靜態(tài)場中的邊值問題(共52張PPT)精選

第四章靜態(tài)(jìngtài)場中的邊值問題第一頁，共52頁。解邊界值問題的方法：1、理論計(jì)算方法◆解析法◆近似計(jì)算法數(shù)值計(jì)算法圖解法2、場的實(shí)驗(yàn)研究(yánjiū)方法：◆直接測量法◆電模擬法第二頁，共52頁。4.1問題(wèntí)的分類一、分布型問題(1)已知場源分布，求解電場或磁場。(2)已知電場（或電位）、磁場分布，反推場源。二、邊值型問題邊值型問題究竟是什么？邊值型問題都有哪些(nǎxiē)類型？怎樣保證邊值型問題有且僅有惟一解？（惟一性定理）第三頁，共52頁。靜態(tài)場邊值型問題：已知場量（或其位函數(shù)）在場域邊界上的值（含法向?qū)?shù)），求解場域內(nèi)部任一點(diǎn)的場量。定解條件=泛定方程+邊界條件+初始條件。銜接條件：在場域內(nèi)，媒質(zhì)參數(shù)必須是已知的，但允許它們突變（即存在不同媒質(zhì)的分界面）或漸變（是空間坐標(biāo)(zuòbiāo)的函數(shù)）。在不同媒質(zhì)分界面的兩側(cè)，場量（或其位函數(shù)）應(yīng)滿足邊值關(guān)系，在偏微分方程定解問題中常被稱為銜接條件。第四頁，共52頁。靜態(tài)場邊值問題解滿足3個(gè)條件：(1)對(duì)于場域的內(nèi)點(diǎn)（既非邊界點(diǎn)又不在媒質(zhì)分界面上的點(diǎn)）泛定方程成立；(2)在不同(bùtónɡ)媒質(zhì)分界面的兩側(cè)，場量（或位函數(shù)）邊值關(guān)系（銜接條件）成立；(3)對(duì)于場域的邊界點(diǎn)，場量（或其位函數(shù)）符合給定的邊界條件。第五頁，共52頁。邊值型問題的分類方法（以電位函數(shù)的泊松方程為例）第一類邊值問題的特征：已知全部邊界上任(shàngrèn)一點(diǎn)的電位。為狄里赫利問題（Dirichlet）。第二類邊值問題的特征：已知全部邊界上任(shàngrèn)一點(diǎn)的電位的法向?qū)?shù)。稱為諾埃曼問題(Neumann)。第三類邊值問題的特征是：已知部分邊界上任(shàngrèn)一點(diǎn)的電位和另一部分邊界上任(shàngrèn)一點(diǎn)的電位的法向?qū)?shù)。稱為混合邊值問題(Robbin)。

第六頁，共52頁。討論場問題與坐標(biāo)無關(guān)(wúguān)時(shí)：與坐標(biāo)無關(guān)(wúguān)的拉普拉斯方程為第四十一頁，共52頁。當(dāng),時(shí),令第一項(xiàng)等于（），得該式的系數(shù)由問題的邊界條件確定。在區(qū)域外的假象電荷（或電流）稱為鏡像電荷（或電流），大多是一些點(diǎn)電荷或線電荷（二維平面(píngmiàn)場情況）。①第一、二、三類邊值問題是適定的它等于球不存在時(shí)在O點(diǎn)時(shí)產(chǎn)生的電位。（4-2）要求給定邊界與一個(gè)適當(dāng)坐標(biāo)系的坐標(biāo)面相合，或者至少(zhìshǎo)分段地與坐標(biāo)面相合；◆近似計(jì)算法【例4-7】如圖4-7所示，為無限大接地的導(dǎo)電（平面（電壁），在處有一無限長均勻帶電的細(xì)直導(dǎo)線，導(dǎo)線與y軸平行且經(jīng)過(jīngguò)直角坐標(biāo)（0，0，h）點(diǎn)，求上半空間（）場的電位函數(shù)?！纠?-6】設(shè)在無限大導(dǎo)體平面()附近(fùjìn)有一點(diǎn)電荷，與平面距離為，導(dǎo)體平面是等位面，假設(shè)其電位為零，如圖4-6所示。第三十一頁，共52頁。a：當(dāng)時(shí)，偏微分方程(wēifēnfānɡchénɡ)（4-1）的通解為4.2惟一(wéiyī)性定理惟一性定理：在每一類邊界條件下，泊松方程或拉普拉斯方程的解唯一【反證法】假如(jiǎrú)存在兩個(gè)滿足相同邊界條件的不同解和令在場域內(nèi)，u滿足拉普拉斯方程在邊界上，要么（第一類邊值問題），要么（第二類邊值問題）。令格林第一恒等式（1-157）中的，即第七頁，共52頁。因?yàn)?，并且u（或u的法向?qū)?shù)）沿處處等于0，上式簡化為即u梯度等于0。故在場域內(nèi)，u=常數(shù)。對(duì)于第一類邊值型問題，電位不可躍變，故在場域內(nèi)，u=0，從而。故對(duì)于第一類邊值問題，電位的解惟一對(duì)于第二類邊值型問題，u未必是0，可以是任一常數(shù)，但對(duì)于電場(diànchǎng)強(qiáng)度和電位移矢量來說，解仍然是惟一的，因?yàn)槌?shù)的梯度恒等于0。第八頁，共52頁。說明：①第一、二、三類邊值問題是適定的因?yàn)樗鼈儗?duì)邊界條件提出的要求既是充分的也是必要的。求解時(shí)先判斷問題的邊界條件是否(shìfǒu)足夠，當(dāng)滿足必要條件時(shí)，則可斷定解是唯一的。用不同方法得到的形式上不同的解是等價(jià)的。②定理說明：只要能夠找一個(gè)滿足邊界條件的位函數(shù)，且這個(gè)位函數(shù)又滿足拉普拉斯方程，則這就是所求的解。第九頁，共52頁。4.2直角坐標(biāo)中的分離(fēnlí)變量法◆分離變量法：通過偏微分方程求解邊值問題。◆基本思想：1.要求給定邊界與一個(gè)適當(dāng)坐標(biāo)系的坐標(biāo)面相合，或者至少(zhìshǎo)分段地與坐標(biāo)面相合；2.在坐標(biāo)系中，待求偏微分方程的解可表示為三個(gè)函數(shù)的乘積，其中的每個(gè)函數(shù)分別僅是一個(gè)坐標(biāo)的函數(shù)。3.通過分離變量將偏微分方程化為常微分方程求解。第十頁，共52頁?！舳S問題的分離變量過程：若邊界面形狀適合用直角坐標(biāo)表示，則在直角坐標(biāo)系中求解，以二維的拉普拉斯方程(fāngchéng)為例，求解電位函數(shù)，設(shè)，電位函數(shù)滿足（4-1）待求的電位函數(shù)用二個(gè)函數(shù)的乘積表示為 （4-2）將式（4-2）代入式（4-1），得第十一頁，共52頁。用除上式，得

（4-3）上式成立(chénglì)的唯一條件是二項(xiàng)中每項(xiàng)都是常數(shù)，故有 （4-4） （4-5）為分離常數(shù)，是待定的常數(shù)，須滿足（4-6）第十二頁，共52頁。1.當(dāng)時(shí)方程(fāngchéng)（4-4）和(4-5)的解為方程(fāngchéng)（4-1）的解為 (4-7)2.當(dāng),時(shí),方程(fāngchéng)（4-5）和(4-6)的解為 (4-8) (4-9a）或第十三頁，共52頁。所以 (4-10a)或(4-10b)3.當(dāng),時(shí)，同理可得（4-11a）（4-11b）綜上所述：a：當(dāng)時(shí)，偏微分方程(wēifēnfānɡchénɡ)（4-1）的通解為

第十四頁，共52頁。(4-12a）或（4-12b）b.當(dāng)時(shí)，偏微分方程(wēifēnfānɡchénɡ)（4-1）的通解為

（4-13a）第十五頁，共52頁?；颍?-13b）拉普拉斯方程的解：

然后根據(jù)所給定的邊界條件定出滿足所有邊界條件的具體問題(wèntí)的解（包括待定常數(shù)和分離常數(shù)）。第十六頁，共52頁。4.3圓柱(yuánzhù)坐標(biāo)系中的分離變量法對(duì)二維平面場，即與無關(guān)的情形，拉普拉斯方程(fāngchéng)變?yōu)椋?-25）

設(shè)解具有，代入上式化簡（4-26）要上式對(duì)所有的r、值成立，須每項(xiàng)都等于常數(shù)。令第一項(xiàng)等于（），得第十七頁，共52頁。（4-27） （4-28）1.當(dāng)時(shí)，（4-27）的解為2.當(dāng)時(shí)，（4-27）的解為如果所討論的空間包含從0→2，因?yàn)?yīnwèi)必須是單值的，即，（4-29）第十八頁，共52頁。（4-28）式變?yōu)椋?-30）即（4-31）式（4-31）為歐拉方程(fāngchéng)，場與無關(guān)。1.當(dāng)時(shí)，（4-31）式的解為

2.當(dāng)時(shí)，（4-31）式的解為（4-32）第十九頁，共52頁。圓柱坐標(biāo)中二維場的的通解（4-33）由于（K為整數(shù)(zhěngshù)），所以（4-33）式中的第二十頁，共52頁。4.4球坐標(biāo)系中的分離(fēnlí)變量法討論場問題與坐標(biāo)無關(guān)(wúguān)時(shí)：與坐標(biāo)無關(guān)(wúguān)的拉普拉斯方程為（4-47）令，代入上式得第二十一頁，共52頁。得到關(guān)于(guānyú)和的常微分方程：（4-48）（4-49）引入一個(gè)新的自變量，有式（4-49）可變?yōu)椋?-50）

這是勒讓德方程。第二十二頁，共52頁。對(duì)于x的變化范圍(fànwéi)從1到-1的情況，勒讓德方程有一個(gè)有界解（4-51）稱為勒讓德多項(xiàng)式。方程（4-48）是歐拉方程，其解為方程（4-47）的通解為（4-52）該式的系數(shù)由問題的邊界條件確定。第二十三頁，共52頁。勒讓德多項(xiàng)式的前幾項(xiàng)：勒讓德多項(xiàng)式具有(jùyǒu)正交性第二十四頁，共52頁。4.5鏡像法◆鏡像法的基本思想：1.電場區(qū)域外某個(gè)位置上，有一假想鏡像電荷。2.電荷的引入不改變所求電場區(qū)域的場方程，鏡像電荷產(chǎn)生的電場與導(dǎo)體面(或介質(zhì)面)上的感應(yīng)電荷(或極化電荷)產(chǎn)生的電場等效(děnɡxiào)。3.鏡像電荷代替導(dǎo)體面(或介質(zhì)面)上的感應(yīng)電荷(或極化電荷)后：首先所求電場區(qū)域內(nèi)的場方程不變，其次給定的邊界條件仍滿足，第二十五頁，共52頁。由靜電場的惟一性定理：用鏡像電荷代替后所解得的電場必是唯一正確的解?！翮R像法的實(shí)質(zhì)：將靜電場的邊值問題轉(zhuǎn)化為無界空間中計(jì)算電荷分布的電場問題。在區(qū)域外的假象電荷（或電流）稱為鏡像電荷（或電流），大多是一些點(diǎn)電荷或線電荷（二維平面(píngmiàn)場情況）。鏡像法往往比分離變量法簡單，容易寫出所求問題的解，但它只能用于一些特殊的邊界情況。第二十六頁，共52頁。應(yīng)用鏡像法求解的關(guān)鍵：如何確定像電荷鏡像電荷的確定應(yīng)應(yīng)遵循以下(yǐxià)兩條原則：（根據(jù)唯一性定理）(1)所有的鏡像電荷必須位于所求的場域以外的空間中。(2)鏡像電荷的個(gè)數(shù)、位置及電荷量的大小由滿足場域邊界上的邊界條件來確定。第二十七頁，共52頁。一、靜電場中的鏡像法1.平面邊界的鏡像法【例4-6】設(shè)在無限大導(dǎo)體平面()附近(fùjìn)有一點(diǎn)電荷，與平面距離為，導(dǎo)體平面是等位面，假設(shè)其電位為零，如圖4-6所示。求上半空間中的電場。（a）（b）圖4-6平面邊界的鏡像法第二十八頁，共52頁。【解】1.在的上半空間內(nèi)，除點(diǎn)電荷外，電位滿足拉普拉斯方程；2.由于導(dǎo)體接地，所以在處，。3.設(shè)導(dǎo)體平面不存在，在平面與點(diǎn)電荷對(duì)稱地放置一點(diǎn)(yīdiǎn)電荷(相反電荷)，則平面仍為零電位面。4.在的上半空間內(nèi)，圖4-6（a）和圖4-6（b）具有相同的電荷分布。根據(jù)唯一性定理，圖4-6（a）中上半空間的電位分布與圖4-6（b）的上半空間電位分布相同?？捎煤推湎耠姾?)構(gòu)成的系統(tǒng)來代替原來的邊值問題。上半空間內(nèi)任意點(diǎn)的電位為第二十九頁，共52頁。

（4-66）由（4-66）式，可求出平面(píngmiàn)導(dǎo)體上的感應(yīng)電荷密度為（4-67）導(dǎo)體平面(píngmiàn)上總的感應(yīng)電荷為（4-68）可見：導(dǎo)體平面(píngmiàn)上總的感應(yīng)電荷恰好等于所設(shè)置的鏡像電荷。

第三十頁，共52頁?！纠?-7】如圖4-7所示，為無限大接地的導(dǎo)電（平面（電壁），在處有一無限長均勻帶電的細(xì)直導(dǎo)線，導(dǎo)線與y軸平行且經(jīng)過(jīngguò)直角坐標(biāo)（0，0，h）點(diǎn)，求上半空間（）場的電位函數(shù)。

圖4-7線電荷的平面鏡像第三十一頁，共52頁?！窘狻侩姳诘淖饔每梢缘刃椋虹R像位置處的鏡像線電荷（線電荷密度不變，但極性相反）。設(shè)細(xì)直導(dǎo)線的電荷密度為，則鏡像線電荷密度為。這時(shí)，帶電體系在空間(kōngjiān)的電位為式中不能選為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。同樣第三十二頁，共52頁。

式中，所以(suǒyǐ)第三十三頁，共52頁。2.角形區(qū)域的鏡像法圖4-9所示為相交成直角(zhíjiǎo)的兩個(gè)導(dǎo)體平面AOB附近的一個(gè)點(diǎn)電荷的情形，也可以用鏡像法求解。

圖4-9點(diǎn)電荷對(duì)角形區(qū)域的鏡像第三十四頁，共52頁。q在OA面的鏡像為在點(diǎn)的-q，又q在OB面的鏡像為在點(diǎn)的-q，這樣并不能使OA和OB平面成為等位面。若在點(diǎn)處再設(shè)置一個(gè)電荷q，則一個(gè)原點(diǎn)電荷和三個(gè)像電荷共同的作用將OA和OB保持相等電位能滿足原來的邊界條件，故所求區(qū)域(qūyù)內(nèi)任一點(diǎn)的電位函數(shù)不僅相交成直角的兩個(gè)導(dǎo)體平面間的場可用鏡像法求解，所有相互成的兩塊半無限大接地導(dǎo)體平面間的場都可用鏡像法求解，像電荷個(gè)數(shù)為。例如，兩塊半無限大接地導(dǎo)體平面角域內(nèi)點(diǎn)電荷的像電荷，如圖4-10所示。第三十五頁，共52頁。圖4-10夾角(jiājiǎo)為兩塊半無限大接地導(dǎo)板的鏡象第三十六頁，共52頁。3.球面邊界的鏡像法基本思想：當(dāng)一個(gè)電荷位于(wèiyú)導(dǎo)體球面附近時(shí)，導(dǎo)體球面上會(huì)出現(xiàn)感應(yīng)電荷，球外任一點(diǎn)的電位由點(diǎn)電荷和感應(yīng)電荷共同產(chǎn)生。這類問題仍用鏡像電荷來代替分界面的感應(yīng)電荷對(duì)電位的貢獻(xiàn)，出發(fā)點(diǎn)仍是在所求解區(qū)域內(nèi)，電位函數(shù)滿足方程和邊界條件。第三十七頁，共52頁?！纠?-9】設(shè)一點(diǎn)電荷與半徑為a的接地導(dǎo)體球心相距，如圖4-11所示。試推導(dǎo)球外的電位(diànwèi)函數(shù)。

圖4-11點(diǎn)電荷對(duì)接地導(dǎo)體球的鏡像第三十八頁，共52頁?！窘狻?接地后，球上只剩下同異號(hào)的感應(yīng)電荷。球面(qiúmiàn)上感應(yīng)電荷分布在面對(duì)的一側(cè)密度較大，設(shè)想在點(diǎn)有一個(gè)鏡像電荷，點(diǎn)是在OP1線上偏離球心的一點(diǎn)，設(shè)與球心距離為。根據(jù)鏡像法，將原導(dǎo)體球移去，及像電荷在原球面(qiúmiàn)上任一點(diǎn)處產(chǎn)生的電位應(yīng)為零。即在球面(qiúmiàn)上取兩特殊點(diǎn)，上式轉(zhuǎn)化為第三十九頁，共52頁。由以上(yǐshàng)兩個(gè)方程解得球外任意點(diǎn)的電位為式中，第四十頁，共52頁。這樣可求得電場的分量為時(shí)，球面上的感應(yīng)(gǎnyìng)電荷密度為第四十一頁，共52頁。球面上總感應(yīng)電量為導(dǎo)體上總的感應(yīng)電荷量等于像電荷的電荷量。在上述問題中，若導(dǎo)體球不接地，球面上除了分布有感應(yīng)負(fù)電荷外，還分布有感應(yīng)正電荷，且球面的凈電荷為零，此時(shí)導(dǎo)體球的電位不為零，為保持球面是等位(děnɡwèi)面還需在球上再加上一個(gè)鏡像電荷；且此必須放在球心處，如圖4-12所示。第四十二頁，共52頁。

圖4-12點(diǎn)電荷對(duì)不接地導(dǎo)體球的鏡像這種情況下球外任意(rènyì)點(diǎn)的電位為此時(shí)球的電位等于在球面上產(chǎn)生的電位它等于球不存在時(shí)在O點(diǎn)時(shí)產(chǎn)生的電位。第四十三頁，共52頁。4.柱面邊界的鏡像法【例4-10】線電荷密度(mìdù)為的無限長帶電直線與半徑為a的接地?zé)o限長導(dǎo)體圓柱的軸線平行，直線到圓柱軸線的距離為，如圖4-13所示。求圓柱外空間的電位函數(shù)。

圖4-13線電荷對(duì)接地導(dǎo)體球的鏡像第四十四頁，共52頁。【解】導(dǎo)體圓柱在線電荷的