高數(shù)全一、將函數(shù)展開(kāi)成級(jí)數(shù)

第四節(jié)級(jí)數(shù)與冪級(jí)數(shù)一、將函數(shù)展開(kāi)成級(jí)數(shù)二、小結(jié)思考題一、將函數(shù)展開(kāi)成級(jí)數(shù)的方接

xf步驟n0

)(

0，寫(xiě)出級(jí)(n

x0x0xn(2討論limRn則級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)

f(例1將f(x)ex展開(kāi)x的冪級(jí)（林級(jí)數(shù) f(n)(x)

ex

an

f(n)(0)，f(n)

(n

f(n1)()e

1x

x2

......

xn

f

xn1

n1(!e(nxn1e(nxn1其中

(x)

xn1

e

(nxexx xx(nx

(n

的一般e

(n1)!

(n

);于是nlim 于是nex1x

1x2

1xn

x例 將f(x)

sinx展開(kāi)成x的冪級(jí)數(shù).an

f(n)(0)， f(n)(x)

f(n)(0)

n,f(2n)(0)

f(2n1)(0)

(1)n

(n

n證 lim n

與例1類sinx的林級(jí)數(shù)x3 x5 x7

x(2n1)x

(2n

(x)sin[(n1)Rn(x)

(n

xn1

xn1x 0(n)(n

x2n1sinx

x x3

x5

n0

(2nx(,)例

(x)

x)

解

(n)(x)

1)(

x)nf(n)(0)

1)(

n

(n

1x

1)x2

1)(

n1)xn anann

R

an

f(n)(0)，s(

1

(1)(

n1)xns(x)

(1)

(1)((n

n

xn1兩邊乘以(1+x)

xn的系數(shù)，利(m1)(mn1)(m1)(mn)m(m

n(n 有(1x)s2

(

2(1)(

n

x

s(x)s(s(x)

1x

兩邊積

s(x)dxxx s(x) xx

1

x得lnsxlns(0

ln(1

s(x)

x)s(x)

x)

x 1

x)

1)x2

n ——二項(xiàng)展開(kāi)

x

在x

1處收斂性與的取值有關(guān) 收斂區(qū)間為 收斂區(qū)間]; 收斂區(qū)間當(dāng)

1,1時(shí)2 1x雙階雙階（二）間接根據(jù)唯一性利用常見(jiàn)展開(kāi)式,通過(guò)變量代換,四則運(yùn)算恒等變形逐項(xiàng)求導(dǎo)逐項(xiàng)積分等方例如cos

1

1

x2n1sinx

x x3

x5

(1)n x(2nxcos

1

1x2

1x4

2n(1)n x(,)arctanx

01x2x

1x3

1x55

(1)n

x2n12n

x

x)

x01x

1x2

1x3

n xn例

x1在

4(

),

(n)解 4

3(

3(1

,3,1[1

x13

(x3

2

x13

nx1x

(

4 41(3

(x1321

(

33

(x3n

(n)

3n

x1f(n)(1

例 將解

(x)1

x24x

展開(kāi)成31

1)x24x (x1)(x12

x

x1 22(

1)

4(

1)]141

x2

181

x41其中 12

n0

(1)n

x1)n2

(1

x11x4

n0

n(

4

(3

x

(1)n(

)(

x24x

2n

2n

(1

x例

在0

點(diǎn)展開(kāi)成 解cos

cos(4

x

)4

cos4

cos(x

)sin

sin(x42 [cos(x22

)]sin(x4

)]

π4

1

1(

π4

1(

π)44

x

xxπ4

1(

π)34

1(

π 4cosx

[1(xπ)

1(xπ)2

1(xπ)32 2

3!

x例7將下列級(jí)數(shù)展開(kāi)

的冪級(jí)

f(x)

5

(2)ln1解令x21

t,即

t

2,

5

3

1 331313

t(t

(t)n

11(

2)

1(x2)2

1

x

ln

ln(2

t)

t)2

ln2

ln(1t2ln2t1(t

(1)n11(t)n x

(x

n(xln2

2

3 n1(

n 0x注：常用函數(shù)的林級(jí)

ex

xnn0

x2n1

x(,

)(2)

sinx

n0

(2n

x

) x2n n0

x

) nxn1(4)ln(1

x)

n0

n

x(1,1

(1

n0

n

xn x(1,特別

1

xn

(1,n0 1

(1)nxn

x(1,n0

nx2n1

arctanx

n0

2n

x[1,函數(shù)展開(kāi)成級(jí)數(shù)的方法將函數(shù)展開(kāi)

x的冪級(jí)將函數(shù)展開(kāi)成xx0的冪級(jí)常用函數(shù)的林級(jí)思考什么叫冪級(jí)數(shù)的間接展開(kāi)法思考題解從已知的展開(kāi)式出發(fā),通過(guò)變量代換、四則運(yùn)一、將下列函數(shù)展開(kāi)成x的冪級(jí)數(shù),并求展開(kāi)式成立的ax

x)ln(1

3.

x；

1

x)3二、將函

f(

展開(kāi)成x1的冪級(jí)數(shù),并求展x開(kāi)式成立的區(qū)x三、將函數(shù)數(shù).

f(x)

x2

3x

展開(kāi)成

的冪四、將級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù).

2n1

x 的和函數(shù)展開(kāi)成x(2n(ln

練習(xí)題答n一、

n0

(x)；

xn(n1)

(1

x

x2n1x(n!)2(2n

1)

(1

xn2xn1

(2n)!

x

n1