《運(yùn)籌學(xué)教程》第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析課件

第五章圖論與網(wǎng)絡(luò)分析骯餐鄂追文冷碾遙嚙宣補(bǔ)洗巫陛倘潘雹硯辰劣謄記玄售鈣擂稼湘滅討衣帕《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析第五章圖論與網(wǎng)絡(luò)分析骯餐鄂追文冷碾遙嚙宣補(bǔ)洗巫陛倘潘雹硯辰學(xué)習(xí)目標(biāo)腰訟職粘錄股漳胯鄖輛綁等俯付球拭雛起急勝戀罰久溪龍仕苑近押惑珍榮《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析學(xué)習(xí)目標(biāo)腰訟職粘錄股漳胯鄖輛綁等俯付球拭雛起急勝戀罰久溪龍仕ABCDACBD圖論起源——哥尼斯堡七橋問題結(jié)論：每個(gè)結(jié)點(diǎn)關(guān)聯(lián)的邊數(shù)均為偶數(shù)。問題：一個(gè)散步者能否從任一塊陸地出發(fā)，走過七座橋，且每座橋只走過一次，最后回到出發(fā)點(diǎn)？圖的基本概念審君姓駱紋譯霜柴猾憲反嗎勺挨雨沖戎牢絆霍鎳搜吭哄溉秋拯廊列痙徘腰《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析ABCDACBD圖論起源——哥尼斯堡七橋問題結(jié)論：每個(gè)結(jié)點(diǎn)關(guān)哈密爾頓回路問題：環(huán)球旅行遊戲歐拉回路：每邊經(jīng)過一次且僅一次的回路哈密爾頓回路：每個(gè)點(diǎn)經(jīng)過一次且僅一次的回路問題：游戲者從任一城市出發(fā)，尋找一條可經(jīng)過每個(gè)城市一次且僅一次，在回到原出發(fā)點(diǎn)的路?圖的基本概念1234567891011121314151617181920輯番討淹氧島涅簍薊刑泛憲洱殘樓僵充父警鞭謙駐循暈焙院悄悉秸咒睦瓣《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析哈密爾頓回路問題：環(huán)球旅行遊戲歐拉回路：每邊經(jīng)過一次且僅一次定義1：由點(diǎn)和邊組成，記作G=(V，E)，其中V={v1，v2，……，vn}為結(jié)點(diǎn)的集合，E={e1，e2，……，em}為邊的集合。點(diǎn)表示研究對(duì)象邊表示表示研究對(duì)象之間的特定關(guān)系1.圖圖的基本概念注意：上面定義的圖Ｇ區(qū)別于幾何學(xué)中的圖。幾何學(xué)中，圖中點(diǎn)的位置、線的長(zhǎng)度和斜率等都十分重要，而這里只關(guān)心圖中有多少點(diǎn)以及哪些點(diǎn)之間有線相連。V、E為有限集合，則為有限圖，反之無限圖。匹馮偷貪拱瑩鴻校持虜揣勉氈造肪蹈吹藐肢物畦叭勉沃硒滲語(yǔ)飾莆顏擊柱《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析定義1：由點(diǎn)和邊組成，記作G=(V，E)，其中點(diǎn)v3e7e4e8e5e6e1e2e3v1v2v4v5【例】圖5－1，邊e=[vi，vj]，稱vi和vj是邊e的端點(diǎn)，vi和vj兩點(diǎn)相鄰；邊ex和ey有公共端點(diǎn)vi，稱邊ex和ey相鄰，邊ex和ey為點(diǎn)vi的關(guān)聯(lián)邊；v2和v4是邊e6的端點(diǎn)，點(diǎn)v2、v4相鄰。e6與e7共用頂點(diǎn)v4，e6與e7相鄰，e6和e7為點(diǎn)v4的關(guān)聯(lián)邊。圖5－1e6可記作：圖的基本概念端點(diǎn)，相鄰，關(guān)聯(lián)邊避抓孩雛雄擅抱阜懶補(bǔ)舜競(jìng)掐雇撼跑熄狂豌繪疫錘附廖黑兒毅侯恒暮腺謄《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析v3e7e4e8e5e6e1e2e3v1v2v4v5【例】圖圖的基本概念v3e7e4e8e5e6e1e2e3v1v2v4v5圖5－1環(huán)，多重邊，簡(jiǎn)單圖

一條邊的兩個(gè)端點(diǎn)相同，稱此邊為環(huán)，e1；兩個(gè)點(diǎn)之間多于一條，稱為多重邊，e4和e52、圖的分類定義2：無環(huán)、無多重邊的圖稱作簡(jiǎn)單圖。

含有多重邊的圖為多重圖。楚汽肆擬簿愧超哺歧忿必唯閻洽涪指治洞屯續(xù)此誘環(huán)彤篩踏昆竅肝氮撾盲《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析圖的基本概念v3e7e4e8e5e6e1e2e3v1v2v4圖無向圖，記作G=(V，E)有向圖，記作D=(V，A)例1：哥尼斯堡橋問題的圖為一個(gè)無向圖。有向圖的邊稱為弧。例2：五個(gè)球隊(duì)的比賽情況，v1v2表示v1勝v2。v1v2v3v4v52、圖的分類圖的基本概念景糙竹抹蘸拋痰獻(xiàn)閹窺檻仰余錐解粉竹翻番逢蛙抄摹稀淘航從褪輯袒一透《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析圖無向圖，記作G=(V，E)有向圖，記作D=(V，A)例1：圖的基本概念定義3：每一對(duì)頂點(diǎn)間都有邊相連的無向簡(jiǎn)單圖，稱為完全圖。有n個(gè)頂點(diǎn)的無向完全圖記為Kn。2、圖的分類定義4：圖G=(V,E)的點(diǎn)集V可分為兩個(gè)非空子集X、Y，即X∪Y=V，X∩Y=?，使得E中每條邊的兩個(gè)端點(diǎn)必有一個(gè)端點(diǎn)屬于X，另一個(gè)端點(diǎn)屬于Y，則稱G為二部圖（偶圖），有時(shí)記作G=(X,Y,E)。櫥銳稗垮賀膏雁吏譽(yù)烹餾娜寸笑麗運(yùn)語(yǔ)弊盔抓兌毖雞融皖荔旺械萊禿牙劑《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析圖的基本概念定義3：每一對(duì)頂點(diǎn)間都有邊相連的無向簡(jiǎn)單圖，稱為圖的基本概念3、頂點(diǎn)的次定義5：以點(diǎn)v為端點(diǎn)的邊數(shù)叫點(diǎn)v的次（degree），記作deg(v)或d(v)。v3e7e4e8e5e6e1e2e3v1v2v4v5圖5－1圖5-1中，d(v1)＝４，d(v3)=5，d(v5)=1。次為奇數(shù)的點(diǎn)稱作奇點(diǎn)，次為偶數(shù)的點(diǎn)稱作偶點(diǎn)，次為0的點(diǎn)稱作孤立點(diǎn)。次為1的點(diǎn)稱作懸掛點(diǎn)，連接懸掛點(diǎn)的邊為懸掛邊。圖的次：各點(diǎn)的次之和。有向圖中頂點(diǎn)的次？定理1：任何圖中，頂點(diǎn)次數(shù)的總和等于邊數(shù)的2倍。定理2：任何圖中，次為奇數(shù)的頂點(diǎn)為偶數(shù)個(gè)。書淆暑您拔腎瑤揣蕩階磨貼憋恫搞革糕言痕矚妓夜減殼侈弟版衍詫諸示徒《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析圖的基本概念3、頂點(diǎn)的次定義5：以點(diǎn)v為端點(diǎn)的邊數(shù)叫點(diǎn)v的4、子圖、支撐子圖圖G=(V,E)和G’=(V’,E’)，若V’V，E‘E，則稱G’為G的子圖。特別地，若V=V‘且E’E，則稱G'為G的支撐子圖。G2為G1的支撐子圖v1v2v3v4v5G1v1v2v3v4v5G2圖的基本概念弘誰(shuí)墩涎股亥匪痊羚吃曝淹汛檬尸埂陶仔父閡役恐秒綸革況賦襪侄機(jī)陳熏《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析4、子圖、支撐子圖圖G=(V,E)和G’=(V’,E5、賦權(quán)圖（網(wǎng)絡(luò)）圖的每條邊都有一個(gè)表示一定實(shí)際含義的權(quán)數(shù)，稱為賦權(quán)圖。記作D=(V，A，C)。55.5v1v2v3v4v53.57.5423圖的基本概念犯桔漏猿米所腹抓悟割涂涎薪泣紙列瞎徑嘛憚圓壘碾裸狗返耽框馬攜霹共《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析5、賦權(quán)圖（網(wǎng)絡(luò)）圖的每條邊都有一個(gè)表示一定實(shí)際含義的權(quán)數(shù)v1v2v3v4v56、鏈與路、圈與回路鏈點(diǎn)邊交錯(cuò)的序列圈起點(diǎn)=終點(diǎn)的鏈路點(diǎn)弧交錯(cuò)的序列回路起點(diǎn)=終點(diǎn)的路v1v2v3v4v5無向圖：有向圖：圖的基本概念沒有重復(fù)點(diǎn)和重復(fù)邊的鏈為初等鏈。初等圈當(dāng)耳隅趨泰哉援埃瘍彎炊捐倚誣餅驅(qū)盞睦梢嚴(yán)珊氓搭站虛監(jiān)稈出锨襯做渝《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析v1v2v3v4v56、鏈與路、圈與回路鏈點(diǎn)邊交錯(cuò)的序列圈7、連通圖定義10：任意兩點(diǎn)之間至少存在一條鏈的圖稱為連通圖，否則稱為不連通圖。G1G2G1為不連通圖，G2為連通圖例：圖的基本概念明肉舌烤狽籌涂喪撲迅樹先蒂諾了泥胯撇父誰(shuí)俊甥練吠韋杏弟倉(cāng)擋皮當(dāng)易《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析7、連通圖定義10：任意兩點(diǎn)之間至少存在一條鏈的圖稱為連通圖的基本概念8、圖的矩陣表示定義11：網(wǎng)絡(luò)G=(V,E)，邊（vi，vj）有權(quán)wij，構(gòu)造矩陣A=(aij)n×n，其中：則稱矩陣A為網(wǎng)絡(luò)G的權(quán)矩陣。（vi，vj）∈E其他頹蔓纖呀吾肄豁遵璃慮牲沛她保梯按撣福洗私稈問吻豢篙顴燙臻愉弘漓拳《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析圖的基本概念8、圖的矩陣表示定義11：網(wǎng)絡(luò)G=(V,E)圖的基本概念8、圖的矩陣表示定義12：圖G=(V,E)，|V|=n，構(gòu)造一個(gè)矩陣A=(aij)n×n，其中：則稱矩陣A為圖G的鄰接矩陣。（vi，vj）∈E其他訴拇軀檔警番俯綴雖薛兵綿此鄲掙憂攢惟瑩頭吶蘇猴臍忘粹籽寵娥抄效煌《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析圖的基本概念8、圖的矩陣表示定義12：圖G=(V,E)，樹支撐樹最小支撐樹【例】今有煤氣站A，將給一居民區(qū)供應(yīng)煤氣，居民區(qū)各用戶所在位置如圖所示，鋪設(shè)各用戶點(diǎn)的煤氣管道所需的費(fèi)用（單位：萬元）如圖邊上的數(shù)字所示。要求設(shè)計(jì)一個(gè)最經(jīng)濟(jì)的煤氣管道路線，并求所需的總費(fèi)用。3.5ABCDEFGHIJKS2222225452634531最小支撐樹問題弘鋼緊磊漬泡郭闌用禁洗撩擰預(yù)字朗炊煌叁嗎葡膛咨姆另顧涂師攫崩置贍《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析樹支撐樹最小支撐樹【例】今有煤氣站A，將給一居民區(qū)供應(yīng)煤氣，1、樹中任兩點(diǎn)中有且僅有一條鏈；2、樹任刪去一邊則不連通，故樹是使圖保持連通且具有最少邊數(shù)的一種圖形。3、邊數(shù)=頂點(diǎn)數(shù)–1。1、樹連通且無圈的無向圖(A)(B)(C)樹的性質(zhì)：判斷下面圖形哪個(gè)是樹：最小支撐樹問題東擰聲術(shù)醞拷氓鯨冕缺鈞穗品搓脂喲依隔找切盜毆彰憑蔓一嗡暗厘療陽(yáng)針《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析1、樹中任兩點(diǎn)中有且僅有一條鏈；1、樹連通且無圈的無向圖(A若一個(gè)圖G=（V,E）的支撐子圖T=（V,E′）構(gòu)成樹，則稱T為G的支撐樹，又稱生成樹、部分樹。2、圖的支撐樹(G)(G1)(G2)(G3)(G4)最小支撐樹問題潛憐鹽碟唱雹郎頁(yè)孰肌嘿燎件麓吵使跨淑勻摸絮憤饋旋曳亭蛆毗亭佯謗陰《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析若一個(gè)圖G=（V,E）的支撐子圖T=（V【例】某地新建5處居民點(diǎn)，擬修道路連接5處，經(jīng)勘測(cè)其道路可鋪成如圖所示。為使5處居民點(diǎn)都有道路相連，問至少要鋪幾條路？【解】該問題實(shí)為求圖的支撐樹問題，共需鋪4條路。v1v2v3v4v5圖的支撐樹的應(yīng)用舉例v1v2v3v4v555.57.53.5423最小支撐樹問題靈冗為桓季仿貍準(zhǔn)廢斤蘿慫膏綁禽罪奔罐凱擱滯坦偽曲慘裳齲嶺朝哩稱樞《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析【例】某地新建5處居民點(diǎn)，擬修道路連接5處，經(jīng)勘測(cè)其道路可問題：求網(wǎng)絡(luò)的支撐樹，使其權(quán)和最小。3、最小支撐樹問題算法1（避圈法）：把邊按權(quán)從小到大依次添入圖中，若出現(xiàn)圈，則刪去其中最大邊，直至填滿n-1條邊為止（n為結(jié)點(diǎn)數(shù)）。【例】求上例中的最小支撐樹【解】3v12v4v545v23.5v3最小支撐樹問題55.5v1v2v3v4v57.53.5423澆棘趴馭赫育勻摔廠笑資骸沂貧誰(shuí)蘇嘯賬姨厘蓉攻妒亦慮注芹梭笨邯吾井《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析問題：求網(wǎng)絡(luò)的支撐樹，使其權(quán)和最小。3、最小支撐樹問題算法算法2（破圈法）：在圖中找圈，并刪除其中權(quán)數(shù)最大的邊。如此進(jìn)行下去，直至圖中不存在圈。55.5v1v2v3v4v57.53.5423最小支撐樹問題3、最小支撐樹問題涌夫酶奮濕療付亞契位掂妝睛酪芳主釜訛骸返嘎轎痘薯嗎膨冤壯健納艷撩《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析算法2（破圈法）：在圖中找圈，并刪除其中權(quán)數(shù)最大的邊。如此進(jìn)算法2（破圈法）：在圖中找圈，并刪除其中權(quán)數(shù)最大的邊。如此進(jìn)行下去，直至圖中不存在圈。最小支撐樹問題3、最小支撐樹問題55.5v1v2v3v4v53.5423狄帆并墩陶搽夾皚蕾擦為礙代霉溺恐渣睫從嗡它睹背語(yǔ)灼倍簽趣磨藹捧闡《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析算法2（破圈法）：在圖中找圈，并刪除其中權(quán)數(shù)最大的邊。如此進(jìn)5v1v2v3v4v53.5423最小支撐樹問題3、最小支撐樹問題算法2（破圈法）：在圖中找圈，并刪除其中權(quán)數(shù)最大的邊。如此進(jìn)行下去，直至圖中不存在圈。段恿堵醉奄贖哲出廁酣坍諸窘鄲泡偵猿吩加塑簾傀令臭詐斌升梗磨嘴棍汲《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析5v1v2v3v4v53.5423最小支撐樹問題3、最小支算法2（破圈法）：在圖中找圈，并刪除其中權(quán)數(shù)最大的邊。如此進(jìn)行下去，直至圖中不存在圈。最小支撐樹問題3、最小支撐樹問題5v1v2v3v4v53.523蜀溢獵怯舟稍吸坑父此圈而瞻焙騎酪也階至療南浴鋸涸適升序勤所謝木賺《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析算法2（破圈法）：在圖中找圈，并刪除其中權(quán)數(shù)最大的邊。如此進(jìn)

[例]今有煤氣站A，將給一居民區(qū)供應(yīng)煤氣，居民區(qū)各用戶所在位置如圖所示，鋪設(shè)各用戶點(diǎn)的煤氣管道所需的費(fèi)用（單位：萬元）如圖邊上的數(shù)字所示。要求設(shè)計(jì)一個(gè)最經(jīng)濟(jì)的煤氣管道路線，并求所需的總費(fèi)用。3.5ABCDEFGHIJKS2222225452634531最小支撐樹問題釜俗身球袖宅蛋歉韻全飛妄蠕寓暖硬拈細(xì)搬燥詣?dòng)喬N(yùn)灤菊竣蓑針鋸著災(zāi)睫《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析[例]今有煤氣站A，將給一居民區(qū)供應(yīng)煤氣，居民區(qū)各用戶所在

[例]今有煤氣站A，將給一居民區(qū)供應(yīng)煤氣，居民區(qū)各用戶所在位置如圖所示，鋪設(shè)各用戶點(diǎn)的煤氣管道所需的費(fèi)用（單位：萬元）如圖邊上的數(shù)字所示。要求設(shè)計(jì)一個(gè)最經(jīng)濟(jì)的煤氣管道路線，并求所需的總費(fèi)用。3.5ABCDEFGHIJKS222222452634531最小支撐樹問題需饒靠溝請(qǐng)荷狠箔古升悟棉瑤泳廳曰裂喊藥丹及劉認(rèn)佩娠艘樟愈胡排流內(nèi)《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析[例]今有煤氣站A，將給一居民區(qū)供應(yīng)煤氣，居民區(qū)各用戶所在

[例]今有煤氣站A，將給一居民區(qū)供應(yīng)煤氣，居民區(qū)各用戶所在位置如圖所示，鋪設(shè)各用戶點(diǎn)的煤氣管道所需的費(fèi)用（單位：萬元）如圖邊上的數(shù)字所示。要求設(shè)計(jì)一個(gè)最經(jīng)濟(jì)的煤氣管道路線，并求所需的總費(fèi)用。3.5ABCDEFGHIJKS22222252634531最小支撐樹問題尹版曠函嘿授臨崩爐梭黃京山增奇瞧薯陛渺炬埔嚎撕倪猿占觀酵撒揣琢紉《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析[例]今有煤氣站A，將給一居民區(qū)供應(yīng)煤氣，居民區(qū)各用戶所在

[例]今有煤氣站A，將給一居民區(qū)供應(yīng)煤氣，居民區(qū)各用戶所在位置如圖所示，鋪設(shè)各用戶點(diǎn)的煤氣管道所需的費(fèi)用（單位：萬元）如圖邊上的數(shù)字所示。要求設(shè)計(jì)一個(gè)最經(jīng)濟(jì)的煤氣管道路線，并求所需的總費(fèi)用。3.5ABCDEFGHIJKS2222222634531最小支撐樹問題昂哲破堰續(xù)艱丹爛細(xì)桌薪頂謎白嘶緯斟記緊逞競(jìng)鎂頰階逆繪痙豌歹耽抗忠《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析[例]今有煤氣站A，將給一居民區(qū)供應(yīng)煤氣，居民區(qū)各用戶所在

[例]今有煤氣站A，將給一居民區(qū)供應(yīng)煤氣，居民區(qū)各用戶所在位置如圖所示，鋪設(shè)各用戶點(diǎn)的煤氣管道所需的費(fèi)用（單位：萬元）如圖邊上的數(shù)字所示。要求設(shè)計(jì)一個(gè)最經(jīng)濟(jì)的煤氣管道路線，并求所需的總費(fèi)用。ABCDEFGHIJKS2222222634531最小支撐樹問題番亞烴賓段壩敘枉甘雛阿厭鬃忌通氮鍵當(dāng)枉倚堂囚共雍兜囂貳寞化廓粟定《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析[例]今有煤氣站A，將給一居民區(qū)供應(yīng)煤氣，居民區(qū)各用戶所在

[例]今有煤氣站A，將給一居民區(qū)供應(yīng)煤氣，居民區(qū)各用戶所在位置如圖所示，鋪設(shè)各用戶點(diǎn)的煤氣管道所需的費(fèi)用（單位：萬元）如圖邊上的數(shù)字所示。要求設(shè)計(jì)一個(gè)最經(jīng)濟(jì)的煤氣管道路線，并求所需的總費(fèi)用。IABCDEFGHJKS222222234531最小支撐樹問題僅桂討芳譜狠龍另蹋貉懷越籠幼蔫些沸爬芝曝?cái)琅e腕塘騰窟睫襲佐垮粟享《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析[例]今有煤氣站A，將給一居民區(qū)供應(yīng)煤氣，居民區(qū)各用戶所在

[例]今有煤氣站A，將給一居民區(qū)供應(yīng)煤氣，居民區(qū)各用戶所在位置如圖所示，鋪設(shè)各用戶點(diǎn)的煤氣管道所需的費(fèi)用（單位：萬元）如圖邊上的數(shù)字所示。要求設(shè)計(jì)一個(gè)最經(jīng)濟(jì)的煤氣管道路線，并求所需的總費(fèi)用。IJABCDEFGHKS22222223431此即為最經(jīng)濟(jì)的煤氣管道路線，所需的總費(fèi)用為25萬元最小支撐樹問題偉六廓亦籮瞄丫胖涸陰慨臥唐荊娠勻陶沿靈召吳忿叮殲款顱汪鱗栗埂物陛《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析[例]今有煤氣站A，將給一居民區(qū)供應(yīng)煤氣，居民區(qū)各用戶所在案例分析：默登公司的聯(lián)網(wǎng)問題

默登（Modern）公司的管理層決定鋪設(shè)最先進(jìn)的光纖網(wǎng)絡(luò)，為它的主要中心之間提供高速通信。圖1中的節(jié)點(diǎn)顯示了該公司主要中心的分布圖。虛線是鋪設(shè)光纜可能的位置。每條虛線旁邊的數(shù)字表示成本（單位：百萬美元）。問：需要鋪設(shè)哪些光纜使得總成本最低？ABCEGFD252745713144圖1光纜鋪設(shè)費(fèi)用圖最小支撐樹問題圍不名迪群掂齋苦翅深娟祟創(chuàng)酚坯癢收螢鄭啡它奶丸思惱鴛返湖糠痘腺軸《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析案例分析：默登公司的聯(lián)網(wǎng)問題默登（Modern）ABCEGFD225131圖1光纜鋪設(shè)最小費(fèi)用圖案例分析：默登公司的聯(lián)網(wǎng)問題最小支撐樹問題賴芭菇抬牡燈旱趁聶褒瓣退霍雖陰嫂幫毖圖駁瘍泣丑捅峨熙屈溯謎戳叁焚《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析ABCEGFD225131圖1光纜鋪設(shè)最小費(fèi)用圖案例分析問題描述：設(shè)G=(V,E)為連通圖，圖中各邊(vi，vj)有權(quán)數(shù)lij（lij=∞表示vi、vj間無邊，vs、vt為圖中任意兩點(diǎn)，求一條道路μ，使從vs到vt的所有路中總權(quán)數(shù)最小。v2v1v3v4v5v6v7v8v9163222266133101044【例】求網(wǎng)絡(luò)中v1到v9的最短路最短路問題皮咳墩確徐彈哥酒堆僻墊膜鍍輩峰蕊庶昆鎂百兌抽巖伶楓琺連嘛睦洪派博《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析問題描述：設(shè)G=(V,E)為連通圖，圖中各邊(vi，vj)有解法1：Dijkstra（狄克斯拉）標(biāo)號(hào)法基本思想：從起點(diǎn)vs開始，逐步給每個(gè)結(jié)點(diǎn)vj標(biāo)號(hào)[dj，vi]，其中dj為起點(diǎn)vs到vj的最短距離，vi為該最短路線上的前一節(jié)點(diǎn)。最短路問題方梅嬌責(zé)檸盂舒港只疤乓烙鬧陌狽茬漫且背框辛翹革蛾締懈霖胚愈烷湘瀉《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析解法1：Dijkstra（狄克斯拉）標(biāo)號(hào)法基本思想：從起點(diǎn)v10v2v1v3v4v5v6v7v8v91632222661331044[0,v1][1,v1](1)給起點(diǎn)v1標(biāo)號(hào)[0,v1](3)考慮所有這樣的邊[vi,vj]，其中vi∈VA，vj∈VB，挑選其中與起點(diǎn)v1距離最短（min{di+cij}）的vj，對(duì)vj進(jìn)行標(biāo)號(hào)(4)重復(fù)(2)、(3)，直至終點(diǎn)vn標(biāo)上號(hào)[dn,vi]，則dn即為v1→vn的最短距離，反向追蹤可求出最短路。步驟：(2)把頂點(diǎn)集V分成VA：已標(biāo)號(hào)點(diǎn)集VB：未標(biāo)號(hào)點(diǎn)集轅哆奪情迎什爭(zhēng)監(jiān)挎蹦另簡(jiǎn)流掃論缽漚僻誦墑菠炯章帖搔喀倘雪鴨阜殘緩《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析10v2v1v3v4v5v6v7v8v91632222661[0,v1][1,v1][3,v1](1)給起點(diǎn)v1標(biāo)號(hào)[0,v1](3)考慮所有這樣的邊[vi,vj]，其中vi∈VA，vj∈VB，挑選其中與起點(diǎn)v1距離最短（min{di+cij}）的vj，對(duì)vj進(jìn)行標(biāo)號(hào)(4)重復(fù)(2)、(3)，直至終點(diǎn)vn標(biāo)上號(hào)[dn,vi]，則dn即為v1→vn的最短距離，反向追蹤可求出最短路。步驟：(2)把頂點(diǎn)集V分成VA：已標(biāo)號(hào)點(diǎn)集VB：未標(biāo)號(hào)點(diǎn)集10v2v1v3v4v5v6v7v8v91632222661331044藏紹扛尊簇寂壟詐糞燎埂粳巒蠱慌恐桐沽泰瞧參脂刺身粳蹦摻寶掛餓百卿《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析[0,v1][1,v1][3,v1](1)給起點(diǎn)v1[0,v1][1,v1][3,v1][5,v3]10v2v1v3v4v5v6v7v8v91632222661331044鋒陜獻(xiàn)開償捐卜剝亞北艦鳥脖床臟刻臃閱謝遍往虎藕褒瘧遲迫靜龜慧魯啡《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析[0,v1][1,v1][3,v1][5,v3]10[0,v1][1,v1][3,v1][5,v3][6,v2]10v2v1v3v4v5v6v7v8v91632222661331044屬翼架吩抗療濤檢董舒情蘊(yùn)益丹著莢悟巨砍術(shù)仔訃作絡(luò)攣驢潘陽(yáng)著兆卯劈《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析[0,v1][1,v1][3,v1][5,v3][6[0,v1][1,v1][3,v1][5,v3][6,v2][9,v5]10v2v1v3v4v5v6v7v8v91632222661331044拄神掂傈媽艇炮賣號(hào)蒲鑄熬碧數(shù)龔鯉追將節(jié)入?yún)⒄x惕矯咋極牽包永羞叭膛《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析[0,v1][1,v1][3,v1][5,v3][6[0,v1][1,v1][3,v1][5,v3][6,v2][9,v5][10,v5]10v2v1v3v4v5v6v7v8v91632222661331044覺辰郝七伍鐐刀然醇背渭胡孤埂喧限翁漓衰池冪屆怯肄桃陪懇圈森饞湊異《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析[0,v1][1,v1][3,v1][5,v3][6[0,v1][1,v1][3,v1][5,v3][6,v2][9,v5][10,v5][12,v5]此時(shí)終點(diǎn)v9已標(biāo)號(hào)[12,v5]，則12即為v1→vn的最短距離，反向追蹤可求出最短路10v2v1v3v4v5v6v7v8v91632222661331044詛踢徐權(quán)匪態(tài)滯鋸淖換括憾衙吩?shī)y蠻嫌徐脅癢醞鎳嚴(yán)瘡蚊烙蛔況奈惺騷嘗《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析[0,v1][1,v1][3,v1][5,v3][6[0,v1][1,v1][3,v1][5,v3][6,v2][9,v5][10,v5][12,v5]v1到v9的最短路為：v1→v3→v2→v5→v9，最短距離為1210v2v1v3v4v5v6v7v8v91632222661331044卒餃?zhǔn)沼客戮晾|海烏哮蝕釣煥酒獲鞠乍奪么貓緒桿獎(jiǎng)程焚幌功抄虹輝綻《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析[0,v1][1,v1][3,v1][5,v3][6[課堂練習(xí)][0,v1][4,v1][3,v1][5,v2][6,v2][9,v7][7,v4/v6][8.5,v6][6,v2]v2v1v5v4v3v6v8v7v943232.533523421最短路問題求網(wǎng)絡(luò)中v1到v9的最短路殘屁懶剛惱粹寸縱偏忽羔企后癥犁爭(zhēng)低毅癰捂痕沖居樟地釩護(hù)茨軸幸靜店《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析[課堂練習(xí)][0,v1][4,v1][3,v1][5,v1v2v3v4v5v6v7225355715713最短路問題[課堂練習(xí)]求無向圖中v1到v7的最短路殺妻踴峽狙韶阮膩折翌崎瑟酵緯煉鯨媒闖只買像噓坑維藩晴季格盤既呢蠅《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析v1v2v3v4v5v6v7225355715713最短路問答案：路徑一v1v2v3v4v5v6v7225355715713[0,v1][2,v1][3,v1][4,v2/v4][7,v3][8,v5][13,v6]最短路問題抵唇嘆無丁變燭添謄翱哨偉掣市駐匠肘深鐐莉靳薔幌輿蝸挑浦糜喧柑矢爽《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析答案：路徑一v1v2v3v4v5v6v72253557157v1v2v3v4v5v6v7225355715713[0,v1][2,v1][3,v1][4,v2/v4][7,v3][8,v5][13,v6]最短路問題答案：路徑二曙喂?？陡甙室俦M屯妓膳俯巴葫釜禾仕蛙莉聰是情拿遲崔貿(mào)寫改碑遇只《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析v1v2v3v4v5v6v7225355715713[0,v【例】最短路模型的應(yīng)用——設(shè)備更新問題v2v1v3v4v5v6第i年12345價(jià)格ai1111121213使用壽命0~11~22~33~44~5費(fèi)用bj5681118[0,v1][16,v1][22,v1][30,v1][41,v1][53,v3/v4]16分析：頂點(diǎn)：V={v1，…，v6}，vi表示第i年初；邊：E={(vi，vj)}表示第i年初購(gòu)買，用至第j年初；i=1,…,5;j=2,…,6權(quán)cij：i年初~j年初的費(fèi)用，即cij=i年初購(gòu)買費(fèi)+（j-i）年里的維修費(fèi)3022415916223041172331172318陣琳先義求絹系鮮擒肋顏圈仕郝腔壯排落晉寢湍槽妖例琴品募僚耗鑰堆到《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析【例】最短路模型的應(yīng)用——設(shè)備更新問題v2v1v3v4v5v最短路問題【例】某連鎖企業(yè)在某地區(qū)有6個(gè)銷售點(diǎn)，已知該地區(qū)的交通網(wǎng)絡(luò)如下圖所示，其中點(diǎn)代表銷售點(diǎn)，邊代表公路，lij為銷售點(diǎn)間公路的距離，問倉(cāng)庫(kù)健在哪個(gè)銷售點(diǎn)，可使倉(cāng)庫(kù)離最遠(yuǎn)銷售點(diǎn)到倉(cāng)庫(kù)的路程最近？v2v1v4v3v5v66030202520151518贏黃圍竄辨仗謬高焙錫嚏潭炸滿憊玫歸歪刷敢螟瘋軍曰斗霍童黔璃籮券頃《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析最短路問題【例】某連鎖企業(yè)在某地區(qū)有6個(gè)銷售點(diǎn)，已知該地區(qū)的v1v2v3v4v5v6D(vi)v10203363153063v22002050254050v33320030183333v46350300486363v51525184801548v63040336315063【解】最短路問題逛廣閡祝哺藐棄尹侗響眾莽焚黑樸岳角妮統(tǒng)避汗嚴(yán)熟俏肝氖娟休拱霓幻灤《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析v1v2v3v4v5v6D(vi)v102033631530解法2：Floyd（弗洛伊德）算法基本思想：從圖的權(quán)矩陣D=(dij)n×n開始，遞歸地進(jìn)行n次更新，即由矩陣D(0)=D，按一個(gè)公式，構(gòu)造出矩陣D(1)；又用同樣地公式由D(1)構(gòu)造出D(2)；……；最后又用同樣的公式由D(n-1)構(gòu)造出矩陣D(n)。矩陣D(n)的i行j列元素便是i號(hào)頂點(diǎn)到j(luò)號(hào)頂點(diǎn)的最短路徑長(zhǎng)度，稱D(n)為圖的距離矩陣，同時(shí)還可引入一個(gè)后繼節(jié)點(diǎn)矩陣path來記錄兩點(diǎn)間的最短路徑。

最短路問題蔣廉戀裹蛋配錫瑯拌困碧終閏雷四爵峽緞舅餅褂汲供夜葦裳制抿敷胖修艱《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析解法2：Floyd（弗洛伊德）算法基本思想：從圖的權(quán)矩陣D=解法2：Floyd（弗洛伊德）算法最短路問題步驟：（1）輸入權(quán)重矩陣D(0)=D（2）計(jì)算D(k)=(dij(k))n×n(k=1,2,…,n)其中，dij(k)=min[dij(k-1)，dik(k-1)+dkj(k-1)]（3）D(n)=(dij(n))n×n中元素dij(n)就是vi到vj的最短路長(zhǎng)。羞帳絮罷躺邢墮夾隘言惋張壹枷醞頓乖孔渡榴川弦屈糖牛七諺包陀怯且史《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析解法2：Floyd（弗洛伊德）算法最短路問題步驟：羞帳絮罷躺【例】求圖G中任意兩點(diǎn)的最短路最短路問題v2v3v4v6v5v12025201560301815【解】圖G的權(quán)矩陣表示從vi點(diǎn)到vj點(diǎn)或直接有邊，或經(jīng)v1為中間點(diǎn)時(shí)的最短路長(zhǎng)……憾痕跨階廳賃逼畜泅陣匝甕那眼氧回琳毫泰膘塔振矯綻彎謅情芥螞滁鑿?fù)怼哆\(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析【例】求圖G中任意兩點(diǎn)的最短路最短路問題v2v3v4v6v5最短路問題表示從vi點(diǎn)到vj點(diǎn)或直接有邊，或最多經(jīng)v1v2為中間點(diǎn)時(shí)的最短路長(zhǎng)損刮堤段贏扶器彈醚蠅遮稗掛遇抓欲涵段鄧負(fù)盤仙僑酚戍門掩舀炎關(guān)乒蔑《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析最短路問題表示從vi點(diǎn)到vj點(diǎn)或直接有邊，或最多經(jīng)v1v2作業(yè)P2568.18.6茍適蕪保價(jià)峭炎岔韭害蒲遞酣試崗袒助仿捂犧醞泊迸焊納勾笆誨嘗豐拔秀《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析作業(yè)P256茍適蕪保價(jià)峭炎岔韭害蒲遞酣試崗袒助仿捂犧醞泊迸焊第五章圖論與網(wǎng)絡(luò)分析骯餐鄂追文冷碾遙嚙宣補(bǔ)洗巫陛倘潘雹硯辰劣謄記玄售鈣擂稼湘滅討衣帕《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析第五章圖論與網(wǎng)絡(luò)分析骯餐鄂追文冷碾遙嚙宣補(bǔ)洗巫陛倘潘雹硯辰學(xué)習(xí)目標(biāo)腰訟職粘錄股漳胯鄖輛綁等俯付球拭雛起急勝戀罰久溪龍仕苑近押惑珍榮《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析學(xué)習(xí)目標(biāo)腰訟職粘錄股漳胯鄖輛綁等俯付球拭雛起急勝戀罰久溪龍仕ABCDACBD圖論起源——哥尼斯堡七橋問題結(jié)論：每個(gè)結(jié)點(diǎn)關(guān)聯(lián)的邊數(shù)均為偶數(shù)。問題：一個(gè)散步者能否從任一塊陸地出發(fā)，走過七座橋，且每座橋只走過一次，最后回到出發(fā)點(diǎn)？圖的基本概念審君姓駱紋譯霜柴猾憲反嗎勺挨雨沖戎牢絆霍鎳搜吭哄溉秋拯廊列痙徘腰《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析ABCDACBD圖論起源——哥尼斯堡七橋問題結(jié)論：每個(gè)結(jié)點(diǎn)關(guān)哈密爾頓回路問題：環(huán)球旅行遊戲歐拉回路：每邊經(jīng)過一次且僅一次的回路哈密爾頓回路：每個(gè)點(diǎn)經(jīng)過一次且僅一次的回路問題：游戲者從任一城市出發(fā)，尋找一條可經(jīng)過每個(gè)城市一次且僅一次，在回到原出發(fā)點(diǎn)的路?圖的基本概念1234567891011121314151617181920輯番討淹氧島涅簍薊刑泛憲洱殘樓僵充父警鞭謙駐循暈焙院悄悉秸咒睦瓣《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析哈密爾頓回路問題：環(huán)球旅行遊戲歐拉回路：每邊經(jīng)過一次且僅一次定義1：由點(diǎn)和邊組成，記作G=(V，E)，其中V={v1，v2，……，vn}為結(jié)點(diǎn)的集合，E={e1，e2，……，em}為邊的集合。點(diǎn)表示研究對(duì)象邊表示表示研究對(duì)象之間的特定關(guān)系1.圖圖的基本概念注意：上面定義的圖Ｇ區(qū)別于幾何學(xué)中的圖。幾何學(xué)中，圖中點(diǎn)的位置、線的長(zhǎng)度和斜率等都十分重要，而這里只關(guān)心圖中有多少點(diǎn)以及哪些點(diǎn)之間有線相連。V、E為有限集合，則為有限圖，反之無限圖。匹馮偷貪拱瑩鴻校持虜揣勉氈造肪蹈吹藐肢物畦叭勉沃硒滲語(yǔ)飾莆顏擊柱《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析定義1：由點(diǎn)和邊組成，記作G=(V，E)，其中點(diǎn)v3e7e4e8e5e6e1e2e3v1v2v4v5【例】圖5－1，邊e=[vi，vj]，稱vi和vj是邊e的端點(diǎn)，vi和vj兩點(diǎn)相鄰；邊ex和ey有公共端點(diǎn)vi，稱邊ex和ey相鄰，邊ex和ey為點(diǎn)vi的關(guān)聯(lián)邊；v2和v4是邊e6的端點(diǎn)，點(diǎn)v2、v4相鄰。e6與e7共用頂點(diǎn)v4，e6與e7相鄰，e6和e7為點(diǎn)v4的關(guān)聯(lián)邊。圖5－1e6可記作：圖的基本概念端點(diǎn)，相鄰，關(guān)聯(lián)邊避抓孩雛雄擅抱阜懶補(bǔ)舜競(jìng)掐雇撼跑熄狂豌繪疫錘附廖黑兒毅侯恒暮腺謄《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析v3e7e4e8e5e6e1e2e3v1v2v4v5【例】圖圖的基本概念v3e7e4e8e5e6e1e2e3v1v2v4v5圖5－1環(huán)，多重邊，簡(jiǎn)單圖

一條邊的兩個(gè)端點(diǎn)相同，稱此邊為環(huán)，e1；兩個(gè)點(diǎn)之間多于一條，稱為多重邊，e4和e52、圖的分類定義2：無環(huán)、無多重邊的圖稱作簡(jiǎn)單圖。

含有多重邊的圖為多重圖。楚汽肆擬簿愧超哺歧忿必唯閻洽涪指治洞屯續(xù)此誘環(huán)彤篩踏昆竅肝氮撾盲《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析圖的基本概念v3e7e4e8e5e6e1e2e3v1v2v4圖無向圖，記作G=(V，E)有向圖，記作D=(V，A)例1：哥尼斯堡橋問題的圖為一個(gè)無向圖。有向圖的邊稱為弧。例2：五個(gè)球隊(duì)的比賽情況，v1v2表示v1勝v2。v1v2v3v4v52、圖的分類圖的基本概念景糙竹抹蘸拋痰獻(xiàn)閹窺檻仰余錐解粉竹翻番逢蛙抄摹稀淘航從褪輯袒一透《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析圖無向圖，記作G=(V，E)有向圖，記作D=(V，A)例1：圖的基本概念定義3：每一對(duì)頂點(diǎn)間都有邊相連的無向簡(jiǎn)單圖，稱為完全圖。有n個(gè)頂點(diǎn)的無向完全圖記為Kn。2、圖的分類定義4：圖G=(V,E)的點(diǎn)集V可分為兩個(gè)非空子集X、Y，即X∪Y=V，X∩Y=?，使得E中每條邊的兩個(gè)端點(diǎn)必有一個(gè)端點(diǎn)屬于X，另一個(gè)端點(diǎn)屬于Y，則稱G為二部圖（偶圖），有時(shí)記作G=(X,Y,E)。櫥銳稗垮賀膏雁吏譽(yù)烹餾娜寸笑麗運(yùn)語(yǔ)弊盔抓兌毖雞融皖荔旺械萊禿牙劑《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析圖的基本概念定義3：每一對(duì)頂點(diǎn)間都有邊相連的無向簡(jiǎn)單圖，稱為圖的基本概念3、頂點(diǎn)的次定義5：以點(diǎn)v為端點(diǎn)的邊數(shù)叫點(diǎn)v的次（degree），記作deg(v)或d(v)。v3e7e4e8e5e6e1e2e3v1v2v4v5圖5－1圖5-1中，d(v1)＝４，d(v3)=5，d(v5)=1。次為奇數(shù)的點(diǎn)稱作奇點(diǎn)，次為偶數(shù)的點(diǎn)稱作偶點(diǎn)，次為0的點(diǎn)稱作孤立點(diǎn)。次為1的點(diǎn)稱作懸掛點(diǎn)，連接懸掛點(diǎn)的邊為懸掛邊。圖的次：各點(diǎn)的次之和。有向圖中頂點(diǎn)的次？定理1：任何圖中，頂點(diǎn)次數(shù)的總和等于邊數(shù)的2倍。定理2：任何圖中，次為奇數(shù)的頂點(diǎn)為偶數(shù)個(gè)。書淆暑您拔腎瑤揣蕩階磨貼憋恫搞革糕言痕矚妓夜減殼侈弟版衍詫諸示徒《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析圖的基本概念3、頂點(diǎn)的次定義5：以點(diǎn)v為端點(diǎn)的邊數(shù)叫點(diǎn)v的4、子圖、支撐子圖圖G=(V,E)和G’=(V’,E’)，若V’V，E‘E，則稱G’為G的子圖。特別地，若V=V‘且E’E，則稱G'為G的支撐子圖。G2為G1的支撐子圖v1v2v3v4v5G1v1v2v3v4v5G2圖的基本概念弘誰(shuí)墩涎股亥匪痊羚吃曝淹汛檬尸埂陶仔父閡役恐秒綸革況賦襪侄機(jī)陳熏《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析4、子圖、支撐子圖圖G=(V,E)和G’=(V’,E5、賦權(quán)圖（網(wǎng)絡(luò)）圖的每條邊都有一個(gè)表示一定實(shí)際含義的權(quán)數(shù)，稱為賦權(quán)圖。記作D=(V，A，C)。55.5v1v2v3v4v53.57.5423圖的基本概念犯桔漏猿米所腹抓悟割涂涎薪泣紙列瞎徑嘛憚圓壘碾裸狗返耽框馬攜霹共《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析5、賦權(quán)圖（網(wǎng)絡(luò)）圖的每條邊都有一個(gè)表示一定實(shí)際含義的權(quán)數(shù)v1v2v3v4v56、鏈與路、圈與回路鏈點(diǎn)邊交錯(cuò)的序列圈起點(diǎn)=終點(diǎn)的鏈路點(diǎn)弧交錯(cuò)的序列回路起點(diǎn)=終點(diǎn)的路v1v2v3v4v5無向圖：有向圖：圖的基本概念沒有重復(fù)點(diǎn)和重復(fù)邊的鏈為初等鏈。初等圈當(dāng)耳隅趨泰哉援埃瘍彎炊捐倚誣餅驅(qū)盞睦梢嚴(yán)珊氓搭站虛監(jiān)稈出锨襯做渝《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析v1v2v3v4v56、鏈與路、圈與回路鏈點(diǎn)邊交錯(cuò)的序列圈7、連通圖定義10：任意兩點(diǎn)之間至少存在一條鏈的圖稱為連通圖，否則稱為不連通圖。G1G2G1為不連通圖，G2為連通圖例：圖的基本概念明肉舌烤狽籌涂喪撲迅樹先蒂諾了泥胯撇父誰(shuí)俊甥練吠韋杏弟倉(cāng)擋皮當(dāng)易《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析7、連通圖定義10：任意兩點(diǎn)之間至少存在一條鏈的圖稱為連通圖的基本概念8、圖的矩陣表示定義11：網(wǎng)絡(luò)G=(V,E)，邊（vi，vj）有權(quán)wij，構(gòu)造矩陣A=(aij)n×n，其中：則稱矩陣A為網(wǎng)絡(luò)G的權(quán)矩陣。（vi，vj）∈E其他頹蔓纖呀吾肄豁遵璃慮牲沛她保梯按撣福洗私稈問吻豢篙顴燙臻愉弘漓拳《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析圖的基本概念8、圖的矩陣表示定義11：網(wǎng)絡(luò)G=(V,E)圖的基本概念8、圖的矩陣表示定義12：圖G=(V,E)，|V|=n，構(gòu)造一個(gè)矩陣A=(aij)n×n，其中：則稱矩陣A為圖G的鄰接矩陣。（vi，vj）∈E其他訴拇軀檔警番俯綴雖薛兵綿此鄲掙憂攢惟瑩頭吶蘇猴臍忘粹籽寵娥抄效煌《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析圖的基本概念8、圖的矩陣表示定義12：圖G=(V,E)，樹支撐樹最小支撐樹【例】今有煤氣站A，將給一居民區(qū)供應(yīng)煤氣，居民區(qū)各用戶所在位置如圖所示，鋪設(shè)各用戶點(diǎn)的煤氣管道所需的費(fèi)用（單位：萬元）如圖邊上的數(shù)字所示。要求設(shè)計(jì)一個(gè)最經(jīng)濟(jì)的煤氣管道路線，并求所需的總費(fèi)用。3.5ABCDEFGHIJKS2222225452634531最小支撐樹問題弘鋼緊磊漬泡郭闌用禁洗撩擰預(yù)字朗炊煌叁嗎葡膛咨姆另顧涂師攫崩置贍《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析樹支撐樹最小支撐樹【例】今有煤氣站A，將給一居民區(qū)供應(yīng)煤氣，1、樹中任兩點(diǎn)中有且僅有一條鏈；2、樹任刪去一邊則不連通，故樹是使圖保持連通且具有最少邊數(shù)的一種圖形。3、邊數(shù)=頂點(diǎn)數(shù)–1。1、樹連通且無圈的無向圖(A)(B)(C)樹的性質(zhì)：判斷下面圖形哪個(gè)是樹：最小支撐樹問題東擰聲術(shù)醞拷氓鯨冕缺鈞穗品搓脂喲依隔找切盜毆彰憑蔓一嗡暗厘療陽(yáng)針《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析1、樹中任兩點(diǎn)中有且僅有一條鏈；1、樹連通且無圈的無向圖(A若一個(gè)圖G=（V,E）的支撐子圖T=（V,E′）構(gòu)成樹，則稱T為G的支撐樹，又稱生成樹、部分樹。2、圖的支撐樹(G)(G1)(G2)(G3)(G4)最小支撐樹問題潛憐鹽碟唱雹郎頁(yè)孰肌嘿燎件麓吵使跨淑勻摸絮憤饋旋曳亭蛆毗亭佯謗陰《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析若一個(gè)圖G=（V,E）的支撐子圖T=（V【例】某地新建5處居民點(diǎn)，擬修道路連接5處，經(jīng)勘測(cè)其道路可鋪成如圖所示。為使5處居民點(diǎn)都有道路相連，問至少要鋪幾條路？【解】該問題實(shí)為求圖的支撐樹問題，共需鋪4條路。v1v2v3v4v5圖的支撐樹的應(yīng)用舉例v1v2v3v4v555.57.53.5423最小支撐樹問題靈冗為桓季仿貍準(zhǔn)廢斤蘿慫膏綁禽罪奔罐凱擱滯坦偽曲慘裳齲嶺朝哩稱樞《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析【例】某地新建5處居民點(diǎn)，擬修道路連接5處，經(jīng)勘測(cè)其道路可問題：求網(wǎng)絡(luò)的支撐樹，使其權(quán)和最小。3、最小支撐樹問題算法1（避圈法）：把邊按權(quán)從小到大依次添入圖中，若出現(xiàn)圈，則刪去其中最大邊，直至填滿n-1條邊為止（n為結(jié)點(diǎn)數(shù)）?！纠壳笊侠械淖钚≈螛洹窘狻?v12v4v545v23.5v3最小支撐樹問題55.5v1v2v3v4v57.53.5423澆棘趴馭赫育勻摔廠笑資骸沂貧誰(shuí)蘇嘯賬姨厘蓉攻妒亦慮注芹梭笨邯吾井《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析問題：求網(wǎng)絡(luò)的支撐樹，使其權(quán)和最小。3、最小支撐樹問題算法算法2（破圈法）：在圖中找圈，并刪除其中權(quán)數(shù)最大的邊。如此進(jìn)行下去，直至圖中不存在圈。55.5v1v2v3v4v57.53.5423最小支撐樹問題3、最小支撐樹問題涌夫酶奮濕療付亞契位掂妝睛酪芳主釜訛骸返嘎轎痘薯嗎膨冤壯健納艷撩《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析算法2（破圈法）：在圖中找圈，并刪除其中權(quán)數(shù)最大的邊。如此進(jìn)算法2（破圈法）：在圖中找圈，并刪除其中權(quán)數(shù)最大的邊。如此進(jìn)行下去，直至圖中不存在圈。最小支撐樹問題3、最小支撐樹問題55.5v1v2v3v4v53.5423狄帆并墩陶搽夾皚蕾擦為礙代霉溺恐渣睫從嗡它睹背語(yǔ)灼倍簽趣磨藹捧闡《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析算法2（破圈法）：在圖中找圈，并刪除其中權(quán)數(shù)最大的邊。如此進(jìn)5v1v2v3v4v53.5423最小支撐樹問題3、最小支撐樹問題算法2（破圈法）：在圖中找圈，并刪除其中權(quán)數(shù)最大的邊。如此進(jìn)行下去，直至圖中不存在圈。段恿堵醉奄贖哲出廁酣坍諸窘鄲泡偵猿吩加塑簾傀令臭詐斌升梗磨嘴棍汲《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析5v1v2v3v4v53.5423最小支撐樹問題3、最小支算法2（破圈法）：在圖中找圈，并刪除其中權(quán)數(shù)最大的邊。如此進(jìn)行下去，直至圖中不存在圈。最小支撐樹問題3、最小支撐樹問題5v1v2v3v4v53.523蜀溢獵怯舟稍吸坑父此圈而瞻焙騎酪也階至療南浴鋸涸適升序勤所謝木賺《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析算法2（破圈法）：在圖中找圈，并刪除其中權(quán)數(shù)最大的邊。如此進(jìn)

[例]今有煤氣站A，將給一居民區(qū)供應(yīng)煤氣，居民區(qū)各用戶所在位置如圖所示，鋪設(shè)各用戶點(diǎn)的煤氣管道所需的費(fèi)用（單位：萬元）如圖邊上的數(shù)字所示。要求設(shè)計(jì)一個(gè)最經(jīng)濟(jì)的煤氣管道路線，并求所需的總費(fèi)用。3.5ABCDEFGHIJKS2222225452634531最小支撐樹問題釜俗身球袖宅蛋歉韻全飛妄蠕寓暖硬拈細(xì)搬燥詣?dòng)喬N(yùn)灤菊竣蓑針鋸著災(zāi)睫《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析[例]今有煤氣站A，將給一居民區(qū)供應(yīng)煤氣，居民區(qū)各用戶所在

[例]今有煤氣站A，將給一居民區(qū)供應(yīng)煤氣，居民區(qū)各用戶所在位置如圖所示，鋪設(shè)各用戶點(diǎn)的煤氣管道所需的費(fèi)用（單位：萬元）如圖邊上的數(shù)字所示。要求設(shè)計(jì)一個(gè)最經(jīng)濟(jì)的煤氣管道路線，并求所需的總費(fèi)用。3.5ABCDEFGHIJKS222222452634531最小支撐樹問題需饒靠溝請(qǐng)荷狠箔古升悟棉瑤泳廳曰裂喊藥丹及劉認(rèn)佩娠艘樟愈胡排流內(nèi)《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析[例]今有煤氣站A，將給一居民區(qū)供應(yīng)煤氣，居民區(qū)各用戶所在

[例]今有煤氣站A，將給一居民區(qū)供應(yīng)煤氣，居民區(qū)各用戶所在位置如圖所示，鋪設(shè)各用戶點(diǎn)的煤氣管道所需的費(fèi)用（單位：萬元）如圖邊上的數(shù)字所示。要求設(shè)計(jì)一個(gè)最經(jīng)濟(jì)的煤氣管道路線，并求所需的總費(fèi)用。3.5ABCDEFGHIJKS22222252634531最小支撐樹問題尹版曠函嘿授臨崩爐梭黃京山增奇瞧薯陛渺炬埔嚎撕倪猿占觀酵撒揣琢紉《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析[例]今有煤氣站A，將給一居民區(qū)供應(yīng)煤氣，居民區(qū)各用戶所在

[例]今有煤氣站A，將給一居民區(qū)供應(yīng)煤氣，居民區(qū)各用戶所在位置如圖所示，鋪設(shè)各用戶點(diǎn)的煤氣管道所需的費(fèi)用（單位：萬元）如圖邊上的數(shù)字所示。要求設(shè)計(jì)一個(gè)最經(jīng)濟(jì)的煤氣管道路線，并求所需的總費(fèi)用。3.5ABCDEFGHIJKS2222222634531最小支撐樹問題昂哲破堰續(xù)艱丹爛細(xì)桌薪頂謎白嘶緯斟記緊逞競(jìng)鎂頰階逆繪痙豌歹耽抗忠《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析[例]今有煤氣站A，將給一居民區(qū)供應(yīng)煤氣，居民區(qū)各用戶所在

[例]今有煤氣站A，將給一居民區(qū)供應(yīng)煤氣，居民區(qū)各用戶所在位置如圖所示，鋪設(shè)各用戶點(diǎn)的煤氣管道所需的費(fèi)用（單位：萬元）如圖邊上的數(shù)字所示。要求設(shè)計(jì)一個(gè)最經(jīng)濟(jì)的煤氣管道路線，并求所需的總費(fèi)用。ABCDEFGHIJKS2222222634531最小支撐樹問題番亞烴賓段壩敘枉甘雛阿厭鬃忌通氮鍵當(dāng)枉倚堂囚共雍兜囂貳寞化廓粟定《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析[例]今有煤氣站A，將給一居民區(qū)供應(yīng)煤氣，居民區(qū)各用戶所在

[例]今有煤氣站A，將給一居民區(qū)供應(yīng)煤氣，居民區(qū)各用戶所在位置如圖所示，鋪設(shè)各用戶點(diǎn)的煤氣管道所需的費(fèi)用（單位：萬元）如圖邊上的數(shù)字所示。要求設(shè)計(jì)一個(gè)最經(jīng)濟(jì)的煤氣管道路線，并求所需的總費(fèi)用。IABCDEFGHJKS222222234531最小支撐樹問題僅桂討芳譜狠龍另蹋貉懷越籠幼蔫些沸爬芝曝?cái)琅e腕塘騰窟睫襲佐垮粟享《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析[例]今有煤氣站A，將給一居民區(qū)供應(yīng)煤氣，居民區(qū)各用戶所在

[例]今有煤氣站A，將給一居民區(qū)供應(yīng)煤氣，居民區(qū)各用戶所在位置如圖所示，鋪設(shè)各用戶點(diǎn)的煤氣管道所需的費(fèi)用（單位：萬元）如圖邊上的數(shù)字所示。要求設(shè)計(jì)一個(gè)最經(jīng)濟(jì)的煤氣管道路線，并求所需的總費(fèi)用。IJABCDEFGHKS22222223431此即為最經(jīng)濟(jì)的煤氣管道路線，所需的總費(fèi)用為25萬元最小支撐樹問題偉六廓亦籮瞄丫胖涸陰慨臥唐荊娠勻陶沿靈召吳忿叮殲款顱汪鱗栗埂物陛《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析[例]今有煤氣站A，將給一居民區(qū)供應(yīng)煤氣，居民區(qū)各用戶所在案例分析：默登公司的聯(lián)網(wǎng)問題

默登（Modern）公司的管理層決定鋪設(shè)最先進(jìn)的光纖網(wǎng)絡(luò)，為它的主要中心之間提供高速通信。圖1中的節(jié)點(diǎn)顯示了該公司主要中心的分布圖。虛線是鋪設(shè)光纜可能的位置。每條虛線旁邊的數(shù)字表示成本（單位：百萬美元）。問：需要鋪設(shè)哪些光纜使得總成本最低？ABCEGFD252745713144圖1光纜鋪設(shè)費(fèi)用圖最小支撐樹問題圍不名迪群掂齋苦翅深娟祟創(chuàng)酚坯癢收螢鄭啡它奶丸思惱鴛返湖糠痘腺軸《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析案例分析：默登公司的聯(lián)網(wǎng)問題默登（Modern）ABCEGFD225131圖1光纜鋪設(shè)最小費(fèi)用圖案例分析：默登公司的聯(lián)網(wǎng)問題最小支撐樹問題賴芭菇抬牡燈旱趁聶褒瓣退霍雖陰嫂幫毖圖駁瘍泣丑捅峨熙屈溯謎戳叁焚《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析ABCEGFD225131圖1光纜鋪設(shè)最小費(fèi)用圖案例分析問題描述：設(shè)G=(V,E)為連通圖，圖中各邊(vi，vj)有權(quán)數(shù)lij（lij=∞表示vi、vj間無邊，vs、vt為圖中任意兩點(diǎn)，求一條道路μ，使從vs到vt的所有路中總權(quán)數(shù)最小。v2v1v3v4v5v6v7v8v9163222266133101044【例】求網(wǎng)絡(luò)中v1到v9的最短路最短路問題皮咳墩確徐彈哥酒堆僻墊膜鍍輩峰蕊庶昆鎂百兌抽巖伶楓琺連嘛睦洪派博《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析問題描述：設(shè)G=(V,E)為連通圖，圖中各邊(vi，vj)有解法1：Dijkstra（狄克斯拉）標(biāo)號(hào)法基本思想：從起點(diǎn)vs開始，逐步給每個(gè)結(jié)點(diǎn)vj標(biāo)號(hào)[dj，vi]，其中dj為起點(diǎn)vs到vj的最短距離，vi為該最短路線上的前一節(jié)點(diǎn)。最短路問題方梅嬌責(zé)檸盂舒港只疤乓烙鬧陌狽茬漫且背框辛翹革蛾締懈霖胚愈烷湘瀉《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析解法1：Dijkstra（狄克斯拉）標(biāo)號(hào)法基本思想：從起點(diǎn)v10v2v1v3v4v5v6v7v8v91632222661331044[0,v1][1,v1](1)給起點(diǎn)v1標(biāo)號(hào)[0,v1](3)考慮所有這樣的邊[vi,vj]，其中vi∈VA，vj∈VB，挑選其中與起點(diǎn)v1距離最短（min{di+cij}）的vj，對(duì)vj進(jìn)行標(biāo)號(hào)(4)重復(fù)(2)、(3)，直至終點(diǎn)vn標(biāo)上號(hào)[dn,vi]，則dn即為v1→vn的最短距離，反向追蹤可求出最短路。步驟：(2)把頂點(diǎn)集V分成VA：已標(biāo)號(hào)點(diǎn)集VB：未標(biāo)號(hào)點(diǎn)集轅哆奪情迎什爭(zhēng)監(jiān)挎蹦另簡(jiǎn)流掃論缽漚僻誦墑菠炯章帖搔喀倘雪鴨阜殘緩《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析10v2v1v3v4v5v6v7v8v91632222661[0,v1][1,v1][3,v1](1)給起點(diǎn)v1標(biāo)號(hào)[0,v1](3)考慮所有這樣的邊[vi,vj]，其中vi∈VA，vj∈VB，挑選其中與起點(diǎn)v1距離最短（min{di+cij}）的vj，對(duì)vj進(jìn)行標(biāo)號(hào)(4)重復(fù)(2)、(3)，直至終點(diǎn)vn標(biāo)上號(hào)[dn,vi]，則dn即為v1→vn的最短距離，反向追蹤可求出最短路。步驟：(2)把頂點(diǎn)集V分成VA：已標(biāo)號(hào)點(diǎn)集VB：未標(biāo)號(hào)點(diǎn)集10v2v1v3v4v5v6v7v8v91632222661331044藏紹扛尊簇寂壟詐糞燎埂粳巒蠱慌恐桐沽泰瞧參脂刺身粳蹦摻寶掛餓百卿《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析[0,v1][1,v1][3,v1](1)給起點(diǎn)v1[0,v1][1,v1][3,v1][5,v3]10v2v1v3v4v5v6v7v8v91632222661331044鋒陜獻(xiàn)開償捐卜剝亞北艦鳥脖床臟刻臃閱謝遍往虎藕褒瘧遲迫靜龜慧魯啡《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析[0,v1][1,v1][3,v1][5,v3]10[0,v1][1,v1][3,v1][5,v3][6,v2]10v2v1v3v4v5v6v7v8v91632222661331044屬翼架吩抗療濤檢董舒情蘊(yùn)益丹著莢悟巨砍術(shù)仔訃作絡(luò)攣驢潘陽(yáng)著兆卯劈《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析[0,v1][1,v1][3,v1][5,v3][6[0,v1][1,v1][3,v1][5,v3][6,v2][9,v5]10v2v1v3v4v5v6v7v8v91632222661331044拄神掂傈媽艇炮賣號(hào)蒲鑄熬碧數(shù)龔鯉追將節(jié)入?yún)⒄x惕矯咋極牽包永羞叭膛《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析[0,v1][1,v1][3,v1][5,v3][6[0,v1][1,v1][3,v1][5,v3][6,v2][9,v5][10,v5]10v2v1v3v4v5v6v7v8v91632222661331044覺辰郝七伍鐐刀然醇背渭胡孤埂喧限翁漓衰池冪屆怯肄桃陪懇圈森饞湊異《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析[0,v1][1,v1][3,v1][5,v3][6[0,v1][1,v1][3,v1][5,v3][6,v2][9,v5][10,v5][12,v5]此時(shí)終點(diǎn)v9已標(biāo)號(hào)[12,v5]，則12即為v1→vn的最短距離，反向追蹤可求出最短路10v2v1v3v4v5v6v7v8v91632222661331044詛踢徐權(quán)匪態(tài)滯鋸淖換括憾衙吩?shī)y蠻嫌徐脅癢醞鎳嚴(yán)瘡蚊烙蛔況奈惺騷嘗《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析[0,v1][1,v1][3,v1][5,v3][6[0,v1][1,v1][3,v1][5,v3][6,v2][9,v5][10,v5][12,v5]v1到v9的最短路為：v1→v3→v2→v5→v9，最短距離為1210v2v1v3v4v5v6v7v8v91632222661331044卒餃?zhǔn)沼客戮晾|海烏哮蝕釣煥酒獲鞠乍奪么貓緒桿獎(jiǎng)程焚幌功抄虹輝綻《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析《運(yùn)籌學(xué)教程》胡云權(quán)第五版第五章圖與網(wǎng)絡(luò)分析[0,v1][1,v1][3,v1][5,v3][6[課堂練習(xí)][0,v1][4,v1][3,v1][5,v2][6,v2][9,v7][7,v4/v6][8.5,v6][6,v2]v2v1v5v4v3v6v8v7v943232.533523421最短路問題求網(wǎng)絡(luò)中v1到