習(xí)題3：三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用

三角函數(shù)模型簡(jiǎn)單應(yīng)用1.如圖所示，一個(gè)單擺以O(shè)A為始邊，OB為終邊的角θ(－π<θ<π)與時(shí)間t(s)滿足函數(shù)關(guān)系式θ＝eq\f(1,2)sin(2t＋eq\f(π,2))，則當(dāng)t＝0時(shí)，角θ的大小及單擺頻率是()\f(1,2)，eq\f(1,π) B．2，eq\f(1,π)\f(1,2)，π D．2，π解析：選A.當(dāng)t＝0時(shí)，θ＝eq\f(1,2)sineq\f(π,2)＝eq\f(1,2)，由函數(shù)解析式易知單擺周期為eq\f(2π,2)＝π，故單擺頻率為eq\f(1,π).2．發(fā)電廠發(fā)出的電是三相交流電，它的三根導(dǎo)線上的電流強(qiáng)度分別是時(shí)間t的函數(shù)：IA＝Isinωt，IB＝Isin(ωt＋120°)，IC＝Isin(ωt＋240°)，則IA＋I(xiàn)B＋I(xiàn)C的值為()A．I \r(3)IC．0 D．不能確定解析：選C.由題意得到結(jié)果與t的取值無關(guān)，所以可令t＝0，則IA＋I(xiàn)B＋I(xiàn)C＝Isin120°＋I(xiàn)sin240°＝0.3.如圖所示的是一半徑為3m的圓形水輪，水輪的中心O距離水面2m，已知水輪自點(diǎn)A開始旋轉(zhuǎn)，15s旋轉(zhuǎn)一圈，水輪上的點(diǎn)P到水面的距離y(m)與時(shí)間x(s)滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)＋2，則有()A．ω＝eq\f(2π,15)，A＝3 B．ω＝eq\f(15,2π)，A＝3C．ω＝eq\f(2π,15)，A＝5 D．ω＝eq\f(15,2π)，A＝5解析：選A.∵T＝15，∴ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(2π,15)，顯然ymax－ymin＝6，∴A＝eq\f(ymax－ymin,2)＝eq\f(6,2)＝3.4．曲線y＝Asinωx＋a(A>0，ω>0)在區(qū)間[0，eq\f(2π,ω)]上截直線y＝2及y＝－1所得的弦長(zhǎng)相等且不為0，則下列對(duì)A，a的描述正確的是()A．a(chǎn)＝eq\f(1,2)，A>eq\f(3,2) B．a(chǎn)＝eq\f(1,2)，A≤eq\f(3,2)C．a(chǎn)＝1，A≥1 D．a(chǎn)＝1，A≤1解析：選A.圖象的上下部分的分界線為y＝eq\f(2＋－1,2)＝eq\f(1,2)，得a＝eq\f(1,2)，且2A>3，A>eq\f(3,2).5．商場(chǎng)人流量被定義為每分鐘通過入口的人數(shù)，五一某商場(chǎng)的人流量滿足函數(shù)F(t)＝50＋4sineq\f(t,2)(t≥0)，則人流量是增加的時(shí)間段為()A．[0,5] B．[5,10]C．[10,15] D．[15,20]解析：選C.由－eq\f(π,2)＋2kπ≤eq\f(t,2)≤eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，知函數(shù)F(t)的增區(qū)間為[－π＋4kπ，π＋4kπ]，k∈Z.當(dāng)k＝1時(shí)，t∈[3π，5π]，而[10,15]?[3π，5π]，故選C.6.如圖為某簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖象，這個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)需要________s往返一次．解析：由圖象知周期T＝－0＝，則這個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)需要s往復(fù)一次．答案：7.如圖是電流強(qiáng)度I(單位：安)隨時(shí)間t(單位：秒)變化的函數(shù)I＝Asin(ωt＋eq\f(π,6))(A>0，ω≠0)的圖象，則當(dāng)t＝eq\f(1,50)秒時(shí)，電流強(qiáng)度是________安．解析：由圖象可知，A＝10，周期T＝2×(eq\f(4,300)－eq\f(1,300))＝eq\f(1,50)，所以ω＝eq\f(2π,T)＝100π，所以I＝10sin(100πt＋eq\f(π,6))．當(dāng)t＝eq\f(1,50)秒時(shí)，I＝10sin(2π＋eq\f(π,6))＝5(安)．答案：58．某時(shí)鐘的秒針端點(diǎn)A到中心點(diǎn)O的距離為5cm，秒針均勻地繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時(shí)間t＝0時(shí)，點(diǎn)A與鐘面上標(biāo)12的點(diǎn)B重合，將A與過B點(diǎn)的水平線間的距離d(cm)表示成t(s)的函數(shù)，則d＝__________，其中t∈[0,60]．解析：將解析式可寫為d＝Asin(ωt＋φ)＋b形式，由題意易知A＝5，b＝5.當(dāng)t＝0時(shí)，d＝0，得φ＝－eq\f(π,2).由周期T＝60s，可得ω＝eq\f(2π,60)＝eq\f(π,30)，所以d＝5sin(eq\f(πt,30)－eq\f(π,2))＋5.答案：5sin(eq\f(πt,30)－eq\f(π,2))＋59．如圖，某地一天從6時(shí)到14時(shí)的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋b.(1)求這一天的最大溫差；(2)寫出這段曲線的函數(shù)解析式．解：(1)由圖象可知，最大溫差為30－10＝20(℃)．(2)從圖中可以看出，從6時(shí)到14時(shí)的圖象是函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半個(gè)周期的圖象，所以A＝eq\f(1,2)(30－10)＝10，b＝eq\f(1,2)(30＋10)＝20.∵eq\f(1,2)×eq\f(2π,ω)＝14－6，∴ω＝eq\f(π,8).將x＝6，y＝10代入上式，解得φ＝eq\f(3π,4).綜上，所求解析式為y＝10sin(eq\f(π,8)x＋eq\f(3π,4))＋20，x∈[6,14]．10．大風(fēng)車葉輪最高頂點(diǎn)離地面14.5m，風(fēng)車輪直徑為14m，車輪每分鐘勻速轉(zhuǎn)動(dòng)2周，風(fēng)葉輪頂點(diǎn)從離地面最低點(diǎn)經(jīng)16s后到達(dá)最高點(diǎn)，假設(shè)風(fēng)葉輪離地面高度y(m)與風(fēng)葉輪離地面最低點(diǎn)開始轉(zhuǎn)的時(shí)間t(s)建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型，用函數(shù)y＝asin[ω(t－b)]＋c來表示，試求出其中四個(gè)參數(shù)a，b，c，ω的值．解：葉輪每分鐘旋轉(zhuǎn)2周，即f＝eq\f(2,60)＝eq\f(1,30)，又f＝eq\f(1,T)，∴f＝eq\f(ω,2π).∴ω＝2π×eq\f(1,30)＝eq\f(π,15).葉輪應(yīng)該在離圓心上下、左右7m范圍內(nèi)變