數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識及其在西方經(jīng)濟學(xué)中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識及其在西方經(jīng)濟學(xué)中的應(yīng)用西方經(jīng)濟學(xué)是一門綜合性較高的課程,有必定的難度，需要必定的數(shù)學(xué)知識基礎(chǔ)．這里我們給大家整理了一些必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識,幫助大家學(xué)好西方經(jīng)濟學(xué)這門課程．一、經(jīng)濟模型中運用的圖形經(jīng)濟模型是對經(jīng)濟或公司與家庭這種經(jīng)濟構(gòu)成部分進行的簡化的描繪。它包含能夠用方程式或圖形中曲線表示的經(jīng)濟行為的表述.經(jīng)濟學(xué)家利用模型來揭露不一樣政策或其余要素對經(jīng)濟的影響，在方法上與采納模型飛機測定風(fēng)洞隨和候模式有近似之處。在經(jīng)濟模型中你將碰到很多不一樣的圖形,一旦你學(xué)會認識這些種類，你就會很快認識圖形的含義．在圖形中看到的種類有以下四種狀況:１、同方向改動的變量同方向改動的兩種變量之間的關(guān)系稱為正有關(guān)或許同方向有關(guān)。圖1—１表示正有關(guān)圖形的三種狀況.圖a表示一種兩個變量同時增加的正有關(guān)，圖形沿著愈來愈峻峭的曲線挪動;圖ｂ表示一種正有關(guān)線性關(guān)系，圖形是一條直線；圖c表示一種兩個變量同時增加的正有關(guān)，圖形沿著愈來愈平展的曲線挪動。圖1—２中的全部線-—不論它是直線仍是曲線——都稱為曲線.yabcox圖1—2:正有關(guān)圖形的三種狀況2、反方向改動的變量反方向改動的兩種變量之間的關(guān)系稱為反有關(guān)或許反方向有關(guān)。圖１—3表示反有關(guān)圖形的三種狀況。圖a表示一種一個變量增加、另一個變量減少的負有關(guān)，圖形沿著愈來愈陡峭的曲線挪動；圖ｂ表示一種負有關(guān)線性關(guān)系，圖形是一條直線；圖c表示一種圖形沿著越來越平展的曲線挪動的負有關(guān)。yabcox圖1—3:負有關(guān)圖形的三種狀況13、有最大值或最小值的變量yy產(chǎn)量最大成本A成本產(chǎn)產(chǎn)量遞減量遞加遞加遞減B成本最小oxox(a)(b)圖1-４：有最大值與最小值的圖形圖(a）表示有一個最大值點A的曲線，點A的左側(cè)產(chǎn)量遞加,右側(cè)產(chǎn)量遞減,在點Ａ處達到產(chǎn)量最大;圖（b)表示有一個最小值點Ｂ的曲線，點B的左側(cè)成本遞減,右側(cè)成本遞加,在點處成本最小。4、沒關(guān)的變量yyoxox(ａ）(b）圖1—5：沒關(guān)變量的圖形有很多狀況是不論一個變量發(fā)生什么改動,另一個變量都不變。上圖(a）表示不論ｘ如何改動，y的數(shù)值不變；圖（ｂ)表示不論y怎樣改動，x的數(shù)值不變。25、一種關(guān)系的斜率我們能夠用關(guān)系的斜率來權(quán)衡一個變量對另一個變量的影響.一種關(guān)系的斜率是用y軸權(quán)衡的變量的值的改動量除以用x軸權(quán)衡的變量的值的改動量.我們用希臘字母代表“變動量”，x指ｘ軸權(quán)衡的變量的值的改動量,這樣關(guān)系的斜率是:y/x。。(a)正斜率(b）負斜率圖1—6:一條直線的斜率不論你計算直線上哪個地方,一條直線的斜率是同樣的?？墒且粭l曲線的斜率是多變的，取決于我們計算線上的哪個地點。有兩種方法能夠計算一條曲線的斜率:在曲線某一點上的斜率稱為點斜率,而某一段弧的斜率稱為弧斜率。如圖１-7所示:（a)點斜率(b)弧斜率圖1-７：一條曲線的斜率3二、導(dǎo)數(shù)的定義與幾何意義１、導(dǎo)數(shù)的定義定義:設(shè)函數(shù)yfx在點x0及其鄰域內(nèi)存心義limyx,假如極限x0

存在,則稱函數(shù)yfx在點x0處可導(dǎo),并稱此極限值為函數(shù)yfx在點x0處的導(dǎo)數(shù)，記作fx0yfx0xfx0limlimx（1。1）x0xx0導(dǎo)數(shù)還采納以下符號：dyy

xx0dfxxx0,或dx所以曲線例１、求拋物線

yfx在點x0的切線的斜率能夠表示為fx0。yx2在點x1處的切線的斜率。解:fxx2,由式（1）得f1lim1x212lim2x2x0xx0所以拋物線yx2在點x1處的切線的斜率為2。dy我們把計算導(dǎo)數(shù)的運算稱為求導(dǎo)運算,或許微分運算.需要指出的是，導(dǎo)數(shù)記號dx不可以簡單的視為除法運算,當前我們要把它看作一個整體記號。fxydydfx又記作：或dx或dx明顯,函數(shù)yfx在點x0的導(dǎo)數(shù)正是該函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)fx在點x0的值,即fx0fxxx01.2）在求導(dǎo)數(shù)時,若沒指明求哪一點的導(dǎo)數(shù),都是指求導(dǎo)函數(shù)。例2、設(shè)yx3,求y，y(1)，y(2)解：這里fxx3,由導(dǎo)數(shù)的定義式(1)得:y3x24y(1)yx13x2x13所以,y(2)yx23x2x212同理可得(x)1,(x4)4x3,并推行為對隨意實數(shù)，成立(x)x111(x)x21x2比如:(x10)10x92fx1x,求f3。例３、設(shè)解:先求fx,有fx1x1x21xx2

12xf1139則x2x3對導(dǎo)數(shù)的定義,我們應(yīng)注意以下三點：（1）△x是自變量x在x0處的增量(或改變量)；y(2）導(dǎo)數(shù)定義中還包含了可導(dǎo)或可微的觀點,假如△x→0時，x有極限，那么函數(shù)y=f(x）在點x0處可導(dǎo)或可微，才能獲得f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù).(3)假如函數(shù)y=f(ｘ）在點x0處可導(dǎo),那么函數(shù)y=f（x)在點x0處連續(xù)(由連續(xù)函數(shù)定義可知)。反之不必定成立。比如函數(shù)y=｜x|在點ｘ=０處連續(xù),但不行導(dǎo).2、導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y=ｆ（x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)，就是曲線y=(x）在點P(x0,f(x0))處的切線的斜率。由此,能夠利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程。詳細求法分兩步:（１）求出函數(shù)y=ｆ(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù),即曲線y＝f（ｘ)在點P(x0,f(x0))處的切線的斜率；（2)在已知切點坐標和切線斜率的條件下,求得切線方程為yy0f'(x0)(xx0)（１。３）5特別地,假如曲線y＝ｆ(x）在點P(x0,f(x0))處的切線平行于y軸，這時導(dǎo)數(shù)不存在,依據(jù)切線定義，可得切線方程為xx0.例４、求過曲線yx上的點x1處的切線方程。解：把x1代入yx得y1,得曲線yx在1,1處的切線方程為:y1f1x1fxx1f112x，所以2,則切線方程為：因為y11x12y1x122假如函數(shù)yfx在x0處可導(dǎo),那么曲線yfx在此點處圓滑連結(jié)(不中斷或沒有尖角）,且曲線yfx在點x0,y0處有不垂直于x軸的切線.3、導(dǎo)數(shù)的運算(1)和、差的導(dǎo)數(shù)前面我們學(xué)習(xí)了常有函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式,那么對于函數(shù)f(x)x3x2的導(dǎo)數(shù)，又怎樣求呢?我們不如先利用導(dǎo)數(shù)的定義來求.f'(x)limf(xx)f(x)lim(xx)3(xx)2(x3x2)x0xx0xlim3x2x3x(x)2(x)32xx(x)2x0xlim(3x22x3xx(x)2x)x03x22x我們不難發(fā)現(xiàn)(x3x2)'3x22x(x3)'(x2)'，即兩函數(shù)和的導(dǎo)數(shù)等于這兩函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和．同時能夠推導(dǎo)出：兩函數(shù)差的導(dǎo)數(shù)等于這兩函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的差。這就是兩個函數(shù)的和(或差)的求導(dǎo)法例。（2)積的導(dǎo)數(shù)兩個函數(shù)的積的求導(dǎo)法例,只需求記著并能運用就能夠。（A）(uv)'u'v';uvuvuv（B）若c為常數(shù)，則(cu)′=ｃｕ′.（３)商的導(dǎo)數(shù)6兩個函數(shù)的商的求導(dǎo)法例,只需求記著并能運用就能夠。yf(x)u(x)v(x)設(shè)u(xx)u(x)v(x)u(x)v(xx)v(x)yxxxv(xx)v(x)因為v(ｘ)在點x處可導(dǎo),所以它在點x處連續(xù),于是△x→0時，v(ｘ+△x)→v(x)，進而limyu'(x)v(x)u(x)v'(x)即y'u'u'vuv'xv(x)2v2x0v。u'u'u'u'vuv'說明:（1）vv'；（2）vv2學(xué)習(xí)了函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法例后,由常函數(shù)、冪函數(shù)及正、余弦函數(shù)經(jīng)加、減、乘、除運算獲得的簡單的函數(shù)，均可利用求導(dǎo)法例與導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo),而不需要回到導(dǎo)數(shù)的定義去求。例5、求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù)yx23解:yx36x212x8x36x212x83x212x12三、導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟剖析中的應(yīng)用本節(jié)介紹導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟剖析中的應(yīng)用,以展現(xiàn)導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的各個視角,供學(xué)習(xí)者在其余領(lǐng)域中應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決實質(zhì)問題供給借鑒.1、邊沿剖析x的函數(shù),分別記在生產(chǎn)和經(jīng)營活動過程中,產(chǎn)品成本、銷售收入以及產(chǎn)銷收益都是產(chǎn)量為Cx,Rx和Lx。假如生產(chǎn)者按定單組織生產(chǎn)，那么銷售量與產(chǎn)量同樣,就有LxRxCx明顯有:LxRxCx經(jīng)濟函數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為它們各自的邊沿函數(shù),(1)邊沿成本:成本函數(shù)Cx對產(chǎn)量x的變化率Cx稱為邊沿成本，記成MCx;（2）邊沿收入：收入函數(shù)Rx對產(chǎn)量x的變化率Rx稱為邊沿收入，記成MRx;（3)邊沿收益:收益函數(shù)Lx對產(chǎn)量x的變化率Lx稱為邊沿收益,記成MLx;以邊沿成本為例，說明邊沿函數(shù)的經(jīng)濟意義.7MCxCx

C因為x考慮到經(jīng)濟物件在多半狀況下是不行切割的,即當x1時,成立CMCx因此邊沿成本表示在x的水平上再多生產(chǎn)一個單位產(chǎn)品所需增加的成本；同理，邊沿收入表示在x的水平上再多生產(chǎn)一個單位產(chǎn)品所增加的收入；邊沿收益表示在x的水平上再多生產(chǎn)一個單位產(chǎn)品所增加的收益．若邊沿成本Cx較大，則產(chǎn)量在x水平上增產(chǎn)所需要增加的成本也較大，表示增產(chǎn)潛力較小;若邊沿成本Cx較小,則產(chǎn)量在x水平上增產(chǎn)所需要增加的成本也較小，表示增產(chǎn)潛力較大.x2x的函數(shù)Cx900例１、某產(chǎn)品總成本為產(chǎn)量100,求生產(chǎn)１00個產(chǎn)品的均勻成本及邊際成本。CxCx900xxx100,于是生產(chǎn)解：均勻成本函數(shù)1０0個產(chǎn)品的均勻單位成本為C10010。CxxC1002。50,于是生產(chǎn)邊沿成本函數(shù)1０0個產(chǎn)品時的邊沿成本為這說明：生產(chǎn)前100個產(chǎn)品時，均派在每個產(chǎn)品上的成本為10元，在此基礎(chǔ)上生產(chǎn)第1０1個產(chǎn)品，所需要增加的成本大概為2元。Cq1002qp例2、某商品均勻成本函數(shù)為(元/公斤）,每公斤售價元，需求函數(shù)為800100p,求邊沿成本，邊沿收入，邊沿收益。CqCqq1002q1002q解:成本函數(shù)為q于是邊沿成本Cq2pq從需求函數(shù)q800100p8解出：100，則收入函數(shù)Rqpq8qq2q8q1001008Rqq8于是邊沿收入50LqqqRqCq826邊沿收益為5050此題中的邊沿成本恒等于2表示成本的變化率是常數(shù)，它說明，每增加生產(chǎn)單位產(chǎn)品成本將增加為２,而每增加生產(chǎn)單位產(chǎn)品的邊沿收益卻在變化。比如:L1004,L3000,而L5004,這意味著，盲目擴大生產(chǎn)規(guī)模，不一定增加經(jīng)濟效益。２、彈性剖析x在實質(zhì)應(yīng)用中，常把函數(shù)yfx的導(dǎo)數(shù)y乘上y稱為函數(shù)y對自變量x的彈性,記為Eyx,即eyxxyyy所以eyxxlimylimyyx0xx0xxy從而eyxyyxxxy（１。4）xxyy相應(yīng)因為x表示當自變量從x增加到xx時，x增加的百分數(shù);y表示因變量增加的百分數(shù)。所以從（１．４)式知道，函數(shù)彈性的實質(zhì)意義就是當自變量在x的水平上增加一個百分點時，因變量y大概增加的百分點。彈性在經(jīng)濟剖析中有重要的實質(zhì)意義，第２章有更為詳細的內(nèi)容進行剖析.四、經(jīng)濟中的最值剖析怎樣能夠做到均勻成本最小,收益最大是公司追求的兩個主要目標，以下我們將議論這一問題。求函數(shù)的最值問題需要用到以下對于極值和最值關(guān)系的定理。定理１：設(shè)函數(shù)fx在區(qū)間I上連續(xù),在I內(nèi)可導(dǎo),而且在I內(nèi)有獨一駐點x0,假如x0是函數(shù)fx的極小(大)值點,則x0必是fx的最?。ù螅┲迭c。經(jīng)濟函數(shù)最值的求解步驟以下：9１、依據(jù)實質(zhì)問題的詳細狀況，成立目標函數(shù)關(guān)系式;2、求目標函數(shù)的駐點;3、假如只有獨一的駐點,而且是極小(大)值點,那么該點就是所求的最小(大)值點。例3、已知固定成本為4萬元,改動成本為x3（萬元),問年產(chǎn)量為多少時才能使均勻成本C最低？（產(chǎn)量單位為百噸）解：依據(jù)題意,總成本函數(shù)Cx4x3，于是,均勻成本函數(shù)為CxCx4xxx對均勻成本函數(shù)求導(dǎo)得Cx418xxx22x2x2令Cx0,有xx8,獲得獨一駐點x4,簡單考證x4為極小值點。所以年產(chǎn)量為4百噸時均勻成本最低.例4、某商品的需求函數(shù)為q80008p,問銷售量為多少時才能使總收入R最多？解：目標函數(shù)為總收入函數(shù),由Rpq,得Rqq1000qq2q81000qRq100084令Rq0，獲得獨一駐點q4000，