高等數(shù)學(xué)第八周講義商學(xué)院

第二節(jié)：洛必達(dá)法則（導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用之一）11、g'(

x)x

x0g(

x)

g'(

x)lim

f

(

x)

lim

f

(

x)x

x0x

x0f

(x)與g(x)在(x0

)內(nèi)可導(dǎo),lim

f

(

x)

存在(或?yàn)?/p>

)0定理1.20

型不定式(洛必達(dá)法則)求不定式極限0(

在

x

,

x

之間)證:

補(bǔ)充定義

f

(

x

)

g(

x

)

0,0

0則f與g在x0處連續(xù)。則在以x,x0

為端點(diǎn)的區(qū)間上滿足柯0g(

x)

g(

x)

g(

x

)F

(

)

f

(

x)

f

(

x)

f

(

x0

)

f

(

)g'(

)x

x0西中值定理的條件,

故3g'(

)

lim

f

(

)

lim

f

(

)

x03)

lim

f

(x)x

g'(x)存在(或?yàn)?/p>

)lim

f

(x)

lim

f

(x)x

g(x)

x

g'(x)2)

X

0,當(dāng)|

x

|

X時(shí)，f(x)、g(x)可導(dǎo),04(洛必達(dá)法則)比如：0

型不定式注意：將定理1中的自變量變化方式換成：x

x

,

x

x

,

x

,

x

,

x

0

0只要將結(jié)論做相應(yīng)的修改,結(jié)論仍成立。2、

型不定式g'(x)3)

lim

f

(x)xx0存在(或?yàn)椤?g(x)f

(x)limxx0g'(x)f

(x)

limxx0(洛必達(dá)法則)定理.2)

f

(x)與g(x)在(a)內(nèi)可導(dǎo),注意：將定理1中的自變量變化方式換成：x

x

,

x

x

,

x

,

x

,

x

0

0只要將結(jié)論做相應(yīng)的修改,結(jié)論仍成立。5推論若洛必達(dá)法則的連續(xù)使用仍然是不定型，且滿足相應(yīng)條件，則6例.求解:

原式

limx0

型02x2

limx

1

x

111

x2x2

1172

1

1x

limx例.求解:

原式

lim0

型0

limx1

6x

26x

328注意:

不是不定式不能用洛必達(dá)法則!lim

6x

x1

6x

2lim

6x1

63x2

3x1

3x2

2x

1解:

型1原式

limx

nxn119x

nxn

x

lim

0例.求解:原式

0

xnxn1x

e

lim

e2

xn(n

1)xn2

limxn!x

ne

x

limlim(n

0

,

0).xnx

e

x

型n為正整數(shù).101、定理?xiàng)l件滿足，但仍然不能解決極限計(jì)算問(wèn)題.洛必達(dá)法則使用的局限11g'(x)2、

lim

f

(x)

不存在(

)時(shí),g(x)并不意味著lim

f

(x)

不存在例如,lim

x

sin

xx

xlim

1

cos

xx

1極限不存在xxlim

(1

sin

x)

112其他不定式極限的求法:000

取倒數(shù)轉(zhuǎn)化0010取對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化通分轉(zhuǎn)化000013例.求lim

xn

ln

x

(n

0).x0ln

x解:

原式

limx0

xn1

lim

x

x0

n

xn1)

014nxn lim

(x00

型

型2x2cos

x

cos

x解:

原式

lim

(xcos

x21

sin

x

)

lim

1

sin

xx2

sin

x

lim

cos

xx例.求lim

(sec

x

tan

x).15例.求1xlim

(1

x)xx0lim

xx00

型解:xx0lim

xx

ln

xx0

lim

e0

e

11xlim

(1

x)x016例.求x2

sin

xlim

tan

x

x

.x000

型洛比達(dá)法則與求極限其他方法的結(jié)合運(yùn)用17注意：使用洛比達(dá)法則時(shí)，如果分子分母求導(dǎo)比較復(fù)雜，可考慮先用等價(jià)無(wú)窮小替換后，再用洛比達(dá)法則。n18求lim

n2e

nnlim

n

n數(shù)列極限的求法課堂練習(xí)ln(1

x2

)x0

sec

xcosxxlim

(

1

)sinxx01、證明:x

(2arctan

x

arccot

x

,2、驗(yàn)證羅爾定理對(duì)函數(shù)y

ln

sin

x6

63、求下列極限：在區(qū)間

[

,

5

]

上的正確性。lim

ln

xx1

x1xasin

xsin

a

xalimx119x1nlim

x

1lim

(

1

1

)

limex

1xx0課后作業(yè)P134：7、10p138習(xí)題3-2:1、420第三節(jié)

泰勒(

Taylor

)公式21第三章一、泰勒中值定理1（帶有拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式）n0n!f

(

x

)202!f

''(

x

)0(

n

)0(x

x

)n

0

0

0...(x

x

)

P

(x)

f

(x

)

f

'(x

)(x

x

)

時(shí),有階導(dǎo)數(shù),則當(dāng)f

(x)

Pn

(x)

Rn

(x)其中：

Pn

(x)

稱為泰勒多項(xiàng)式：(n

1)

!22Rn

(x)

(x

x0

)n1f

(n1)

(

)(

在x0

與x

之間)稱為拉格朗日型余項(xiàng)。余項(xiàng)的性質(zhì)：23n

0

n

0R

(x

)

R

(x

)0(x

)

0(n)n

RPn

(x0

)

f

(x0

)Pn

''(x0

)

f

''(x0

)Pn

'(x0

)

f

'(x0

)…P

(n)

(x

)

f

(n)

(x

)n

0

0泰勒公式的作用：將任一符合一定條件的函數(shù)用多項(xiàng)式函數(shù)表示出來(lái)。f(x)的n次泰勒多項(xiàng)式與f(x)的關(guān)系：特例:(1)當(dāng)n

=0

時(shí),泰勒公式f

(x)

f

(x0

)

f

(

)(x

x0

)給出拉格朗日中值定理2

!24(x

x0

)2f

(

)(

在x0

與x

之間)(2)當(dāng)n

=1

時(shí),泰勒公式變?yōu)閒

(x)

f

(x0

)

f

(x0

)(x

x0

)

(

在x0

與x

之間)0n(

在x

與

之間)0R

((n)n

n

)(n

1)2[(n

x0

)

0]證明：Rn

0n

0(x

)

R

(x0(x

)

0(n)n)

RRn

(x)(x

x0

)n11(n

1)(

x

)nRn

(1)(n

1)[(

x

)n

-

0]1

00252

x

)n1(n

1)n(0Rn

(2

)(n

1)

!

n

R(n1)

(

)

Rn

(x)

Rn

(x0

)

(x

x

)n1

0Rn

(1

)

Rn

(x0

)n

0

R(n)

(x

)(1

在x0

與x

之間)1

之間)(2

在x0

與

Rn

(x)

f

(x)

Pn

(x)(

在x0

與x

之間)P(n1)

(x)

0,nRn

(x)

(n

1)

!26

R(n1)

(x)

f

(n1)

(x)n(

在x0

與x

之間)n1(n

1)

!Rn(x)

n

(x

x0

)R(n1)

(

)2

!f

(0)

f

(0)x

n

x

xn

!f

(0)

2

f

(n)

(0)在泰勒公式中若取

x0

0

,

x

(0

1)

,

則有2

!n27xn

!f

(x)

f

(0)

f

(0)x

f

(0)

x2

f

(n)

(0)稱為麥克勞林（

Maclaurin

）公式.由此得近似公式二、中值定理2（帶有皮亞諾(Peano)

余項(xiàng)的泰勒公式）nn

0R

(x)

[(x

x

)

]則當(dāng)28連續(xù)階導(dǎo)數(shù),且

f

(n)

(x)在[a,

b]內(nèi)時(shí),有f

(x)

Pn

(x)

Rn

(x)三、幾個(gè)初等函數(shù)的麥克勞林公式

f

(k

)

(x)

ex

,(k

1,

2,)f

(k

)

(0)

13!n

!

Rn

(x)n

xnR

(x)

(xn

)2

!2

3ex

1

x

x

x其中29ln(1

x)

x

x22

3

x3nxn

Rn

(x)其中R

(x)

n(1)n

xn1n

1

(1

x)n1(0

1)

(1)已知類似可得(1

x)k30f

(k

)

(x)

(1)k

1

(k

1)!(k

1,

2,)nR

(x)

(xn

) sin

x

x

x33! 5

!

x5(2m

2m

R

(x)其中R2m

(x)

2f

(k

)

(x)

sin(x

k

)2(k

)f

(0)

sin

k0,k

2m,

k

2m

1

(1)m1(m

1,

2,)(1)(0

1)2m1x(2m

1)

!31(1)m

cos(

x)2mR

(x)

(x2m

)(2m)!x2m類似可得2

!cos

x

1

x24

!

x42m1

R

(x)其中R2m1(x)

(1)m1

cos(

x)32(0

1)m

(1)2m2x2m1(2m

2)

!R

(x)

(x2m1

)2246420246

3!

5!

7!

9!sin

x

x

1

x3

1

x5

1

x7

1

x9

(1)n1

x2n1(2n1)!

o(x2n

)3!y

x

x33!

5!

x5y

x

x33!

5!

7!y

x

x3

x5

x7y

xsin

x泰勒多項(xiàng)式

近4333!

5!

7!

9!sin

x

x

1

x3

1

x5

1

x7

1

x9

(1)n1

x2n1(2n1)!

o(x2n

)22464202467!

9!3!

5!

x7

x9

x5y

x

x39!

11!3!

5!

7!

x9

x11

x5

x7y

x

x3泰勒多項(xiàng)式近sin

x434lim35sin

x

x

x3x0x泰勒公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用：求極限。sin

x

xx0求

limsin

3

xlim

sin

x

x

cosxx0第四節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性一、函數(shù)單調(diào)性的判定法定理1.在閉區(qū)間[a

,b]上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間(a

,b)內(nèi)可導(dǎo)則（1）如果在f(x)在開(kāi)區(qū)間(a

,b)內(nèi)，那么函數(shù)在閉區(qū)間[a

,b]上單調(diào)增加；（2）如果在f(x)在開(kāi)區(qū)間(a

,b)內(nèi)，那么函數(shù)在閉區(qū)間[a

,b]上單調(diào)減少。36任取證:由拉格朗日中值定理得0故這說(shuō)明單調(diào)遞增.37注意：定理只是充分條件，不是必要條件。比如y=x3yo38xy

x3單調(diào)的另一判斷如果函數(shù)在閉區(qū)間連續(xù)，在相應(yīng)開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且但僅在有限個(gè)點(diǎn)處，有則：函數(shù)在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增（或遞減）。39例.

求函數(shù)

的單調(diào)區(qū)間.解:

f

(x)

6x2

18x

12

6(x

1)(x

2)令

f

(x)

0

,

得

x

1,x(,

1)1(1

,

2)2(2,

)f

(x)00f

(x)21故的單調(diào)增區(qū)間為(,

1),

(2,

);的單調(diào)減區(qū)間為(1,

2).21xoy1

24032求y

(2

x

5)x

的單調(diào)區(qū)間235310(

x1)13x

3解：y'

(2x

5x

)'

x(,

0)0(0

,

1)1(1,

)f

(x)不可導(dǎo)0f

(x)0

3問(wèn)題：若函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)不變號(hào)，能得出什么結(jié)論？41二、曲線的凹凸性、拐點(diǎn)、漸近線42yox1x1

222x

x

x1、曲線的凹凸性與拐點(diǎn)yoxx2x1

x1

x2243在區(qū)間I

上連續(xù),則稱則稱定義.設(shè)函數(shù)若恒有圖形是凹的;若恒有圖形是凸的44定理1.(凹凸判定法)設(shè)函數(shù)在區(qū)間I

上有二階導(dǎo)數(shù)函數(shù)凹凸性的判定則 在

I

內(nèi)是凹的;則 在

I

內(nèi)是凸的.yox在I

內(nèi)在I

內(nèi)yox45的凹凸性.例.

判斷曲線解:

y

4x3

,故曲線在上是凹的xyo個(gè)別點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)值等于0不影響凹凸性。也是凹的。46ox拐點(diǎn)

連續(xù)曲線上的凹凸性分界點(diǎn)稱為拐點(diǎn).yx047問(wèn)題：哪些點(diǎn)可能是拐點(diǎn)呢？可能成為拐點(diǎn)的點(diǎn)：二階導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)或二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)。例.求曲線的拐點(diǎn).3

2解:

y

1

x3953

,

y

2

xyyx

(,0)

0(0,

)不存在0因此點(diǎn)(0,0)為曲線的拐點(diǎn).凹48凸493

36x(x

2)的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn).例.求曲線解:1)求yy

12x3

12x2

,2)求可能成為拐點(diǎn)的坐標(biāo)令y

0

得x1

0,x2

2

,對(duì)應(yīng)y1

1,y2

113

273)列表判別(,0)3(0,

2)(2

,

)x

023

3y

y01011273故該曲線在(,0)及(2

,

)上凹,凸,3

27點(diǎn)(0,1)及(2

,11)均為拐點(diǎn).3在(0,2)上凹凹凸例.

求曲線x5

的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn).y

(

x

1)3令

y

0

得411x

3)列表判別(,0)4(0

,

1

)4(

1

,)x

014y

y不存在003故該曲線在(,0)14( ,

)及凸,點(diǎn)(0,0)及323

2504(

1

,

)3均為拐點(diǎn).4在(0,1

)上凹凹凸

323

2上凹,解:1）

y

8

x5/

3

5

x2/

3

,3

32)求可能成為拐點(diǎn)的點(diǎn)的坐標(biāo)x=0時(shí)，函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)不存在。2、曲線的漸近線51第三章曲線的漸近線x52o定義.若曲線C上的點(diǎn)M在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中與某一直線L

的距離趨于0,則稱直線L

為曲線C的漸近線.yy

f

(x)Cy

ax

bL例如,雙曲線有漸近線x

y

0a

bxyo53（1）.

水平與垂直漸近線若有水平漸近線則曲線y

x(或

lim

f

(

x)

b)若則曲線有垂直漸近線x

x0

.540x

x(或

lim

f

(

x)

)垂直漸近線只能在無(wú)窮間斷點(diǎn)處取。例.求曲線的水平與垂直漸近線.x

x

11解:

lim

(

2)

2

y

2為水平漸近線;x1

x

1

lim(

1

2)

,

x

1為垂直漸近線.2155xf

(

x)xa

limb

lim

[

f

(

x)

ax]x(或x

)(或x

)Ly

ax

bM（2）.斜漸近線yoCP

Nx56例.求曲線的漸近線.,x3(x

3)(x

1)解:

y

lim

y

,x3(或x

1)所以有垂直漸近線x

3

及x

1又因

f

(

x)

xxa

lim

limx2x

x2

2x

3lim2b

lim[

f

(x)

x]

x

2x

3

2x2

3xx

x

y

x

2為曲線的斜漸近線.

3571y

x

258第五節(jié)、函數(shù)的極值與最大值最小值第三章函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)（駐點(diǎn)）59函數(shù)導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)稱為函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)或駐點(diǎn)。f

'(

x)

01、函數(shù)的極值及其求法60極值的定義:0設(shè)函數(shù)y

f

(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)有定義，若對(duì)一切x

U

(x0

),

有f

(x)

f

(x0（) f

(x)

f

(x0

)則稱函數(shù)f

(x)在x0處取得極大值(極小值），稱x0是函數(shù)的極大值（極小值）點(diǎn)。極大值和極小值統(tǒng)稱為極值。極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)。14xx2

x35xxbo

a

xy為極大值點(diǎn),是極大值為極小值點(diǎn),是極小值xoy211

2612、極值的判定62定理1（極值的必要條件）：若函數(shù)f(x)在x0可導(dǎo)，并且在x0處取得極值，則0f

'

(x

)

0證明由費(fèi)馬引理直接得。結(jié)論：可導(dǎo)的極值點(diǎn)是穩(wěn)定點(diǎn)（駐點(diǎn)）定理2

(極值第一充分條件)630'0

00'0

0'000x

處取得極大值。x

處取得極小值。當(dāng)x

(x

,

x

＋當(dāng)x

(x

,

x

＋時(shí)，f

(x)

0,（1）若當(dāng)x

(x

)時(shí)，f

(x)

0,則f

(x)在（2）若當(dāng)x

(x0

,

x0

)時(shí)，f

(x)

0,'

)時(shí)，f

(x)

0,則f

(x)在

,

x

)設(shè)函數(shù)f

(x)在x0

的某空心鄰域U

(x0

,

)內(nèi)可導(dǎo),在x0處連續(xù)，結(jié)論1：?jiǎn)握{(diào)函數(shù)必?zé)o極值。64結(jié)論2：若函數(shù)在（a,b）連續(xù)，且取得最值，則最值必為極值。極值點(diǎn)可能會(huì)是那些點(diǎn)？函數(shù)可能的極值點(diǎn)：穩(wěn)定點(diǎn)、不可導(dǎo)的點(diǎn)。65例.求函數(shù)解:1)求導(dǎo)數(shù)32103f

(x)

x

310的極值.

1x33

x3

10

x12)

令

f

(x)

0

,得函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)為1x

1;xf

(x)f

(x)0100

3(,

0)(0

,

1)(1,

)是極大值點(diǎn)，極大值為是極小值點(diǎn)，極小值為函數(shù)的不可導(dǎo)的點(diǎn)為x=0

3)

列表判別

66定理3

(極值第二充分條件)67x

x0xx0證:(1)f

(x0

)