2022-2023學(xué)年人教A版必修第二冊 6.3.1　平面向量基本定理 6.3.2　平面向量的正交分解及坐標表示 課件（36張）

6.3.1平面向量基本定理6.3.2平面向量的正交分解及坐標表示第六章2023課標要求1.理解基底的定義,并能判斷兩個向量能否構(gòu)成一個基底.2.理解并掌握平面向量基本定理,會用基底表示平面向量.3.借助平面直角坐標系,掌握平面向量正交分解以及坐標表示的意義.內(nèi)容索引0102基礎(chǔ)落實?必備知識全過關(guān)重難探究?能力素養(yǎng)全提升03學(xué)以致用?隨堂檢測全達標基礎(chǔ)落實?必備知識全過關(guān)知識點1

平面向量基本定理

定理條件e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個

向量

結(jié)論對于這一平面內(nèi)的

向量a,

一對實數(shù)λ1,λ2,使a=

基底若e1,e2

,我們把{e1,e2}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個

不共線

任一有且只有λ1e1+λ2e2

不共線

基底名師點睛對平面向量基本定理的理解(1)基底具備兩個主要特征:①基底是由兩個不共線的向量構(gòu)成的;②基底的選擇是不唯一的.(2)基底e1,e2確定后,平面內(nèi)任一向量a的分解式是唯一的,特別地,當(dāng)a1e1+a2e2=0時,恒有a1=a2=0.(3)用向量解決幾何問題時,可以選擇適當(dāng)?shù)幕?將問題中涉及的向量向基底化歸.過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)平面內(nèi)基底的選取是不唯一的.(

)(2)零向量可以作為基底中的向量.(

)(3)若向量a,b不共線,則{a+b,a-b}可以作為基底.(

)2.a=λ1e1+λ2e2中的一對實數(shù)λ1,λ2是否唯一?√×√提示

當(dāng)e1,e2不共線時,由平面向量基本定理知,λ1,λ2是唯一的;當(dāng)e1,e2共線時,λ1,λ2不唯一.知識點2

平面向量的正交分解及坐標表示1.平面向量的正交分解把一個向量分解為兩個

的向量,叫做把向量作正交分解.

2.平面向量的坐標表示(1)基底:在平面直角坐標系中,設(shè)與x軸、y軸方向

的兩個_______

向量分別為i,j,取{i,j}作為

.

(2)坐標:對于平面內(nèi)的任意一個向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一對實數(shù)x,y,使得a=xi+yj.這樣,平面內(nèi)的任一向量a都可由x,y唯一確定,我們把有序數(shù)對

叫做向量a的坐標,記作a=(x,y),其中,x叫做a在

軸上的坐標,y叫做向量a在

軸上的坐標.

互相垂直

相同

單位

基底

(x,y)xy(3)坐標表示:a=(x,y)叫做向量a的坐標表示.寫向量坐標時要有“=”,與點的坐標區(qū)分.如a=(1,2),點A(1,2)(4)特殊向量的坐標:i=

,j=

,0=

.

(1,0)(0,1)(0,0)過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)在平面直角坐標系中,平面向量的坐標是唯一的.(

)(2)向量的終點的坐標和該向量的坐標相同.(

)(3)若兩個向量的終點不同,則它們的坐標一定不同.(

)2.在直角坐標平面內(nèi),O為原點,向量

的坐標與點A的坐標有什么關(guān)系?√××重難探究?能力素養(yǎng)全提升探究點一對平面向量基本定理的理解【例1】

給出下列說法:①若向量e1,e2不共線,則平面內(nèi)的零向量不能用e1,e2表示;②若向量e1,e2共線,則平面內(nèi)任一向量a都不能用e1,e2表示為a=λ1e1+λ2e2(λ1,λ2∈R)的形式;③若{e1,e2}是一個基底,則{e1+e2,e1-e2}也可以作為一個基底.其中正確說法的序號是

.

答案

③

解析

①錯誤.零向量也可以用一個基底來線性表示.②錯誤.當(dāng)e1,e2共線時,平面內(nèi)的與e1,e2共線的向量可以表示為λ1e1+λ2e2(λ1,λ2∈R)的形式,其余的向量則不可以.③正確.當(dāng)e1,e2不共線時,e1+e2與e1-e2一定不共線,故{e1+e2,e1-e2}可以作為基底.規(guī)律方法

平面向量基本定理的四個要點(1)不共線的向量e1,e2;(2)平面內(nèi)的任意向量a;(3)存在唯一一對實數(shù)λ1,λ2;(4)a=λ1e1+λ2e2.變式訓(xùn)練1A.①② B.①③

C.①④ D.③④

答案B

∴①③可以組成基底,其他兩組分別共線,故不可以,選B.探究點二平面向量基本定理的應(yīng)用角度1用基底表示向量【例2】

在△ABC中,規(guī)律方法

用基底表示向量的方法將兩個不共線的向量作為基底表示其他向量,基本方法有兩種:一種是運用向量的線性運算法則對待求向量不斷進行轉(zhuǎn)化,直至用基底表示為止;另一種是通過列向量方程或方程組的形式,利用基底表示向量的唯一性求解.變式訓(xùn)練2角度2平面向量基本定理的綜合應(yīng)用

答案

-2規(guī)律方法

借助向量的基底表示求向量的數(shù)量積數(shù)量積的計算中,利用平面向量基本定理可以把需要的向量表示出來,再根據(jù)數(shù)量積的運算法則進行計算.變式訓(xùn)練3如圖所示,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,D為BC的中點,E是AB上的一點,且AE=2EB.求證:AD⊥CE.探究點三平面向量的坐標表示【例4】

在平面直角坐標系中,如圖,已知向量a,b,且|a|=4,|b|=3,求它們的坐標.規(guī)律方法

求平面向量坐標的方法(1)若i,j是分別與x軸、y軸同方向的單位向量,則當(dāng)a=xi+yj時,向量a的坐標即為(x,y).(2)求向量的坐標一般轉(zhuǎn)化為求點的坐標.解題時,常常結(jié)合幾何圖形,利用三角函數(shù)的定義和性質(zhì)進行計算.變式訓(xùn)練4本節(jié)要點歸納1.知識清單:(1)平面向量基本定理及其應(yīng)用.(2)平面向量的正交分解及坐標表示.2.方法歸納:數(shù)形結(jié)合.3.常見誤區(qū):忽視基底中的向量不共線.學(xué)以致用?隨堂檢測全達標1.設(shè){e1,e2}是平面內(nèi)一個基底,則(

)A.零向量不能用e1,e2表示B.對實數(shù)λ1,λ2,λ1e1+λ2e2不一定在該平面內(nèi)C.對平面內(nèi)任一向量a,使a=λ1e1+λ2e2的實數(shù)λ1,λ2有無數(shù)對D.若實數(shù)λ1,λ2使λ1e1+λ2e2=0,則λ1=λ2=0答案D

解析

由平面向量基本定理可知D項正確,這是由于0=0e1+0e2,而λ1,λ2是唯一的,所以λ1=λ2=0.2.已知

=(-2,4),則下面說法正確的是(

)A.點A的坐標是(-2,4)B.點B的坐標是(-2,4)C.當(dāng)B是原點時,點A的坐標是(-2,4)D.當(dāng)A是原點時,點B的坐標是(-2,4)答案D

解析

由任一向量的坐標的定義可知,當(dāng)點A是原點時,點B的坐標是(-2,4).答案