指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)圖像交點個數(shù)問題

探函y與

ya

圖的點數(shù)題函數(shù)

y

x

與

ylogx(a且a

互為反函數(shù)在同一坐標系中它們的圖象的交點個數(shù)取決于的值在此筆以函數(shù)與方程的思想為指導用導數(shù)的知識來探究它們圖象的交點個數(shù)問題．探究由ylogxa

，

得

①②

(x0)（）

時①+②，得

y

y

x

.

令

fx)

x

,x

則

f()f(x)

,即f(a

x

))

.∵

,∴

f(x)

為增函數(shù),∴

.兩邊取自然對數(shù),得

lnaxln

,即xlnln

.令

(x,x

.求,得

g

1．令,得．xlna當

變化時，

g()

的變化情況如下表：

(

1ln

)

1lna

(

1ln

,g

—

0

+()

↘

極小值

↗由上表可知當

x

1時(1ln極小值lna

∵

g(x)

只有一個極,∴

(x

min

.(ⅰ)當

即

1

時，方程

()0

無解，此時函數(shù)

y

x

與ylogxa

的圖象沒有交點；(ⅱ)當

，即

a

1

時，方程

()

有一解此時函數(shù)

y

x

與ylogxa

的圖象有一個交點；(ⅲ)當

即

1

時于

()

在

內連續(xù)當

x

時，()

；當

x

時，

()

，∴方

()0

有兩解，此時函數(shù)

y

x

與

aminaminylogxa

的圖象有兩個交點．（）

時由①、②，消去

，得

x

③由于x，且，,即x

．對③式兩邊取自然對數(shù)，得

axlnlnx

，即

a

lnlna

．兩邊取自然對數(shù)，得

xln

lnlna

．令

hx)

lnx1lna,x0,1．求導，得halnaxln

．由

1得xlnx．令()lnxlnln

,

．則

x

．由

，得

x

1．當x)時，；,1)eee

時，

．∴當

11x時，x)eln

．(ⅰ)當

1111，時，(x)恒成立．∴xlnelnaeln

，∵

0

，0x

∴

11即當且僅當a且xxln

時“＝號．∴()

在

內是減函數(shù)．又當

x0

時，

(x

；當

x1

時，

(x)

，且

()在(0,1)內連續(xù)∴程

()

恰有一解此函數(shù)yx與

ylogxa

的圖象有一個交點．(ⅱ)當

11，即0時，∵)limx)elnax1lna

，且

)

在

內連續(xù)，∴存在

1),n,1)，使得m))e

，∴

.當變時，

hx)

的變化情況如下表：h

(0,m－

(mn+

(n,1)－()

↘

↗

↘由上表可知，

()

在

(0,m

內是減函數(shù)，在

(m)

內是增函數(shù)，在

(n,1)

內是減函數(shù)下面證明

(ae

)

,

1he

.

11111111111e

)ln

1lnlna

1e

ln

1

lna

,

0

1e

.

令F(a)

1ln

,

0

1e

.

則

當

0

1e

時,Fln(lna(ln0aeee

.∴

F(a)

在

111)內增函數(shù)又∵(a)在(0,]上續(xù)∴當0eeee

時F()F(

1ee

)

,即

h(ae

)

.1lnae

11)lna,0eee

.

令1G)lnae

,0

1.易證它為減函,∴當0,(a)(),即h()eee

.∵

0

1e

,∴

0

1

1

,又∵當x0，(當1，h()

h(x)

在

內連續(xù)合

h(x)

的單調性,∴

h(x)

在區(qū)間

1e,(a

,)

,1(e

內各有一個.∴時函數(shù)

y

x

與

ylogxa

的圖象有三個交點．綜上所述,函

y