根據(jù)三角函數(shù)圖像變換規(guī)則求出的解析式，設(shè)，由得列出方程求出滿足條件的點P的坐標(biāo)即可.【詳解】（1）∵∴∴的伴隨向量（2）向量的伴隨函數(shù)為，，，（3）由（1）知：將函數(shù)的圖像（縱坐標(biāo)不變）橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，得到函數(shù)再把整個圖像向右平移個單位長得到的圖像，得到設(shè)，∵∴，又∵，∴∴∴（*）∵，∴∴又∵∴當(dāng)且僅當(dāng)時，和同時等于，這時（*）式成立∴在的圖像上存在點，使得.【點睛】本題主要考查平面向量坐標(biāo)形式與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及三角函數(shù)誘導(dǎo)公式，三角恒等變換，求三角函數(shù)圖像變換后的解析式，向量垂直的數(shù)量積關(guān)系，屬于中檔題.12．（2021·江蘇鹽城·高一期末）已知函數(shù).（1）若對任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（2）記，存在，，使得等式成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）依題意，可得恒成立，再結(jié)合基本不等式即可得解；（2）先化簡，然后分類討論即可得出結(jié)論．【詳解】（1）∵對于任意的正實數(shù)，不等式恒成立，∴即恒成立，又由基本不等式，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以，即的取值范圍是.（2）由已知，且所以所以，若，則恒成立，故與條件矛盾；若，則，故存在，，使得，則有，即所以，解得或所以的取值范圍