習(xí)題：基本不等式

不等式基本不等式eq\x(一)eq\x(層)eq\x(練)eq\x(習(xí))1．設(shè)x，y∈R，且x＋y＝5，則3x＋3y的最小值為()A．10B．6eq\r(3)C．4eq\r(6)D．18eq\r(3)答案：D2．下列不等式一定成立的是()A．lg(x2＋eq\f(1,4))>lgx(x>0)B．sinx＋eq\f(1,sinx)≥2(x≠kπ，k∈Z)C．x2＋1≥2|x|(x∈R)\f(1,x2＋1)>1(x∈R)解析：應(yīng)用基本不等式：x，y∈R＋，eq\f(x＋y,2)≥eq\r(xy)(當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)取等號(hào))逐個(gè)分析，注意基本不等式的應(yīng)用條件及取等號(hào)的條件．當(dāng)x>0時(shí)，x2＋eq\f(1,4)≥2·x·eq\f(1,2)＝x，所以lgx2＋eq\f(1,4)≥lgx(x>0)，故選項(xiàng)A不正確；運(yùn)用基本不等式時(shí)需保證一正二定三相等，而當(dāng)x≠kπ，k∈Z時(shí)，sinx的正負(fù)不定，故選項(xiàng)B不正確；由基本不等式可知，選項(xiàng)C正確；當(dāng)x＝0時(shí)，有eq\f(1,x2＋1)＝1，故選項(xiàng)D不正確．答案：C3．若a，b∈R，且ab>0，則下列不等式中，恒成立的是()A．a(chǎn)2＋b2>2abB．a(chǎn)＋b≥2eq\r(ab)\f(1,a)＋eq\f(1,b)>eq\f(2,\r(ab))\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2解析：∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴A錯(cuò)誤．對(duì)于B，C，當(dāng)a<0時(shí)，b<0時(shí)，明顯錯(cuò)誤．對(duì)于D，∵ab>0，∴eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2.答案：Deq\x(二)eq\x(層)eq\x(練)eq\x(習(xí))4．(2022·福建卷)若2x＋2y＝1，則x＋y的取值范圍是()A．[0,2]B．[－2,0]C．[－2，＋∞)D．(－∞，－2]解析：利用基本不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于x＋y的不等式，求解不等式即可．∵2x＋2y≥2eq\r(2x＋y)，2x＋2y＝1，∴2eq\r(2x＋y)≤1，∴2x＋y≤eq\f(1,4)＝2－2，∴x＋y≤－2，即(x＋y)∈(－∞，－2]．答案：D5．(2022·山東卷)設(shè)正實(shí)數(shù)x，y，z滿足x2－3xy＋4y2－z＝0，則當(dāng)eq\f(z,xy)取得最小值時(shí)．x＋2y－z的最大值為()A．0\f(9,8)C．2\f(9,4)解析：含三個(gè)參數(shù)x，y，z，消元，利用基本不等式及配方法求最值．z＝x2－3xy＋4y2(x，y，z∈R＋)，∴eq\f(z,xy)＝eq\f(x2－3xy＋4y2,xy)＝eq\f(x,y)＋eq\f(4y,x)－3≥2eq\r(\f(x,y)·\f(4y,x))－3＝1.當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(x,y)＝eq\f(4y,x)，即x＝2y時(shí)“＝”成立，此時(shí)z＝x2－3xy＋4y2＝4y2－6y2＋4y2＝2y2，∴x＋2y－z＝2y＋2y－2y2＝－2y2＋4y＝－2(y－1)2＋2.∴當(dāng)y＝1時(shí)，x＋2y－z取最大值2.答案：C6．(2022·山東卷)設(shè)正實(shí)數(shù)x、y，z滿足x2－3xy＋4y2－z＝0，則當(dāng)eq\f(xy,z)取得最大值時(shí)，eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)－eq\f(2,z)的最大值為()A．0B．1.\f(9,4)D．3解析：含三個(gè)參數(shù)x，y，z，消元，利用基本不等式及配方法求最值．z＝x2－3xy＋4y2(x>0，y>0，z>0)，∴eq\f(xy,z)＝eq\f(xy,x2－3xy＋4y2)＝eq\f(1,\f(x,y)＋\f(4y,x)－3)≤eq\f(1,4－3)＝1.當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(x,y)＝eq\f(4y,x)，即x＝2y時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)z＝x2－3xy＋4y2＝4y2－6y2＋4y2＝2y2，∴eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)－eq\f(2,z)＝eq\f(2,2y)＋eq\f(1,y)－eq\f(2,2y2)＝－eq\f(1,y2)＋eq\f(2,y)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,y)－1))2＋1，∴當(dāng)y＝1時(shí)，eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)－eq\f(2,z)的最大值為1.答案：B7．已知a>0，b>0，a＋b＝2，則y＝eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)的最小值是()\f(7,2)B．4\f(9,2)D．5解析：∵a＋b＝2，∴eq\f(a＋b,2)＝1，∴eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)＝eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))＝eq\f(5,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a,b)＋\f(b,2a)))≥eq\f(5,2)＋2eq\r(\f(2a,b)·\f(b,2a))＝eq\f(9,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(當(dāng)且僅當(dāng)\f(2a,b)＝\f(b,2a)，即b＝2a時(shí)，等號(hào)成立))，故y＝eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)的最小值為eq\f(9,2).答案：C8．(2022·天津卷)設(shè)a＋b＝2，b>0，則eq\f(1,2|a|)＋eq\f(|a|,b)的最小值為________．解析：分a>0和a<0，去掉絕對(duì)值符號(hào)，用均值不等式求解．當(dāng)a>0時(shí)，eq\f(1,2|a|)＋eq\f(|a|,b)＝eq\f(1,2a)＋eq\f(a,b)＝eq\f(a＋b,4a)＋eq\f(a,b)＝eq\f(1,4)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,4a)＋\f(a,b)))≥eq\f(5,4)；當(dāng)a<0時(shí)，eq\f(1,2|a|)＋eq\f(|a|,b)＝eq\f(1,－2a)＋eq\f(－a,b)＝eq\f(a＋b,－4a)＋eq\f(－a,b)＝－eq\f(1,4)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,－4a)＋\f(－a,b)))≥－eq\f(1,4)＋1＝eq\f(3,4).綜上所述，eq\f(1,2|a|)＋eq\f(|a|,b)的最小值是eq\f(3,4).答案：eq\f(3,4)9．(2022·天津卷)設(shè)a＋b＝2，b>0.則當(dāng)a＝______時(shí)，eq\f(1,2|a|)＋eq\f(|a|,b)取得最小值．解析：利用已知條件將常數(shù)“1”代換，然后利用均值不等式求最值，同時(shí)對(duì)a的正負(fù)進(jìn)行分類討論，得到a的值．由于a＋b＝2，所以eq\f(1,2|a|)＋eq\f(|a|,b)＝eq\f(a＋b,4|a|)＋eq\f(|a|,b)＝eq\f(a,4|a|)＋eq\f(b,4|a|)＋eq\f(|a|,b)，由于b>0，|a|>0時(shí)，所以eq\f(b,4|a|)＋eq\f(|a|,b)≥2eq\r(\f(b,4|a|)·\f(|a|,b))＝1，因此當(dāng)a>0時(shí)，eq\f(1,2|a|)＋eq\f(|a|,b)的最小值是eq\f(1,4)＋1＝eq\f(5,4)；當(dāng)a<0時(shí)，eq\f(1,2|a|)＋eq\f(|a|,b)的最小值是－eq\f(1,4)＋1＝eq\f(3,4)，故eq\f(1,2|a|)＋eq\f(|b|,a)的最小值為eq\f(3,4)，此時(shí)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b,4|a|)＝\f(|a|,b)，,a<0，))即a＝－2.答案：－2eq\x(三)eq\x(層)eq\x(練)eq\x(習(xí))10．若正數(shù)x，y滿足x＋3y＝5xy.則3x＋4y的最小值是()\f(24,5)\f(28,5)C．5D．6解析：將已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用基本不等式求解．∵x>0，y>0，由x＋3y＝5xy得eq\f(1,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,y)＋\f(3,x)))＝1.∴3x＋4y＝eq\f(1,5)(3x＋4y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,y)＋\f(3,x)))＝eq\f(1,5)eq\f(3x,y)＋4＋9＋eq\f(12y,x)＝eq\f(13,5)＋eq\f(1,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3x,y)＋\f(12y,x)))≥eq\f(13,5)＋eq\f(1,5)×2eq\r(\f(3x,y)·\f(12y,x))＝5(當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y時(shí)取等號(hào))，∴3x＋4y的最小值為5.答案：C11．(2022·上海卷)設(shè)常數(shù)a>0，若9x＋eq\f(a2,x)≥a＋1對(duì)一切正實(shí)數(shù)x成立，則a的取值范圍是______．答案：eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，＋∞))12．設(shè)x，y∈R且xy≠0，則(x2＋eq\f(1,y2))(eq\f(1,x2)＋4y2)的最小值為________．解析：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,y2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2)＋4y2))＝5＋eq\f(1,x2y2)＋4x2y2≥5＋2eq\r(\f(1,x2y2)·4x2y2)＝9，當(dāng)且僅當(dāng)x2y2＝eq\f(1,2)時(shí)，等號(hào)成立．答案：913．提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況．在一般情況下，大橋上的車流速度v(單位：千米/時(shí))是車流密度x(單位：輛/千米)的函數(shù)．當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時(shí)，造成堵塞，此時(shí)車流速度為0；當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時(shí)，車流速度為60千米/時(shí)，研究表明：當(dāng)20≤x≤200時(shí)，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)．(1)當(dāng)0≤x≤200時(shí)，求函數(shù)v(x)的表達(dá)式；(2)當(dāng)車流密度x為多大時(shí)，車流量(單位時(shí)間內(nèi)通過橋上某觀點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/時(shí))f(x)＝x·v(x)可以達(dá)到最大，并求出最大值(精確到1輛/時(shí))．解析：(1)由題意：當(dāng)0≤x≤20時(shí)，v(x)＝60；當(dāng)20≤x≤200時(shí)，設(shè)v(x)＝ax＋b.再由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(200a＋b＝0，,20a＋b＝60，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(1,3)，,b＝\f(200,3).))故函數(shù)v(x)的表達(dá)式為v(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(60，0≤x≤20，,\f(1,3)200－x，20<x≤200.))(2)依題意并由(1)可得f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(60x，0≤x≤20，,\f(1,3)x200－x，20<x≤200.))當(dāng)0≤x≤20時(shí)，f(x)為增函數(shù)，故當(dāng)x＝20時(shí)，其最大值為60×20＝1200；當(dāng)20<x≤200時(shí)，f(x)＝eq\f(1,3)x(200－x)≤eq\f(1,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(x＋200－x,2)))2＝eq\f(10000,3)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝200－x，即x＝100時(shí)，等號(hào)成立．所以當(dāng)x＝100時(shí)，f(x)在區(qū)間(20,200]上取得最大值eq\f(10000,3).綜上，當(dāng)x＝100時(shí)，f(x)在區(qū)間[0,200]上取得最大值eq\f(10000,3)≈3333，即當(dāng)車流密度為100輛/千米時(shí)，車流量可以達(dá)到最大，最大值約為3333輛/時(shí)．1．在公式a2＋b2≥2ab及eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)的應(yīng)用中，應(yīng)注意三點(diǎn)：(1)a2＋b2≥2ab和eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)成立的條件是不同的，前者只要求a，b都是實(shí)數(shù)，而后者要求a，b都為正數(shù)，例如，(－1)2＋(－3)2≥2(－1)×(－3)成立，而eq\f(－1＋－4,2)≥eq\r(－1×－4)不成立．(2)關(guān)于不等式c≥d及c≤d的含義．不等式“c≥d”的含義是“或者c＞d，或者c＝d”，等價(jià)于“c不小于d”，即若c＞d或c＝d有一個(gè)正確，則c≥d正確．不等式“c≤d”讀作c小于或等于d，其含義是“c<d或者c＝d”，等價(jià)于“c不大于d”，即若c＜d或c＝d中有一個(gè)正確，則c≤d正確．(3)這兩個(gè)公式都是帶有等號(hào)的不等式，因此，對(duì)定理“當(dāng)a，b∈R時(shí)，a2＋b2≥2ab當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立”的含義要搞清楚．它的含義是：①當(dāng)a＝b時(shí)，a2＋b2＝2ab；②當(dāng)a2＋b2＝2ab時(shí)，a＝b；③當(dāng)a≠b時(shí)，a2＋b2＞2ab；④當(dāng)a2＋b2＞2ab時(shí)，a≠b.對(duì)基本不等式：a，b為正數(shù)，則eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)當(dāng)且