上-第八節(jié)法則

第八節(jié)洛必達(dá)法則型未定式解法:洛必達(dá)法則二、型及00三、0

,

,

00

,

1

,

0

型未定式解法一、未定式定義一、未定式定義1.

若

lim

f

(

x)

0,

lim

g(

x)

0,x

x0

x

x0x

x0g(

x)

0則稱

lim

f

(

x)

為

0

型未定式

.xx0例如,lim

tan

x

,2.

若

lim

f

(

x)

,

lim

g(

x)

,x

x0

x

x0g(

x)x

x0則稱

lim

f

(

x)

為

型未定式.2例如,

lim

tan

x

,x

tan

3

x3.

若

lim

f

(

x)

0,

lim

g(

x)

,x

x0

x

x0例如,

lim

x

ln

x,x0x

x0則稱

lim

f

(

x)

g(

x)

為

0

型未定式

.4.

若

lim

f

(

x)

,

lim

g(

x)

,x

x0

x

x0x

x0則稱lim[f

(x)

g(x)]為

型未定式.x

x0

x

x0x

x0則稱

lim

[

f

(

x)]g(

x

)

為

1

型未定式.6.

若

lim

f

(

x)

0,

lim

g(

x)

例0,如,x

x0

x

x0x

x0則稱

lim

[

f

(

x)]g(

x

)

為

00

型未定式.x

x0

x

x07.

若

lim

f

(

x)

,

lim

g(

x)

例0,

如,

lim

xsin

x

,則稱

lim

[

f

(

x)]g(

x

)

為0

型未定式.x

x0例如,),15.

若

lim

f

(

x)

1,

lim

g(

x)

例如,

,

lim(

1

x0exx

11lim(cos

x)

x

,x0x0.1lim

(

)tan

xxx0二、0型未定式解法:洛必達(dá)法則0設(shè)函數(shù)f

(x),g(x)在點(diǎn)x0

的某去心定理鄰域內(nèi)可導(dǎo),且g(x)

0,又滿足條件:(1)

lim

f

(

x)

lim

g(

x)

0;x

x0

x

x0g(

x)(2)lim

f

(x)存在(或?yàn)闊o窮大),lim

f

(

x)

lim

f

(

x).x

x0那末有g(shù)(

x)

g(

x)x

x0x

x0定義

這種在一定條件下通過分子分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達(dá)法則.證定義輔助函數(shù)00,

x

x1f

(

x)

f

(

x),

x

x0

,x

x0

,00,

x

x1g

(

x)

g(

x),o在U

(x0

,

)內(nèi)任取一點(diǎn)x,在以x0

與x

為端點(diǎn)的區(qū)間上,f1

(x),g1

(x)滿足柯西中值定理的條件,則有g(shù)(

x)

g(

x)

g(

x0

)f

(

x)

f

(

x)

f

(

x0

)

f

(

)g(

)f

(

x)0(在x與x

之間)當(dāng)x

x0時(shí),

x0

,

A,

lim

x0g(

x)x

x0

lim

A,g(

)f

(

)g(

x)

g(

x)

lim

f

(

x)

lim

f

(

x)

A.x

x0x

x0例1解22x

x求

lim

cos

x

.1x0原式

lim

sin

x

1

.)00(注意：每一步都要驗(yàn)證定理?xiàng)l件。例2

求limxa解.x

a

anxn1nx

n1原式

lim

naxa)00(.n1解.

3

x

223

x

x

1x3x1

x例3

求lim2

2

x

13

x2

3x1

3

x原式

lim6

x

limx1

6

x

22

3

.)00(不是未定式,不能用洛必達(dá)法則幾點(diǎn)說明:例4.xx

arctan

1求

limxln(1

1

))00(解1

x2x2

(

1

)2xx2

(

1

)xx原式

lim

1

x3

2

xx3

x

limx

x

1.(1)

將x

x

換成x

x

,x

x

,及x

,0

0

0x

,x

該法則仍然成立.g(

x)

0(2)

若

lim

f

(

x)

仍為0型未定式,且

f

(

x)

,x

x0g(x)滿足定理中f(x),g(x)所滿足的條件,則可繼續(xù)使用洛必達(dá)法則,即lim

f

(

x)

lim

f

(

x)

lim

f

(

x).幾點(diǎn)說明:g(

x)

g(

x)

g

(

x)x

x0

x

x0x

x0并且可以依次類推,直到求出所要求的極限為止.(1)

將x

x

換成x

x

,x

x

,及x

,0

0

0x

,x

該法則仍然成立.例5.x

sin

x

2

x求limx0ex

e

x00(

)解

2ex

e

x原式

limx01

cos

xex

e

x00(

)sin

x

limx00cos

xex

e

x

limx0

2(

)0不是未定式,不能用法則g(

x)(2)lim

f

(x)存在(或?yàn)闊o窮大),x

x0lim

f

(

x)

lim

f

(

x).g(

x)

g(

x)x

x0x

x0那末有定理2

設(shè)函數(shù)

f

(

x)

,

g(

x)

在點(diǎn)

x0

的某去心鄰域內(nèi)可導(dǎo),且g(x)

0,又滿足條件:(1)

lim

f

(

x)

lim

g(

x)

;x

x0

x

x0三、型未定式解法:洛必達(dá)法則幾點(diǎn)說明:(1)

將x

x

換成x

x

,x

x

,及x

,0

0

0x

,x

該法則仍然成立.仍為

型未定式,且

f

(

x)

,g(

x)

若

lim

f

(

x)

g(x)滿足定理中f

(x),g(x)所滿足的條件,則可繼續(xù)使用洛必達(dá)法則,即lim

f

(

x)

lim

f

(

x)

lim

f

(

x).(2)x

x0g(

x)

g(

x)

g

(

x)x

x0

x

x0x

x0并且可以依次類推,直到求出所要求的極限為止.例6解.2ln(1

ex

)求limx)(1

xex原式

lim

1

exx

x1

x2limxexx1

ex1

x2

limx

1.不是未定式,不能用法則例7解

原式

lim

a

cosax

sin

bx

lim

cosax

1.x0

ln

sin

bx求

lim

ln

sin

ax

(a

0,b

0)

.x0

bcosbx

sin

ax(

)x0

cosbx注意：洛必達(dá)法則是求未定式的一種有效方法，但與其它求極限方法結(jié)合使用，效果更好.例82x

tan

3

x求lim

tan

x

.例9求lim

tan

x

x

.x2

tan

xx0例

求lim

tan

x

x

.x2

sin

xx0解:注意到~tan

x

x原式3

limx0x2sec2

x

1

limx03

x2tan2

x

limx03

xsec2

x

1

tan2

x

1300

型例解.ln(1

1

)2求limxx則x

時(shí),有t

0

,x1e

x2x

1

arcsin

2

arcsin 1

tln(1

t t

)

limt

0原原式式0(

)0,1

x

令t

2ett122t

2

tt2112te22te

limlimt

t00

t

1

t

1

t

2

t

2

1

t

(1)e

lim

4tt

0t2232當(dāng)t

0

時(shí),

有l(wèi)n(1

t

)～

t例10xnx求

lim

ln

x

.(

)解:原式1

limx

nxn1x1x

nxn

lim

0

.例11(n

N

).求

limxexnx(

)

limx解:原式

limx

0

.nxn1e

xn(n

1)

xn22

e

xn!x

ne

x

lim例10,例11

表明x

時(shí),ln

x

,e

x

(

0)例后者比前者趨于

更快.xkx

.x

e求

lim解:k

為正整數(shù)的情形.k

不為正整數(shù)的情形.從而xke

xxne

xxn

xk,n1

xe

xxn1由(1)

0

.lim

limx

ex

exn

x

x

0l.x

e

xxn用

準(zhǔn)則

xn1

,(2)

k

不為正整數(shù)的情形.存在正整數(shù)n

,使當(dāng)x

>1

時(shí),應(yīng)用洛必達(dá)法則注意事項(xiàng):或“

型”后才可用洛必達(dá)法則.00極限,

其他型未定式要通過恒等變形化為“ 型”001.

只有“ 型”“型”未定式才可用法則求2.

若g(

x)lim

f

(x)不存在(

)時(shí),g(

x)

g(

x)lim

f

(

x)

lim

f

(

x)

.例如.x

cos

xxx求lim應(yīng)用洛必達(dá)法則求極限時(shí),如果出現(xiàn)其乘積因式的極限一求導(dǎo)且不為0,可把此因子提取出,對(duì)余下的因式應(yīng)用洛必達(dá)法則.洛必達(dá)法則可連續(xù)用,但一定要步步檢查(是否為5.計(jì)算過程中可與各種求極限的方法結(jié)合使用.“

型”00

或“

型”),步步整理(如約去公因子,提出有確定極限的因子).例求解:

原式

limx0

型0x2

limx

1

x2

11

x21x2

112

1

1x

limx思考:如何求limn1n

arctan

n

2

(n為正整數(shù))?

型說明:在滿足定理?xiàng)l件的某些情況下洛必達(dá)法則不能例如,而用洛必達(dá)法則解決計(jì)算問題.四、0

,

,00

,1

,0型未定式解法解x例12

求

lim

x2ex

.(

0

)2x

x原式

lime

xx

x

lim

e

lim

ex

2

x

x

2

.關(guān)鍵:將其它類型未定式化為洛必達(dá)法則可解決的類型

(

0

),

(

)

.0

1. 0

型0化為

型或

型未定式.0

limx0

0例13解求lim

xm

ln

x.x0(

0

)x0

xm原式

lim

ln

xx1

limm1x0

m

xm

xm解sin

x

x

1

).1x0例14

求lim((

)x

sin

x原式

lim

x

sin

xx01

cos

x

limx0

sin

x

x

cos

x

0.2.

型化為

0

型未定式.02x例.

求

lim(sec

x

tan

x).cos

x

sin

x

)

lim

1

sin

x12cos

x解:

原式

lim(xcos

x2x

sin

x

lim

cos

x2xnmn

(m,n均為大于2的整數(shù)).1

x

m例

求limx1

1

x(

)m(1

xn

)

n(1

xm

)n12

m1x1

(1

x)

(1

x

x

)(1

x

x

)原式

lim2(

x

1)lim1m(1

xn

)

n(1

xm

)mn

x12(

x

1)lim1

mn

xn1

mn

xm1mn

x12(

x

1)(m

1)

xm2

(n

1)

xn2

limx1xm1

xn12

limx12

m

n利用對(duì)數(shù)或指數(shù)3.

00

,1

,0

型lim

g(

x

)

ln[

f

(

x

)]g(

x

)

e

x

x0lim

[

f

(

x)]x

x0解x0例15

求lim

xx

.(

00

)x

ln

xx0原式

lim

elim

x

ln

x

ex

0x21lim

x

x

0

1

e

e0

1.1xln

xlimx

0

e三種未定式都化為

0

型未定式.例16x1求lim

x1

x

.x01(

1

)例171求lim(cot

x)ln

x

.x0(

0

)例15

求lim

xx

.(

00

)例15解1x1求lim

x1

x

.(

1

)ln

x1x1原式

lim

e1

xlim

ln

x

ex11

x1x1lliimm

eexx11x1

e1

.例161(

0

),

ln(cot

x

)

lim

ln(cot

x)ln

x

xx0cot

x

sin2

x111求lim(cot

x)ln

x

.x011ln1(cot

x

)解

取取對(duì)數(shù)得得((ccoot

xx)llnnxx

eelnlxn

x

,

limx0x原式

e1

.

limx0

cos

x

sin

x

1,例又g(x)

C

(2),g(0)

1,確定

a

的值使

f

(

x)

在

x

0

處連續(xù)

.求

f

(

x)

.,x

0x

0xa

g(

x)

cos

x設(shè)

f

(

x)

五、注意不是未定式不可使用洛必達(dá)法則.數(shù)列未定式不可直接使用洛必達(dá)法則,應(yīng)先化成一般函數(shù)未定式,再使用法則.例

.

n2

2n

nn

n2

1

求lim(

1

)2

.若用洛必達(dá)法則

,

必須改求

lim

x2

1

2

x

xx

x例

.

n2

2n

nn

n2

1

求lim(

1

)解x

x

2

x

x

x2

1

lim

22x

1

x2

2

x

lim

x

ln

ex1

xln(

x2

2

x

)ln(

x2

1)limx

e

e2原式

e2

.2

.若用洛必達(dá)法則

,

必須改求

lim

x2

1

2

x

xx

x六、小結(jié)洛必達(dá)法則00

,1

,0

型

型0

型0

型

0

型f1

gf

g

1

g

1

ff

g

1

g

1

f令y

f

g取對(duì)數(shù)練習(xí)1.

求lim

ln

x

ln(1

x).x0x2.cos

x1

x

sin

x

2.

求limx0cos

2

x

.求lim

1

cos

x3.x0x(ex

1)1求lim

(1

x)x

e

.5.x0xsin2

x14.

求lim(x0x2

1

).x

x

6.

求

lim

x

x2

ln(1

1

)

.2.解.1

x

sin

x

cos

x求limx0x2x2

( 1

x

sin

x

cos

x

)1

x

sin

x

cos

xx2原式

limx0)00(

2limx0

1

x

sin

x

cos

x2

x2

x

2limx0

s2isninx

xx

xcocsoxs

x

sin

x1

1

4limx0

32cos

x

cxossinxx

x

s3in

x

43.解求lim

1

cos

x

cos

2

x

.x(ex

1)x0x2x0原式

lim

1

cos

x

cos

x

cos

x

cos

2

x0(

)0]2

222xx

x

xcoscxo(s1x(1

cosc2oxs)2

x

)lim11ccoos

xxx0

liim[x02

lim2

11

lim

1

1

cocso2s2xx22

xx00

x

(1x

cos2

x

)2

1

12

3解sin2

x4.

求lim(x01x2

1

).(

)x2

sin2

xx2

sin2

x原式＝

limx0x4x2

sin2

x＝limx0x0＝lim

x

sin

x

x

sin

xx3

x2x0＝2

lim

1

cos

xx3＝135.解1求lim

(1

x)x

e

.x0x)00(x

e原式＝

lim

e

xx01

ln(

1

x

)x1

ln(

1

x

)1x0＝

lim

e(e

x

1)x1

ln(1

x)

1x0＝

e

lim

xx2x0＝

e

lim

ln(1

x)

x2＝

e解xx6.

求

lim

[

x

x2

ln(1

1

)].

(

)x

xx原式＝

lim

x2[

1

ln(1

1

)](

0

)1x2x1

ln(1

1

)＝

lim

xx2t

ln(1

t

)tx

limt

0令t

112