復(fù)變函數(shù)課件

1§3初等函數(shù)

通過前面的學(xué)習(xí)，人們?nèi)菀装l(fā)現(xiàn)復(fù)變函數(shù)論與數(shù)學(xué)分析有著十分緊密的聯(lián)系，他們所研究的內(nèi)容、方式十分相似。

初等函數(shù)在數(shù)學(xué)分析中占有十分重要的位置，于是人們自然想到把實(shí)變數(shù)的初等函數(shù)推廣到復(fù)變數(shù)上來。

當(dāng)然，為了保證某種“和諧性”，這種推廣也不是“隨心所欲”的，而是受到某些約束。

當(dāng)把實(shí)變函數(shù)推廣到復(fù)變函數(shù)時(shí)，仍然保留了某些東西，同時(shí)由于推廣的結(jié)果也丟掉了某些東西，而且還增加了某些東西。2指數(shù)函數(shù)1.指數(shù)函數(shù)的定義:定義:對(duì)于任何復(fù)數(shù)z=x+iy,規(guī)定3指數(shù)函數(shù)滿足4

這個(gè)性質(zhì)是實(shí)變指數(shù)函數(shù)所沒有的！指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)(1)(5)5xy(z)帶形區(qū)域角形區(qū)域vu(w)6例1解7例2解求出下列復(fù)數(shù)的輻角主值:892、對(duì)數(shù)函數(shù)定義指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)稱為對(duì)數(shù)函數(shù).即每個(gè)確定的k對(duì)應(yīng)一個(gè)分支10注:故11例1求下列各對(duì)數(shù)的值及其相應(yīng)的主值：12性質(zhì)應(yīng)當(dāng)注意，由于對(duì)數(shù)函數(shù)的多值性，對(duì)于上述等式的理解應(yīng)與復(fù)數(shù)的乘積和商中關(guān)于輻角的等式一樣.13綜上所述，在區(qū)域內(nèi)的反函數(shù)w=lnz

是單值的。由反函數(shù)的求導(dǎo)法則，可知所以ln

z

在除去原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸的平面內(nèi)解析.且有

今后我們應(yīng)用對(duì)數(shù)函數(shù)Lnz時(shí),指的都是它在除去原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸的平面內(nèi)的某一單值分支.14153、冪函數(shù)定義一般而言這里定義的冪函數(shù)為多值函數(shù).(為什么？)下面我們討論幾個(gè)相關(guān)問題：3.1當(dāng)b=n(正整數(shù))----單值函數(shù)16----n值函數(shù)----n值函數(shù)17----無窮多值函數(shù)在除原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸復(fù)平面內(nèi)主值支及各分支解析，且18例3194、三角函數(shù)，雙曲函數(shù)據(jù)此，我們把上述公式推廣到復(fù)三角函數(shù)如下：*****復(fù)三角函數(shù)是由指數(shù)函數(shù)定義的.204.2正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì)21事實(shí)上，根據(jù)定義，有5)各種三角恒等式仍然成立(半角公式除外)

226)Euler公式仍然成立：

8)定義其他的三角函數(shù)：23定義—稱為雙曲正弦和雙曲余弦函數(shù)雙曲正弦和雙曲余弦函數(shù)的性質(zhì)2425

本章內(nèi)容小結(jié)：1、解析函數(shù)的概念，與可導(dǎo)的關(guān)系2、解析的條件3、基本初等函數(shù)5、反三角函數(shù)和反雙曲函數(shù)

由于比較復(fù)雜的緣故，同時(shí)在研究方法上又無新鮮之處，故從略。26

自從有了復(fù)變函數(shù)論，實(shí)數(shù)領(lǐng)域中的禁區(qū)或不能解釋的問題，比如：

負(fù)數(shù)不能開偶數(shù)次方；

負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù)；

指數(shù)函數(shù)無周期性；

正弦、余弦函數(shù)的絕對(duì)值不能超過1；

……

等已經(jīng)不復(fù)存在.27一、重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：難點(diǎn)：1.解析函數(shù)的概念；2.函數(shù)解析性的判別1.解析函數(shù)的概念；2.初等函數(shù)中的多值函數(shù)及主值的概念28二、內(nèi)容提要復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)微分解析函數(shù)初等解析函數(shù)指