幾何與代數(shù)復(fù)習(xí)前四章

如何復(fù)習(xí)幾何與代數(shù)（前四章）交通大學(xué)數(shù)學(xué)系課程的主要內(nèi)容（前四章復(fù)習(xí)）3、4階行列式基本計(jì)算n階行列式性質(zhì)與計(jì)算代數(shù)

式與伴隨矩陣矩

性乘法轉(zhuǎn)置運(yùn)算方陣逆矩陣的計(jì)算方法初等行變換與矩陣的秩內(nèi)積、外積、混合積模、夾角與幾何性質(zhì)平面方程的二種形式直線方程的三種形式點(diǎn)、線、面之間關(guān)系線性表示、線性無關(guān)求解極大無關(guān)組問題向量、組、組間關(guān)系線性方

解的結(jié)構(gòu)空間三平面位置關(guān)系主要以方陣為主期末考試的形式填空題（24分，8個小題）基礎(chǔ)知識、基本概念、基本性質(zhì)、基本定理的簡單應(yīng)用。計(jì)算題（46分，7個小題）以上提出15個知識點(diǎn)的運(yùn)用、計(jì)算以及方法應(yīng)用。證明題（10分，1個小題）重點(diǎn)或關(guān)鍵定理以及類似知識點(diǎn)的證明?？荚嚨膬?nèi)容基礎(chǔ)部分（約70

分）書中例題、習(xí)題原題或稍加修改；基本概念、性質(zhì)、定理的簡單應(yīng)用。提高部分（約20

分）基本概念、基本方法的運(yùn)用。能力部分（約10

分）重點(diǎn)或關(guān)鍵知識點(diǎn)的綜合運(yùn)用。4

91

1

1x2求解方程

2

3

x

0.例解

方程左端D

3

x2

4

x

18

9

x

2

x2

12

x2

5

x

6,由x2

5

x

0

解得x

2

或x

3.用化三角形行列式計(jì)算例

計(jì)算xa1

a2

a3

a4x

a1

a2

a3a1

x

a2

a3a2

x

a3an

.anan

Dn1

a1解

將第2,3,,

n

1列都加到第一列，得a2xa1

a2nnnnx

aii

1i

1

aii

1x

aii

1x

aiDn

1

x

anana2

x

an

a2

a3

x提取第一列的公因子，得1xa2

a3n1

x

a2

ana2

x

an

.

1

a1

a2

ani

1Dn1

(

x

ai

)

1將第1列的(

a1)倍加到第2列，將第1列的(

a２)倍加到第3列，,將第1列的(

an)倍加到最后一列，得n

ni

1

i

1

(

x

ai

)

(Dn

1

(用遞推法計(jì)算例

計(jì)算.a

a

aaaa

x1

a

a

x2

xnanD

解依第n列把Dn

拆成兩個行列式之和a

x1a

aaaa

x

2

a

aa

a

a

xn

1

aa

a

a

aDn0xn

.00

xn

1a

x1aaaa

x

2

aaaaaaa從而Dn

x1

x2

xn1

a

xn

Dn1

.得右端的第一個行列式,將第n列的(1)倍分別加到第1,2,,n

1列,右端的第二個行列式按第n列展開,0

00

00

a0

ax1

00

x2xn

1

a0

a

xn

Dn

1

,Dn

由此遞推，得Dn

1

x1

x2

xn

2

a

xn

1

Dn

2

,于是Dn

x1

x2

xn

１a

x1

x2

xn

2

axnxn

xn

1

Dn

2

.如此繼續(xù)下去，可得Dn

x1

x2

xn

１a

x1

x2

xn

2

a

xn

x1

x2

a

x4

xn

xn

xn

1

x3

D2

x1

x2

xn

x1

x2

x1

x3當(dāng)x1

x2Dn

x1例

求一個二次多項(xiàng)式

f

(

x),

使f

(1)

0,

f

(2)

3,

f

(3)

28.解

設(shè)所求的二次多項(xiàng)式為f

(

x)

a

x2

bx

c,f

(1)

a

b

c

0,f

(2)

4a

2b

c

3,f

(3)

9a

3b

c

28,由題意得.這是一個關(guān)于三個未知數(shù)a,b,c的線性方D1

40,D3

20.D

20

0,2

60,由

法則，得a

D1

2,b

D2

3,c

D3

1.D

D

D于是，所求的多項(xiàng)式為f

(

x)

2

x2

3

x

1.證

cx

ay

bz

0的非零解.從而有系數(shù)行列式.bx

cy

az

0,則x

x0

,

y

y0

,

z

1可視為齊次線性方ax

by

cz

0,必要性

設(shè)所給三條直線交于一點(diǎn)M

(

x0

,

y0),ax

by

c

0,

bx

cy

a

0,

cx

ay

b

0相交于一點(diǎn)的充分必要條件是a

b

c

0.例

證明平面上三條不同的直線[(a

b)2

(b

c)2

(c

a)2]

0.因?yàn)槿龡l直線互不相同,所以a,b,c也不全相同,故a

b

c

0.充分性

如果a

b

c

0,將方ax

by

c,2b

cc

a

(

1)(a

b

c)a

b

cx

ay

bbx

cy

a,

（１）ax

by

c,的第一、二兩個方程加到第三個方程，得0

0.（２）有惟一解.bx

cy

a,

（２）b

(a

c)得ac

[(a

c)]2

a2

2ac

c2，于是ac

(a2

c2)

0，從而有ac

0.b

c下證此方a

b如果

ac

b2

0，則ac

b2

0。由不妨設(shè)a

0,由b2

ac得b

0.再由a

b

c

0得c

0，與題設(shè)

.故方由法則知，方程組

有惟一解(2從.)

而知(1)有唯一解，即三條不同直線交于一點(diǎn).b

0.ab

c五、設(shè)n

行列式1

2

0

00

3

0

1

0

0

n1

2

3

nDn

1求第一行各元素的代數(shù)

式之和A11

A12

A1n

.例解.4且與平面

4

yzx

,04zyx05求過直線:8z

12

0過已知直線的平面束方程為x

5

y

z

(

x

z

4)

0,即

x

y

z

0,

,15{,1

}.其法向量n

又已知平面的法向量n

{1,4,8}.由題設(shè)知1cos

n

n4

n

n112(1

)2

52

(1

)2

(4)2

(8)2(1

)

1

5

(4)

(1

)

(8),22

272

32即由此解得4

3

.代回平面束方程為x

20

y

7z

12

0.解,z

x

121(1,1,1)

且與兩直線

L

:0例

求過點(diǎn)

Mz

2

x

1L

:

y

3

x

4

都相交的直線L.

y

2

x將兩已知直線方程化為參數(shù)方程為

L2

:

y

3t

4z

2t

1

x

t

x

tz

t

1L1

:

y

2t

,設(shè)所求直線

L

與L1

,L2

的交點(diǎn)分別為A(t1

,2t1

,t1

1)和B(t2

,3t2

4,2t2

1).

M0

(1,1,1)與A,B

三點(diǎn)共線,故M0

A

M0

B

(

為實(shí)數(shù)).于是M0

A,M0

B

對應(yīng)坐標(biāo)成比例,即有2t1

1

(t1

1)

1

,(3t2

4)

1

(2t2

1)

1t2

1t1

1

解之得t1

0,t2

2

A(0,0,1),

B(2,2,3)點(diǎn)M0

(1,1,1)和B(2,2,3)同在直線L

上,故L

的方程為x

1

y

1

z

1.1

1

2例解x

2

y

z

0

上的投影直線的方程.求直線L

:2x

y

z

1

0

在平面

:

x

y

z

1

0過直線L

的平面束方程為(2

x

y

z

1)

(

x

y

z

1)

0,即(2

)x

(

1)y

(1

)z

(

1)

0.L4即4

1

0,

故

1將

代入平面束方程,得3x

y

z

1

0.所求投影直線方程為.3

x

y

z

1

0

x

2

y

z

0又垂直于平面,(2

)

1

(

1)

2

(1

)

(1)

0.伴隨矩陣：行列式A

的各個元素的代數(shù)式Aij所構(gòu)成的如下矩陣Ann

An

2

An1

A1n

A2

nA

A12

A11

A21A22AA

A

A

AE.逆矩陣定義：A為n階方陣，若存在n階方陣,使得AB

BA

E的、滿秩的）則稱矩陣A是可逆的（非奇異的、非矩陣B稱為矩陣A的逆矩陣。判定定理:

n階方陣A可逆

A

0AA1

1

A且1(

A1)

A,(

AT

)1

(

A1)T

,(

A)1

1

A1(

0)

A

1A1滿足規(guī)律：4.

分塊矩陣:

運(yùn)算規(guī)則與普通矩陣規(guī)則相類似．用初等變換法求矩陣的逆矩陣

A

E

變成E時,原來的E就變成了A1

.對分塊矩陣

施行初等列變換,當(dāng)把A即，E，A1

A,E

初等行變換

1

A

E

E

A

初等列變換解矩陣方程的初等變換法AX

B初等行變換(

A

B)

~

(E

A1

B)

X

A1

BXA

B

B

A

或者A

BE1

~初等列變換BA

X

1(

A

B

)B

)~

(E

(

A

)TT1初等行變換T

T

X

B

A1TX

(

A

)

B1T

T例

設(shè)3

1

0

0

A

0

1

0

,

3

0求

(2E

A)

(2E

的行列式。解：(2E

A)T

(2E

A)1

(4E

A2

)

(2E

A)T

(2E

A)1

(2E

A)(2E

A)

(2E

A)T

(2E

A)

(2E

A)T(2E

A)0

23

0

(2E

A)

2

0

3

03

0

5

2025例設(shè)4

階方陣A

,

2

,

3

,

42其中均為4

維列向量，且已知行列式

,

,

2

,

3

,

4A

4,求行列式A

B

.解：A

B

,

2

2

,

2

3

,

2

4

8

,

2

,

3

,

4

8(

,

2

,

3

,

42

8(

A

B

)

56例

設(shè)

A

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1解：（遞推法）

4求Am

.A24

444

4E

22

E

4

所以，當(dāng)A3

A2

A

22

A時m

2kAm

A2k

A2

k

22

E

k4

22k

E4

2m

E4當(dāng)m

2k

1

時Am

A2k

1

A2k

A

22k

E

A4

2m1

A例

已知0

AP

PB,

B

0

1

0

0

1

0

0

0

0

,

P

2

10

1

0

21

1求A與5A

.解：P

0

A

PBP

1

A2

PBP

1

PBP

1

PB2

P

1

A3

PB2

P

1

PBP

1

PB3

P

1

A5

PB5

P

1又B2

1

0

0

0

0

0

,0

01

B3

1

0

0

0

0

0

B0

01

B5

B

A5

PB5

P

1

PBP

1

A10

1

0

0

又P

1

2

1

4

1

1

0

0

0

6

A5

A

2

011例

求A的逆矩陣:

A

1解：0

(

A

E

)

11

0

2

11

2

1

1

1

0

2

1

1

0 0

1

2

0

1

1

1

1

0

0

1

01~21r

r100122

1011

0

r3r1

1

10

0

~

0

22

10110

1

100

1

0

0101

01~

032r

r21220011

0

r1(

2)r3

1

11

1

~

0

20001

1110101

1

0

010111

02

12r1

0

5

21

1

0

0

1

2~

0

1

0

1

2

1

2

1

2

0

1

0

11

0

0

1

2

3

2

0

1

0 1

2 1

2 1

2

0

1

0

1~21(

1)rr11

2011

2

.

1

2

3

2

5

21

21A例設(shè)A

AX

A

2X

,解：(

A

2E

)

X由

A

~

00

1初等行變換

X

（用初等變換法）有關(guān)矩陣秩的重要結(jié)論(1) 0

r(

Amn

)

minm,

n(2)

設(shè)矩陣Amn

,若r(

A)

s則存在可逆矩陣P,Q使得

Es

o

PAQ

oo

即矩陣A可以經(jīng)過初等變換化為形式。o

Es

o

o

(3)

若

P,Q

都可逆，則r(

A)

r(PA)

r(

AQ)

r(PAQ)矩陣秩的不等式的證明例2：證明r(

A

B)

r(

A)

r(B)r(

AB)

minr(

A),

r(B)Amn

,Bmn

把它么用列向量組表示證：（1）設(shè)A

(1

,2

,

,n

)設(shè)A的列向量組的極大無關(guān)組為設(shè)1

,2

,

,s則r(

A)

sB

(1

,

2

,

,

n

)設(shè)A的列向量組的極大無關(guān)組為設(shè)則1

,

2

,

,

tr(B)

t則A

B

(1

1

,2

2

,

,n

n

)可知A

B

中任一列向量都可由向量組1

,2

,,

s

,1

,

2

,

,

t線性表示，

r(

A

B)

r(1

,2

,

,s

,

1

,

2

, ,

t

)

s

t

r(

A)又r(

B)

r(B)

r(

A

B)

r(

A

(B))

r(

A)

r(B)

r(

A)綜上，r(

A

B)

r(

A)

r(B)設(shè)Amn

,

Bn

p證明：r(AB)

r(A)

r(B)

n當(dāng)AB

0時，r(A)

r(B)

n證：設(shè)

r(

A)

s,則存在可逆矩陣P,Q

Es

0

使得Pmm

AmnQnn

00

又)Q1BPAB

Es

0Bnn n

p0

Q10

（令C

Q1B）

Es

0

C

0 0

n

p（令C

C1

）

C

2

0C

Es

0

2

0

C1

S行n-S行

C1

0

P

可逆

r(

AB)

r(

PAB)

r

C1

0

r(C

)

r(C2

)1

r(C

)

r(C

)

(n

s)

r(Q1B)

n

s

r(B)

n

r(

A)

r(

AB)

r(

A)

r(B)

n（Q可逆）矩陣秩的等式的證明（1）證r(

A)

r(B).思路r(

A)

r(B)r(B)

r(

A)（2）證

r(

A)

r思路

AB

0,r(

A)

r(B)

nr(

A)

r(B)

n

A

B

kE

,則則例：

設(shè)

A,

B為n

階矩陣，

ABA

B1

,

E為

n階單位矩陣。證明：

r(E

AB)

r(E

AB)

n證：(E

AB

E

AB

AB

AB

AB

E

(

E

B1B

E

E

0

r(E

AB)

r(E

AB)

n(

E

AB)

(

E

AB)

2E

r(E

AB)

r(E

AB)

n綜上，r(E

AB)

r(E

AB)

n用矩陣k階子式定義證明矩陣秩(1)

A

有r階子式不為0所有r+1階子式全為0

r(

A)

r(2)

Ann

下列說法等價A

是可逆矩陣

A

是非奇異矩陣

A

是滿秩矩陣

r(

A)

n

A

0例：

設(shè)

A

是n階矩陣A

的伴隨矩陣，

n

2,證明：0,n,r(

A

)

1,若r(

A)

n;r(

A)

n

1;r(

A)

n

1.若若證：(1)

若r(

A)

n,則A

0.AA

A

E,A

A

A

n

,

0,A

r(

A

)

n.(2)

若

r(

A)

n

1,中元素都是則A中至少有一個n－1階子式不為0，而AA

的n－1階子式，所以A中至少有一個元素不為0，則r(

A

)

1.又由知r(

A)

A

0,AA

A則則r(

A)

r(

A

)

n,r(

A

)

n

r(

A)

n

(n

1)

1,綜上，r(

A

)

1.(3)

若r(

A)

n

1,則A中所有n－1階子式全為0，A

0,則

A

中元素全為0，即

r(

A

)

0.例

求解方

x1

x2

2

x3

3

x4

1

2.x1

x2

x3

x4

0,1

x2

x3

3

x4

1,x解對增廣矩陣B施行初等行變換:

1

211B

10

01

1

1

1

0

1

1

3

1

2

3

1

1

0

1 1

2~

0

0

1

2 1

2,0

0

0解,并有BRAR,2故)(方)(可見4

3x

2

x

1

2.

x1

x2

x4

1

2,2

421

3取

x

x

0,

則x

x

1

,

即得方的一個解

0

1

2

0

.1

23

4x中,取

2

x在對應(yīng)的齊次線性方程組

x1

x2

x4

,

1

0

及

,

x4

0

1

x2

1

0

21

13

及

,則xx的基礎(chǔ)解系即得對應(yīng)的齊次線性方2

2

1

0,1

0

0

1,