配套課件等差數(shù)列及其前

第二等差數(shù)列及其前n項(xiàng)【知識(shí)梳等差數(shù)列的概如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同常數(shù)公差an+1-等差中

a如果a，A，b成等差數(shù)列，那么A叫做a，b的等差中項(xiàng)，且A= 等差數(shù)列的通項(xiàng)公若等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)是a1，公差是d，則其通項(xiàng)公式為an=a1+(n-等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公已知條前n項(xiàng)和公na1anS nnnS=na1 n 等差數(shù)列的性等差數(shù)列的常用性質(zhì)①通項(xiàng)公式的推

(n-m)_(n，m∈N*)；②若{an}是等差數(shù)列，且k+l=m+n(k，l，m，n∈N*

ak+al=am+；③若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則{a2n}也是等差數(shù)列，公差為2d④若{an}，{bn}是等差數(shù)列，則{pan+qbn}(n∈N*)是等差數(shù)⑤若{an}是等差數(shù)列，則ak，ak+m，ak+2m，…(k，m∈N*)組成公為md的等差數(shù)列①若{an}是等差數(shù)列

{Snn

也成等差數(shù)列，其首項(xiàng)與{an}的

}12②Sm，S2m，S3m分別為{an}的前m項(xiàng)，前2m項(xiàng)，前3m項(xiàng)的和，則S2m-Sm，S3m-S2m成等差數(shù)③關(guān)于等差數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和的性(i)若等差數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)為2n，則=n(an+an+1)，S偶-S奇

an an1(ii)若等差數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)為2n-1，則S偶=(n-1)an，S奇S-S=a，S奇

(其中S，S分別表示數(shù)列{

}中所有

n1 n④兩個(gè)等差數(shù)列

}的前n項(xiàng)和S

之間的關(guān)系為

S2n1

⑤數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=An2+Bn(A≠0)是{an}成等差數(shù)列的充分⑥等差數(shù)列的增減性：d>0時(shí)為遞增數(shù)列，且當(dāng)a1<0時(shí)前n項(xiàng)和有最小值.d<0時(shí)為遞減數(shù)列，且當(dāng)a1>0時(shí)前n項(xiàng)和Sn1.(思考)給出下列命題②數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是對(duì)任意n∈N*，都有③等差數(shù)列{an}的單調(diào)性是由公差d決定的④數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是其通項(xiàng)公式為n的一次函數(shù)其中正確題是( ⑤錯(cuò)誤.根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，Sn=na1nn1d

dn2

)

a1 解得a1

3a13d d3.(2015·溫州模擬)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a2+a6+a10為一 一 11a1a11

11 A.6或 B.7或 C.5或 D.8或

a4 1

da1>a2>a3>…>a6>a7=0>a8>…，所以S6=S7最大 據(jù)前n項(xiàng)和公式知Sn+2=n2a1an722

22

2考點(diǎn)1等差數(shù)列的基本運(yùn)【典例1】(1)(2013高考)設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和S8=4a3，a7=-2，則 A.- B.- C.- (2)(2014浙江高考)已知等差數(shù)列{an}的公差d>0，設(shè){an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1=，S2S3=36.①求d及②求m，k(m，k∈N*)的值，使得【規(guī)范解答】(1)選A.由S8=4a3?8a182

d=4×(a1+2d)；由Sn=na1n2 mk1

所以

【互動(dòng)探究】本例(1)中，已知條件不變，求Sn=nn 【規(guī)律方等差數(shù)列運(yùn)算問題的通性通Sn，知其中三個(gè)就能求另外兩現(xiàn)了方程的思想.等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的用公式

nn1d，若已知通項(xiàng)公式，則使用公式S

na1an2【變式訓(xùn)練】已知等差數(shù)列{an}中，a3+a7-a10=0，a11-a4=4，

a3

a10a11a4a

aa12da16da19d

7d

d 所以

1.在等差數(shù)列

}中，若a+a+a+a+a=90，則

1a的n值為

10 得5a1+35d=90，即a1+7d=181a10-a14=a1+9d-1=2(a13

2×18=12，故選32.(2013高考)在等差數(shù)列{an}中，a1+a3=8，且a4為a2和a9的等比

=4n或

n2 若S5=5，求S6及求d的取值范

=S-

10d

所以 a15d..

或 2或d 2故d的取值范圍為{d|d 2或d 2考點(diǎn)2等差數(shù)列的判定與證 (2)已知數(shù)列1

3

an1

(n≥2，n∈N*)，數(shù){bn}滿足 an1①求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列②求數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)，并說明(2)①因?yàn)?/p>

an1

1an1所以bn+1-bn=

an

an11 an1又b 5

(2

1)1an

an1

1 an1a1 1 a1

為首項(xiàng)，1為公差的等差2nn

1

1 2n

2，則f(x

(

72x 【易錯(cuò)警示】【規(guī)律方法】定義法：證明對(duì)任意正整數(shù)n都有an+1-an等于同一個(gè)等差中：證明對(duì)任意正整數(shù)n都有2an+1=an+an+2后，可遞推得提醒：等差數(shù)列主要的判定方法是定義法和等差中，而對(duì)于通項(xiàng)【變式訓(xùn)練】數(shù)列

}滿足

12

2an

{n求證： }為等差數(shù)列，并求出{n

}的通項(xiàng)公1an11a設(shè) -1，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Bn，對(duì)任意n≥2都anB-Bm成立，求正整數(shù)m

,

2

1 ,

2

an1

2an

an1 an1所 所

為首1-2公差為-1an11 an1

an1

=-an1

an

n1

bn

n11所以Cn1Cnn n1 3n 3n 3n所

1

19所以

【加固訓(xùn)

1

求證：{an}是等差設(shè)

n-30，求數(shù)列a2a

}的前n項(xiàng)和

【解析】(1)因?yàn)镾n=1 8所以Sn-1=(an- 8①-②得Sn-Sn-1=1(an+2)2-1(an- 2 即an=8

81118

n=nb1n2

2

}滿足

2

-

+an-

(1)證明數(shù)列{an+1-an}是等差數(shù)列(2)求

1

1 1ana31an

成立的最小的正整數(shù)an+1- =，即(1=，n-a143

3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列3an43

+2(n-1)=

33累加求和得n123

(2+3+…+n=3所以13(1 an n1所以1

1

3

5 a2 a3 an n1 通考點(diǎn)3等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)【典例3】(1)(201漳州模擬)等差數(shù)列{an}前17項(xiàng)和S17=51，則a5-a7+a9-a1+a1等( ) 【規(guī)范解答】(1)選A.由于S17a1172所以88【通關(guān)錦囊策略策略若a0，d<0，且滿足an 前n項(xiàng)和S最 n若a0，d>0an 前n項(xiàng)和S最 n象或配方法求解，注意高考指重點(diǎn)題策略【通關(guān)題組 所以 所以

4所以n<37，則4

4a11下面是關(guān)于公差d>0的等差數(shù)列{an}的四個(gè)命題p1：數(shù)列{an}是遞增數(shù)列；p2：數(shù)列{nan}是遞增數(shù)列p3

{n

}是遞增數(shù)列；p4：數(shù)列{an+3nd其中的真命題為 p3：數(shù)列anna =1，數(shù)列{an =(an+1-所以4.(2015·福州模擬)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知(1)求公差d的取(2)S1，S2，…，S12中哪一個(gè)值最大？并說明理由

1211d所以

即2a111d13a

aa

d

6d又

7

a

213a

Sn=na1n(n=1，2，3，，12).2所以Sn=n(12-2dnn12

5d [n )]2 因?yàn)?/p>

d3，所以6

5

【加固訓(xùn)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a4=18-a5，則S8等于 8 設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn