習(xí)題：綜合法和分析法

綜合法和分析法一、選擇題1．下列表述：①綜合法是由因?qū)Ч?；②綜合法是順推法；③分析法是執(zhí)果索因法；④分析法是間接證明法；⑤分析法是逆推法．其中正確的語句有()A．2個 B．3個C．4個 D．5個【解析】結(jié)合綜合法和分析法的定義可知①②③⑤均正確，分析法和綜合法均為直接證明法，故④不正確．【答案】C2．要證明eq\r(a)＋eq\r(a＋7)＜eq\r(a＋3)＋eq\r(a＋4)(a≥0)可選擇的方法有多種，其中最合理的是()A．綜合法 B．類比法C．分析法 D．歸納法【解析】要證eq\r(a)＋eq\r(a＋7)＜eq\r(a＋3)＋eq\r(a＋4)，只需證2a＋7＋2eq\r(aa＋7)＜2a＋7＋2eq\r(a＋3a＋4)，只需證eq\r(aa＋7)＜eq\r(a＋3a＋4)，只需證a(a＋7)＜(a＋3)(a＋4)，只需證0＜12，故選用分析法最合理．【答案】C3．已知f(x)＝eq\f(a2x＋1－2,2x＋1)是奇函數(shù)，那么實(shí)數(shù)a的值等于()A．1 B．－1C．0 D．±1【解析】當(dāng)a＝1時，f(x)＝eq\f(2x－1,2x＋1)，f(－x)＝eq\f(1－2x,2x＋1)＝－f(x)，f(x)為奇函數(shù)．a(chǎn)＝－1,0時得不出f(x)為奇函數(shù)，故A正確．【答案】A4．下列函數(shù)f(x)中，滿足“對任意x1，x2∈(0，＋∞)，當(dāng)x1<x2時，都有f(x1)>f(x2)”的是()A．f(x)＝eq\f(1,x) B．f(x)＝(x－1)2C．f(x)＝ex D．f(x)＝ln(x＋1)【解析】若滿足題目中的條件，則f(x)在(0，＋∞)上為減函數(shù)，在A、B、C、D四選項(xiàng)中，由基本函數(shù)性質(zhì)知，A是減函數(shù)，故選A.【答案】A5．對一切實(shí)數(shù)x，不等式x2＋a|x|＋1≥0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，－2] B．[－2,2]C．[－2，＋∞) D．[0，＋∞)【解析】用分離參數(shù)法可得a≥－(|x|＋eq\f(1,|x|))(x≠0)，而|x|＋eq\f(1,|x|)≥2，∴a≥－2，當(dāng)x＝0時原不等式顯然成立．【答案】C二、填空題6．設(shè)A＝eq\f(1,2a)＋eq\f(1,2b)，B＝eq\f(2,a＋b)(a>0，b>0)，則A、B的大小關(guān)系為________．【解析】A－B＝eq\f(a＋b,2ab)－eq\f(2,a＋b)＝eq\f(a＋b2－4ab,2aba＋b)≥0.【答案】A≥B7．若拋物線y＝4x2上的點(diǎn)P到直線y＝4x－5的距離最短，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為________．【解析】數(shù)形結(jié)合知，曲線y＝4x2在點(diǎn)P處的切線l與直線y＝4x－5平行．設(shè)l：y＝4x＋b.將y＝4x＋b代入y＝4x2，得4x2－4x－b＝0，令Δ＝0，得b＝－1.∴4x2－4x＋1＝0，∴x＝eq\f(1,2)，∴y＝1.【答案】(eq\f(1,2)，1)8．補(bǔ)足下面用分析法證明基本不等式eq\f(a2＋b2,2)≥ab的步驟：要證明eq\f(a2＋b2,2)≥ab，只需證明a2＋b2≥2ab，只需證____________，只需證____________．由于____________顯然成立，因此原不等式成立．【解析】要證明eq\f(a2＋b2,2)≥ab，只需證明a2＋b2≥2ab，只需證a2＋b2－2ab≥0，只需證(a－b)2≥0，由于(a－b)2≥0顯然成立，因此原不等式成立．【答案】a2＋b2－2ab≥0(a－b)2≥0(a－b)2≥0三、解答題9．如圖2－2－3所示，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AB，BC的中點(diǎn)，EF∩BD＝G.圖2－2－3求證：平面B1EF⊥平面BDD1B1.【證明】要證明平面B1EF⊥面BDD1B1，只需證面B1EF內(nèi)有一線垂直于面BDD1B1，即EF⊥面BDD1B1.要證EF⊥面BDD1B1，只需證EF垂直平面BDD1B1內(nèi)兩條相交直線即可，即證EF⊥BD，EF⊥B1G.而EF∥AC，AC⊥BD，故EF⊥BD成立．故只需證EF⊥B1G即可．又∵△B1EF為等腰三角形，EF的中點(diǎn)為G，∴B1G⊥EF成立．∴EF⊥面BDD1B1成立，從而問題得證．10．設(shè)a，b>0，且a≠b，用分析法證明：a3＋b3>a2b＋ab2.【證明】要證a3＋b3>a2b＋ab2成立．只需證(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)成立，又因a＋b>0，只需證a2－ab＋b2>ab成立，只需證a2－2ab＋b2>0成立，即證(a－b)2>0成立．而依題設(shè)a≠b，則(a－b)2>0顯然成立．由此命題得證．11．已知a>0，b>0，用兩種方法證明：eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b,\r(a))≥eq\r(a)＋eq\r(b).【證明】法一(綜合法)：因?yàn)閍>0，b>0，所以eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b,\r(a))－eq\r(a)－eq\r(b)＝(eq\f(a,\r(b))－eq\r(b))＋(eq\f(b,\r(a))－eq\r(a))＝eq\f(a－b,\r(b))＋eq\f(b－a,\r(a))＝(a－b)(eq\f(1,\r(b))－eq\f(1,\r(a)))＝eq\f(\r(a)＋\r(b)\r(a)－\r(b)2,\r(ba))所以eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b,\r(a))≥eq\r(a)＋eq\r(b).法二(分析法)：要證eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b,\r(a))≥eq\r(a)＋eq\r(b)，只需證aeq\r(a)＋beq\r(b)≥aeq\r(b)＋beq\r(a)，即證(a－b)(eq\r(a)