曲線的凹凸性與拐點正規(guī)版資料

曲線(qūxiàn)的凹凸性與拐點第一頁，共12頁。觀察(guānchá)以下兩圖的特點：一、曲線的凹凸(āotū)性與拐點第二頁，共12頁。１.曲線凹凸(āotū)性的定義定義2.6假設在某區(qū)間(a,b)內曲線段總位于其上任意一點處切線(qiēxiàn)的上方，那么稱該曲線段在(a,b)內是凹的,(a,b)為曲線的凹區(qū)間；假設曲線段總位于其上任一點處切線(qiēxiàn)的下方，那么稱該曲線段在(a,b)內是凸的,(a,b)為曲線的凸區(qū)間.第三頁，共12頁。在我們(wǒmen)不知道曲線形狀的時候,用曲線凹凸性的定義判斷曲線的凹凸性顯然是不可能的,如何方便地判斷曲線的凹凸性呢?2.曲線(qūxiàn)凹凸性的判定上圖可見(kějiàn)：切線斜率k↗

凹曲線第四頁，共12頁。上圖可見(kějiàn)：凸曲線(qūxiàn)切線(qiēxiàn)斜率k↘第五頁，共12頁。解(1)函數的定義域為12設函數y=f(x)在區(qū)間(qūjiān)(a,b)內的二階導數曲線(qūxiàn)的凹凸性與拐點上圖可見(kějiàn)：解(1)函數的定義域為(2)求出f“(x)，找出定義域內使f〞(x)=0的點和f“(x)不存在(cúnzài)內是凸的。線在各個子區(qū)間上的凹凸性,最后確定拐點.的凹凸區(qū)間(qūjiān)及拐點．(2)求出f“(x)，找出定義域內使f〞(x)=0的點和f“(x)不存在(cúnzài)在我們(wǒmen)不知道曲線形狀的時候,用曲線凹凸性的定義判斷曲線的凹凸性顯然是不可能的,如何方便地判斷曲線的凹凸性呢?曲線(qūxiàn)的凹凸性與拐點內是凹的；線在各個子區(qū)間上的凹凸性,最后確定拐點.上圖可見(kějiàn)：凹凸區(qū)間分界點〔拐點〕定理2.12設函數y=f(x)在區(qū)間(qūjiān)(a,b)內的二階導數存在(1)假設(jiǎshè)在(a,b)內f(x)>0,那么曲線y=f(x)在區(qū)間(a,b)內是凹的；(2)假設在(a,b)內f(x)<0,那么曲線(qūxiàn)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內是凸的。第六頁，共12頁。

例1解注意(zhùyì)到：第七頁，共12頁。注意(zhùyì)：拐點一定在曲線上。怎樣判斷曲線(qūxiàn)的拐點呢？定義2.7連續(xù)曲線y=f(x)上凹弧與凸弧的分界點稱為(chēnɡwéi)曲線的拐點.函數凹凸性凹凸區(qū)間凹凸區(qū)間分界點〔拐點〕第八頁，共12頁。拐點(ɡuǎidiǎn)凹凸(āotū)性分界點切線(qiēxiàn)斜率k↗凸曲線

切線斜率k↘凹曲線前已述及:所以:凸曲線

凹曲線但反向不一定成立第九頁，共12頁。切線(qiēxiàn)斜率k↘觀察(guānchá)以下兩圖的特點：曲線(qūxiàn)凹凸性的判定上圖可見(kějiàn)：曲線(qūxiàn)的凹凸性與拐點上圖可見(kějiàn)：一、曲線的凹凸(āotū)性與拐點注意(zhùyì)：拐點一定在曲線上。(1)求函數y=f(x)的定義域;曲線(qūxiàn)的凹凸性與拐點線在各個子區(qū)間上的凹凸性,最后確定拐點.7連續(xù)曲線y=f(x)上凹弧與凸弧的分界點(3)用上述各點按照從小到大的順序依次將定義域分成假設(jiǎshè)干曲線(qūxiàn)的凹凸性與拐點曲線(qūxiàn)的凹凸性與拐點曲線(qūxiàn)的凹凸性與拐點據以上分析總結出曲線凹凸(āotū)區(qū)間與拐點的判定步驟:(1)求函數y=f(x)的定義域;(2)求出f“(x)，找出定義域內使f〞(x)=0的點和f“(x)不存在(cúnzài)的點；(3)用上述各點按照從小到大的順序依次將定義域分成假設(jiǎshè)干個小區(qū)間，考察每個小區(qū)間上f“(x)的符號；從而判斷曲線在各個子區(qū)間上的凹凸性,最后確定拐點.第十頁，共12頁。例2求曲線(qūxiàn)的凹凸區(qū)間(qūjiān)及拐點．(2)(3)列表考察函數的凹凸(āotū)區(qū)間及拐點:解

(1)函數的定義域為凹拐點〔2，–17〕凸拐點(０，–５)凹f(x)＋0－0＋f"(x)(2,+∞)2(0