教學(xué)第三章冪級(jí)數(shù)展開課件

1第三章冪級(jí)數(shù)展開第一節(jié)復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)第二節(jié)冪級(jí)數(shù)第三節(jié)Taylor級(jí)數(shù)表示第四節(jié)解析延拓第五節(jié)Laurent級(jí)數(shù)表示第六節(jié)孤立奇點(diǎn)的分類1第三章冪級(jí)數(shù)展開第一節(jié)復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)12第一節(jié)復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)概念形如的表達(dá)式被稱為復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，其中wn是復(fù)數(shù)。收斂與發(fā)散若的前n項(xiàng)和有極限(n→∞),則稱該級(jí)數(shù)收斂，且稱此極限值為該無窮級(jí)數(shù)的和；否則稱為發(fā)散。2第一節(jié)復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)概念形如23收斂的充分必要條件設(shè)，則級(jí)數(shù)收斂的充分必要條件是和都收斂，其中un和vn皆為實(shí)數(shù)。絕對(duì)收斂與條件收斂稱級(jí)數(shù)是絕對(duì)收斂的，如果是收斂的稱級(jí)數(shù)是條件收斂的，如果是發(fā)散的，而是收斂的3收斂的充分必要條件設(shè)34舉例考察級(jí)數(shù)的斂散性考察級(jí)數(shù)的斂散性考察級(jí)數(shù)的斂散性4舉例考察級(jí)數(shù)的斂散性考察級(jí)數(shù)45復(fù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)概念收斂與發(fā)散形如的表達(dá)式被稱為復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，其中wn(z)是復(fù)變函數(shù)。點(diǎn)收斂：域收斂：收斂稱之收斂，z∈B，稱之5復(fù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)概念收斂與發(fā)散形如56收斂的充分必要條件級(jí)數(shù)收斂的充分必要條件是和都收斂，其中對(duì)于，如果

ε

>0，N(ε,z)，當(dāng)n>N(ε,z)時(shí)，有

其中p為任意正數(shù)若與z無關(guān)則稱一致收斂柯西收斂判據(jù)6收斂的充分必要條件級(jí)數(shù)收斂的充分67性質(zhì)連續(xù)性級(jí)數(shù)在B內(nèi)一致收斂，且wn(z)連續(xù)，則該級(jí)數(shù)在B內(nèi)連續(xù)可積性級(jí)數(shù)在C上一致收斂，且wn(z)在C上連續(xù)，則解析性級(jí)數(shù)在B內(nèi)一致收斂于f(z)，且wn(z)在B內(nèi)解析，則f(z)在B內(nèi)解析，且7性質(zhì)連續(xù)性級(jí)數(shù)在B內(nèi)一致收斂，且78第二節(jié)冪級(jí)數(shù)概念收斂半徑與收斂圓形如的級(jí)數(shù)被稱為以z0為中心的冪級(jí)數(shù)，其中an是復(fù)常數(shù)。若存在正數(shù)R，使得當(dāng)|z-z0|<R時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；而得當(dāng)|z-z0|>R時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散，則稱R為級(jí)數(shù)的收斂半徑，其中|z-z0|<R被稱為收斂圓。8第二節(jié)冪級(jí)數(shù)概念收斂半徑與收斂圓形如89收斂半徑的求法D'Alembert公式Cauchy(根式)公式9收斂半徑的求法D'Alembert公式Cauchy(根式910舉例求級(jí)數(shù)的斂散半徑及收斂圓10舉例求級(jí)數(shù)的斂散半徑及收斂圓1011求級(jí)數(shù)的斂散半徑收斂圓11求級(jí)數(shù)的斂散半徑收斂圓1112內(nèi)閉一致收斂冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)在收斂園內(nèi)冪級(jí)數(shù)具有連續(xù)性、可積性和解析性冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)內(nèi)閉一致收斂12內(nèi)閉一致收斂冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)在收斂園內(nèi)冪級(jí)數(shù)具有連續(xù)性、可積1213可積性13可積性1314第三節(jié)Taylor級(jí)數(shù)展開14第三節(jié)Taylor級(jí)數(shù)展開1415Taylor定理設(shè)函數(shù)f(z)以z0為圓心的圓周CR內(nèi)解析，則對(duì)于圓內(nèi)任一點(diǎn)z，函數(shù)f(z)可寫成z0zCRCR'RR'15Taylor定理設(shè)函數(shù)f(z)以z0為圓心的圓周CR內(nèi)1516161617舉例函數(shù)f(z)=ez在z=0點(diǎn)的Taylor級(jí)數(shù)展開17舉例函數(shù)f(z)=ez在z=0點(diǎn)的Taylor級(jí)數(shù)展1718函數(shù)f(z)=sinz和f(z)=cosz

在z=0點(diǎn)的Taylor級(jí)數(shù)展開18函數(shù)f(z)=sinz和f(z)=cosz在z=1819函數(shù)f(z)=Lnz

在z=1點(diǎn)的Taylor級(jí)數(shù)展開函數(shù)f(z)=(1+z)n在z=0點(diǎn)的Taylor級(jí)數(shù)展開19函數(shù)f(z)=Lnz在z=1點(diǎn)的Taylor級(jí)數(shù)展1920解析函數(shù)的一個(gè)等價(jià)命題函數(shù)f(z)在B內(nèi)解析的充分必要條件為f(z)在B內(nèi)任一點(diǎn)的鄰域內(nèi)可展成冪級(jí)數(shù)20解析函數(shù)的一個(gè)等價(jià)命題函數(shù)f(z)在B內(nèi)解析的充分必要2021展成冪級(jí)數(shù)的幾種方法直接方法間接方法函數(shù)f(z)=arctanz

在z=0點(diǎn)的Taylor級(jí)數(shù)展開函數(shù)f(z)=sinz

在z=0點(diǎn)的Taylor級(jí)數(shù)展開函數(shù)f(z)=1/(1-z)2

在z=0點(diǎn)的Taylor級(jí)數(shù)展開待定系數(shù)法函數(shù)f(z)=tanz

在z=0點(diǎn)的Taylor級(jí)數(shù)展開21展成冪級(jí)數(shù)的幾種方法直接方法間接方法函數(shù)f(z)=ar2122第四節(jié)解析延拓解析延拓：已給某個(gè)區(qū)域b上的解析函數(shù)f(z),能否找到另一個(gè)函數(shù)F(z),它在含有區(qū)域b的一個(gè)較大的區(qū)域B上是解析函數(shù)，而且在區(qū)域b上等同于f(z)。簡單地說，解析延拓就是解析函數(shù)定義域的擴(kuò)大！22第四節(jié)解析延拓解析延拓：已給某個(gè)區(qū)域b上的解析函數(shù)f(2223原則上講，解析延拓都可以利用泰勒級(jí)數(shù)進(jìn)行。具體地說，選取區(qū)域b的任一內(nèi)點(diǎn)z0，在z0的領(lǐng)域上把解析函數(shù)f(z)展開為泰勒級(jí)數(shù)，如果這個(gè)泰勒級(jí)數(shù)的收斂圓有一部分超出b之外，解析函數(shù)f(z)的定義域就擴(kuò)大了一步。這樣一步又一步，定義域逐步擴(kuò)大。解析延拓是唯一的！

23原則上講，解析延拓都可以利用泰勒級(jí)數(shù)進(jìn)行。具體地說，選取2324第五節(jié)Laurent級(jí)數(shù)表示問題的提出已知結(jié)果：當(dāng)f(z)在圓|z-z0|<R內(nèi)解析，Taylor定理告訴我們，f(z)必可展開成冪級(jí)數(shù)。問題是：當(dāng)f(z)在圓|z-z0|<R內(nèi)有奇點(diǎn)時(shí)，能否展開成冪級(jí)數(shù)或展開成類似于冪級(jí)數(shù)的形式。24第五節(jié)Laurent級(jí)數(shù)表示問題的提出已知結(jié)果：當(dāng)f2425雙邊冪級(jí)數(shù)其中被稱為雙邊冪級(jí)數(shù)的正冪部分被稱為雙邊冪級(jí)數(shù)的負(fù)冪部分25雙邊冪級(jí)數(shù)其中被稱為雙邊冪級(jí)數(shù)的正冪部分被稱為雙邊冪級(jí)數(shù)2526收斂環(huán)的確定設(shè)正冪部分的收斂半徑為R1；而負(fù)冪部分在變換ζ=1/(z-z0)下的級(jí)數(shù)的收斂半徑為1/R2

，則其在|z-z0|>R2外收斂。如果R2<R1，那么雙邊冪級(jí)數(shù)就在環(huán)狀域R2<|z-z0|<R1內(nèi)收斂，所以R2<|z-z0|<R1給出了雙邊冪級(jí)數(shù)的環(huán)狀收斂域，稱為收斂環(huán)。雙邊冪級(jí)數(shù)在收斂環(huán)內(nèi)絕對(duì)一致收斂。26收斂環(huán)的確定設(shè)正冪部分的收斂半徑為R1；而負(fù)冪部分在變換2627正冪部分負(fù)冪部分R1z0|z-z0|<R1R2z0R2<|z-z0|R2R1z0收斂環(huán)R2<|z-z0|<R127正冪部分負(fù)冪部分R1z0|z-z0|<R1R2z0R2<2728雙邊冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)R2R1z0B定理設(shè)雙邊冪級(jí)數(shù)的收斂環(huán)B為R2<|z-z0|<R1，則(1)在B內(nèi)連續(xù)；(2)在B內(nèi)解析，且于B內(nèi)可逐項(xiàng)可導(dǎo)；(3)在B內(nèi)可逐項(xiàng)積分。28雙邊冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)R2R1z0B定理設(shè)雙邊冪級(jí)數(shù)2829Laurent定理設(shè)函數(shù)f(z)在環(huán)狀域R2<|z-z0|<R1

的內(nèi)部單值解析，則對(duì)于環(huán)內(nèi)任一點(diǎn)z，f(z)可展開成zCR1CR2R2R1z0C29Laurent定理設(shè)函數(shù)f(z)在環(huán)狀域R2<|z2930(3)Laurent級(jí)數(shù)中的z0點(diǎn)可能是f(z)的奇點(diǎn)，也可能不是f(z)的奇點(diǎn)說明(2)Laurent級(jí)數(shù)展開的唯一性(1)與泰勒展開系數(shù)不同(4)與泰勒級(jí)數(shù)定理不一樣，我們一般不利用洛朗級(jí)數(shù)定理計(jì)算洛朗級(jí)數(shù)展開怎么樣求解洛朗級(jí)數(shù)展開呢？30(3)Laurent級(jí)數(shù)中的z0點(diǎn)可能是f(z)的奇點(diǎn)3031例1在z0=0的鄰域上把(sinz)/z展開解：函數(shù)f(z)=(sinz)/z在z0=0點(diǎn)沒有定義，z0=0為奇點(diǎn)。為避開奇點(diǎn)，從復(fù)數(shù)平面挖去原點(diǎn).已知在挖去原點(diǎn)的復(fù)平面上用z遍除sinz即得

定義f(z)解析延拓31例1在z0=0的鄰域上把(sinz)/z展開解：函數(shù)3132函數(shù)f(z)=1/(1-z2)

分別在1<|z|<∞

和0<|z-1|<2內(nèi)的Laurent級(jí)數(shù)展開11-11<|z|<∞例2中心為z=0，因此是要將f(z)展開成z的冪級(jí)數(shù)的定義域是（1）1<|z|<∞32函數(shù)f(z)=1/(1-z2)分別在1<|z|<∞323321-10<|z-1|<2中心為z=1，因此是要將f(z)展開成(z－1)的冪級(jí)數(shù)?負(fù)冪項(xiàng)（2）0<|z-1|<23321-10<|z-1|<2中心為z=1，因此是要將f(z3334在z=0的鄰域上把f(z)=e1/z

展開例3將z全換成1/z即得即已知34在z=0的鄰域上把f(z)=e1/z展開例3將z全換3435洛朗級(jí)數(shù)求解總結(jié)35洛朗級(jí)數(shù)求解總結(jié)3536第六節(jié)孤立奇點(diǎn)的分類概念若函數(shù)f(z)在某點(diǎn)z0在不可導(dǎo)，而在z0的任意鄰域內(nèi)除z0外連續(xù)可導(dǎo)，則稱z0為f(z)的孤立奇點(diǎn)；若在z0的無論多小的鄰域內(nèi)總可以找到z0以外的不可導(dǎo)點(diǎn)，則稱z0為f(z)的非孤立奇點(diǎn)。舉例孤立奇點(diǎn)的例子非孤立奇點(diǎn)的例子36第六節(jié)孤立奇點(diǎn)的分類概念若函數(shù)f(z)在某點(diǎn)z0在3637孤立奇點(diǎn)的Laurent級(jí)數(shù)展開在區(qū)域0<|z-z0|<R

內(nèi)的單值解析函數(shù)f(z)可展開成其中正冪部分是該級(jí)數(shù)的解析部分是該級(jí)數(shù)的主要部分負(fù)冪部分這里a-1具有特殊的作用，被稱為f(z)在點(diǎn)z=z0處的留數(shù)37孤立奇點(diǎn)的Laurent級(jí)數(shù)展開在區(qū)域0<|z-z0|3738孤立奇點(diǎn)的分類主要部分不存在即沒有負(fù)冪項(xiàng)主要部分有m項(xiàng)即有m項(xiàng)負(fù)冪項(xiàng)主要部分有無窮多項(xiàng)即有無窮多項(xiàng)負(fù)冪項(xiàng)可去奇點(diǎn)：m階極點(diǎn)：本性奇點(diǎn)：38孤立奇點(diǎn)的分類主要部分不存在即沒有負(fù)冪項(xiàng)主要部分有m項(xiàng)即3839孤立奇點(diǎn)的等價(jià)命題39孤立奇點(diǎn)的等價(jià)命題3940舉例求下列函數(shù)的孤立奇點(diǎn)，并指出類型40舉例求下列函數(shù)的孤立奇點(diǎn)，并指出類型4041第三章冪級(jí)數(shù)展開第一節(jié)復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)第二節(jié)冪級(jí)數(shù)第三節(jié)Taylor級(jí)數(shù)表示第四節(jié)解析延拓第五節(jié)Laurent級(jí)數(shù)表示第六節(jié)孤立奇點(diǎn)的分類1第三章冪級(jí)數(shù)展開第一節(jié)復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)4142第一節(jié)復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)概念形如的表達(dá)式被稱為復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，其中wn是復(fù)數(shù)。收斂與發(fā)散若的前n項(xiàng)和有極限(n→∞),則稱該級(jí)數(shù)收斂，且稱此極限值為該無窮級(jí)數(shù)的和；否則稱為發(fā)散。2第一節(jié)復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)概念形如4243收斂的充分必要條件設(shè)，則級(jí)數(shù)收斂的充分必要條件是和都收斂，其中un和vn皆為實(shí)數(shù)。絕對(duì)收斂與條件收斂稱級(jí)數(shù)是絕對(duì)收斂的，如果是收斂的稱級(jí)數(shù)是條件收斂的，如果是發(fā)散的，而是收斂的3收斂的充分必要條件設(shè)4344舉例考察級(jí)數(shù)的斂散性考察級(jí)數(shù)的斂散性考察級(jí)數(shù)的斂散性4舉例考察級(jí)數(shù)的斂散性考察級(jí)數(shù)4445復(fù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)概念收斂與發(fā)散形如的表達(dá)式被稱為復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，其中wn(z)是復(fù)變函數(shù)。點(diǎn)收斂：域收斂：收斂稱之收斂，z∈B，稱之5復(fù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)概念收斂與發(fā)散形如4546收斂的充分必要條件級(jí)數(shù)收斂的充分必要條件是和都收斂，其中對(duì)于，如果

ε

>0，N(ε,z)，當(dāng)n>N(ε,z)時(shí)，有

其中p為任意正數(shù)若與z無關(guān)則稱一致收斂柯西收斂判據(jù)6收斂的充分必要條件級(jí)數(shù)收斂的充分4647性質(zhì)連續(xù)性級(jí)數(shù)在B內(nèi)一致收斂，且wn(z)連續(xù)，則該級(jí)數(shù)在B內(nèi)連續(xù)可積性級(jí)數(shù)在C上一致收斂，且wn(z)在C上連續(xù)，則解析性級(jí)數(shù)在B內(nèi)一致收斂于f(z)，且wn(z)在B內(nèi)解析，則f(z)在B內(nèi)解析，且7性質(zhì)連續(xù)性級(jí)數(shù)在B內(nèi)一致收斂，且4748第二節(jié)冪級(jí)數(shù)概念收斂半徑與收斂圓形如的級(jí)數(shù)被稱為以z0為中心的冪級(jí)數(shù)，其中an是復(fù)常數(shù)。若存在正數(shù)R，使得當(dāng)|z-z0|<R時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；而得當(dāng)|z-z0|>R時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散，則稱R為級(jí)數(shù)的收斂半徑，其中|z-z0|<R被稱為收斂圓。8第二節(jié)冪級(jí)數(shù)概念收斂半徑與收斂圓形如4849收斂半徑的求法D'Alembert公式Cauchy(根式)公式9收斂半徑的求法D'Alembert公式Cauchy(根式4950舉例求級(jí)數(shù)的斂散半徑及收斂圓10舉例求級(jí)數(shù)的斂散半徑及收斂圓5051求級(jí)數(shù)的斂散半徑收斂圓11求級(jí)數(shù)的斂散半徑收斂圓5152內(nèi)閉一致收斂冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)在收斂園內(nèi)冪級(jí)數(shù)具有連續(xù)性、可積性和解析性冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)內(nèi)閉一致收斂12內(nèi)閉一致收斂冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)在收斂園內(nèi)冪級(jí)數(shù)具有連續(xù)性、可積5253可積性13可積性5354第三節(jié)Taylor級(jí)數(shù)展開14第三節(jié)Taylor級(jí)數(shù)展開5455Taylor定理設(shè)函數(shù)f(z)以z0為圓心的圓周CR內(nèi)解析，則對(duì)于圓內(nèi)任一點(diǎn)z，函數(shù)f(z)可寫成z0zCRCR'RR'15Taylor定理設(shè)函數(shù)f(z)以z0為圓心的圓周CR內(nèi)5556165657舉例函數(shù)f(z)=ez在z=0點(diǎn)的Taylor級(jí)數(shù)展開17舉例函數(shù)f(z)=ez在z=0點(diǎn)的Taylor級(jí)數(shù)展5758函數(shù)f(z)=sinz和f(z)=cosz

在z=0點(diǎn)的Taylor級(jí)數(shù)展開18函數(shù)f(z)=sinz和f(z)=cosz在z=5859函數(shù)f(z)=Lnz

在z=1點(diǎn)的Taylor級(jí)數(shù)展開函數(shù)f(z)=(1+z)n在z=0點(diǎn)的Taylor級(jí)數(shù)展開19函數(shù)f(z)=Lnz在z=1點(diǎn)的Taylor級(jí)數(shù)展5960解析函數(shù)的一個(gè)等價(jià)命題函數(shù)f(z)在B內(nèi)解析的充分必要條件為f(z)在B內(nèi)任一點(diǎn)的鄰域內(nèi)可展成冪級(jí)數(shù)20解析函數(shù)的一個(gè)等價(jià)命題函數(shù)f(z)在B內(nèi)解析的充分必要6061展成冪級(jí)數(shù)的幾種方法直接方法間接方法函數(shù)f(z)=arctanz

在z=0點(diǎn)的Taylor級(jí)數(shù)展開函數(shù)f(z)=sinz

在z=0點(diǎn)的Taylor級(jí)數(shù)展開函數(shù)f(z)=1/(1-z)2

在z=0點(diǎn)的Taylor級(jí)數(shù)展開待定系數(shù)法函數(shù)f(z)=tanz

在z=0點(diǎn)的Taylor級(jí)數(shù)展開21展成冪級(jí)數(shù)的幾種方法直接方法間接方法函數(shù)f(z)=ar6162第四節(jié)解析延拓解析延拓：已給某個(gè)區(qū)域b上的解析函數(shù)f(z),能否找到另一個(gè)函數(shù)F(z),它在含有區(qū)域b的一個(gè)較大的區(qū)域B上是解析函數(shù)，而且在區(qū)域b上等同于f(z)。簡單地說，解析延拓就是解析函數(shù)定義域的擴(kuò)大！22第四節(jié)解析延拓解析延拓：已給某個(gè)區(qū)域b上的解析函數(shù)f(6263原則上講，解析延拓都可以利用泰勒級(jí)數(shù)進(jìn)行。具體地說，選取區(qū)域b的任一內(nèi)點(diǎn)z0，在z0的領(lǐng)域上把解析函數(shù)f(z)展開為泰勒級(jí)數(shù)，如果這個(gè)泰勒級(jí)數(shù)的收斂圓有一部分超出b之外，解析函數(shù)f(z)的定義域就擴(kuò)大了一步。這樣一步又一步，定義域逐步擴(kuò)大。解析延拓是唯一的！

23原則上講，解析延拓都可以利用泰勒級(jí)數(shù)進(jìn)行。具體地說，選取6364第五節(jié)Laurent級(jí)數(shù)表示問題的提出已知結(jié)果：當(dāng)f(z)在圓|z-z0|<R內(nèi)解析，Taylor定理告訴我們，f(z)必可展開成冪級(jí)數(shù)。問題是：當(dāng)f(z)在圓|z-z0|<R內(nèi)有奇點(diǎn)時(shí)，能否展開成冪級(jí)數(shù)或展開成類似于冪級(jí)數(shù)的形式。24第五節(jié)Laurent級(jí)數(shù)表示問題的提出已知結(jié)果：當(dāng)f6465雙邊冪級(jí)數(shù)其中被稱為雙邊冪級(jí)數(shù)的正冪部分被稱為雙邊冪級(jí)數(shù)的負(fù)冪部分25雙邊冪級(jí)數(shù)其中被稱為雙邊冪級(jí)數(shù)的正冪部分被稱為雙邊冪級(jí)數(shù)6566收斂環(huán)的確定設(shè)正冪部分的收斂半徑為R1；而負(fù)冪部分在變換ζ=1/(z-z0)下的級(jí)數(shù)的收斂半徑為1/R2

，則其在|z-z0|>R2外收斂。如果R2<R1，那么雙邊冪級(jí)數(shù)就在環(huán)狀域R2<|z-z0|<R1內(nèi)收斂，所以R2<|z-z0|<R1給出了雙邊冪級(jí)數(shù)的環(huán)狀收斂域，稱為收斂環(huán)。雙邊冪級(jí)數(shù)在收斂環(huán)內(nèi)絕對(duì)一致收斂。26收斂環(huán)的確定設(shè)正冪部分的收斂半徑為R1；而負(fù)冪部分在變換6667正冪部分負(fù)冪部分R1z0|z-z0|<R1R2z0R2<|z-z0|R2R1z0收斂環(huán)R2<|z-z0|<R127正冪部分負(fù)冪部分R1z0|z-z0|<R1R2z0R2<6768雙邊冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)R2R1z0B定理設(shè)雙邊冪級(jí)數(shù)的收斂環(huán)B為R2<|z-z0|<R1，則(1)在B內(nèi)連續(xù)；(2)在B內(nèi)解析，且于B內(nèi)可逐項(xiàng)可導(dǎo)；(3)在B內(nèi)可逐項(xiàng)積分。28雙邊冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)R2R1z0B定理設(shè)雙邊冪級(jí)數(shù)6869Laurent定理設(shè)函數(shù)f(z)在環(huán)狀域R2<|z-z0|<R1

的內(nèi)部單值解析，則對(duì)于環(huán)內(nèi)任一點(diǎn)z，f(z)可展開成zCR1CR2R2R1z0C29Laurent定理設(shè)函數(shù)f(z)在環(huán)狀域R2<|z6970(3)Laurent級(jí)數(shù)中的z0點(diǎn)可能是f(z)的奇點(diǎn)，也可能不是f(z)的奇點(diǎn)說明(2)Laurent級(jí)數(shù)展開的唯一性(1)與泰勒展開系數(shù)不同(4)與泰勒級(jí)數(shù)定理不一樣，我們一般不利用洛朗級(jí)數(shù)定理計(jì)算洛朗級(jí)數(shù)展開怎么樣求解洛朗級(jí)數(shù)展開呢？30(3)Laurent級(jí)數(shù)中的z0點(diǎn)可能是f(z)的奇點(diǎn)7071例1在z0=0的鄰域上把(sinz)/z展開解：函數(shù)f(z)=(sinz)/z在z0=0點(diǎn)沒有定義，z0=0為奇點(diǎn)。為避開奇點(diǎn)，從復(fù)數(shù)平面挖去原點(diǎn).已知在挖去原點(diǎn)的復(fù)平面上用z遍除si