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文檔簡介

探函y與

ya

圖的點數(shù)題函數(shù)

y

x

ylogx(a且a

互為反函數(shù)在同一坐標系中它們的圖象的交點個數(shù)取決于的值在此筆以函數(shù)與方程的思想為指導用導數(shù)的知識來探究它們圖象的交點個數(shù)問題.探究由ylogxa

①②

(x0)()

時①+②,得

y

y

x

.

fx)

x

,x

f()f(x)

,即f(a

x

))

.∵

,∴

f(x)

為增函數(shù),∴

.兩邊取自然對數(shù),得

lnaxln

,即xlnln

.令

(x,x

.求,得

g

1.令,得.xlna當

變化時,

g()

的變化情況如下表:

(

1ln

)

1lna

(

1ln

,g

0

+()

極小值

↗由上表可知當

x

1時(1ln極小值lna

g(x)

只有一個極,∴

(x

min

.(ⅰ)當

1

時,方程

()0

無解,此時函數(shù)

y

x

與ylogxa

的圖象沒有交點;(ⅱ)當

,即

a

1

時,方程

()

有一解此時函數(shù)

y

x

與ylogxa

的圖象有一個交點;(ⅲ)當

1

時于

()

內連續(xù)當

x

時,()

;當

x

時,

()

,∴方

()0

有兩解,此時函數(shù)

y

x

aminaminylogxa

的圖象有兩個交點.()

時由①、②,消去

,得

x

③由于x,且,,即x

.對③式兩邊取自然對數(shù),得

axlnlnx

,即

a

lnlna

.兩邊取自然對數(shù),得

xln

lnlna

.令

hx)

lnx1lna,x0,1.求導,得halnaxln

.由

1得xlnx.令()lnxlnln

,

.則

x

.由

,得

x

1.當x)時,;,1)eee

時,

.∴當

11x時,x)eln

.(ⅰ)當

1111,時,(x)恒成立.∴xlnelnaeln

,∵

0

,0x

11即當且僅當a且xxln

時“=號.∴()

內是減函數(shù).又當

x0

時,

(x

;當

x1

時,

(x)

,且

()在(0,1)內連續(xù)∴程

()

恰有一解此函數(shù)yx與

ylogxa

的圖象有一個交點.(ⅱ)當

11,即0時,∵)limx)elnax1lna

,且

)

內連續(xù),∴存在

1),n,1),使得m))e

,∴

.當變時,

hx)

的變化情況如下表:h

(0,m-

(mn+

(n,1)-()

↘由上表可知,

()

(0,m

內是減函數(shù),在

(m)

內是增函數(shù),在

(n,1)

內是減函數(shù)下面證明

(ae

)

,

1he

.

11111111111e

)ln

1lnlna

1e

ln

1

lna

,

0

1e

.

令F(a)

1ln

,

0

1e

.

0

1e

時,Fln(lna(ln0aeee

.∴

F(a)

111)內增函數(shù)又∵(a)在(0,]上續(xù)∴當0eeee

時F()F(

1ee

)

,即

h(ae

)

.1lnae

11)lna,0eee

.

令1G)lnae

,0

1.易證它為減函,∴當0,(a)(),即h()eee

.∵

0

1e

,∴

0

1

1

,又∵當x0,(當1,h()

h(x)

內連續(xù)合

h(x)

的單調性,∴

h(x)

在區(qū)間

1e,(a

,)

,1(e

內各有一個.∴時函數(shù)

y

x

ylogxa

的圖象有三個交點.綜上所述,函

y

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