2020高中數(shù)學(xué) 11 函數(shù)的奇偶性（含解析）1

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE7-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課時(shí)分層作業(yè)(十一）函數(shù)的奇偶性(建議用時(shí):60分鐘）［合格基礎(chǔ)練］一、選擇題1．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在(0，＋∞)上單調(diào)遞增的函數(shù)是（）A．y＝x3 B．y＝|x|＋1C．y＝－x2＋1 D．y＝－eq\f（2,x）B[對(duì)于函數(shù)y＝｜x｜＋1，f(－x）＝｜－x|＋1＝|x|＋1＝f（x)，所以y＝|x|＋1是偶函數(shù),當(dāng)x〉0時(shí)，y＝x＋1，所以在（0，＋∞)上單調(diào)遞增．另外函數(shù)y＝x3不是偶函數(shù)，y＝－x2＋1在(0，＋∞)上單調(diào)遞減,y＝－eq\f(2，x)不是偶函數(shù)．］2．已知y＝f(x）,x∈（－a,a)，F(xiàn)（x）＝f（x)＋f(－x），則F(x)是（)A．偶函數(shù) B．奇函數(shù)C．即是奇函數(shù)也是偶函數(shù) D．非奇非偶函數(shù)A［F（－x）＝f(－x）＋f（x)＝F(x）．又x∈(－a，a)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴F(x)是偶函數(shù)．］3。偶函數(shù)f(x）在區(qū)間［0,＋∞）上的圖象如圖，則函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為（）A．［1，＋∞） B．［－1，0］C．［－1，＋∞） D．［－1,0]和［1，＋∞)D［偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，可知函數(shù)f(x）的增區(qū)間為[－1,0］和［1，＋∞）．]4．若函數(shù)f(x）＝eq\f（x,2x＋1x－a)為奇函數(shù),則a＝()A．－eq\f(1，2) B．－1C．eq\f（1,2） D．1C[函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閑q\b\lc\{\rc\}（\a\vs4\al\co1(x\b\lc\｜\rc\（\a\vs4\al\co1(x≠－\f(1,2)，且x≠a））））。又f（x）為奇函數(shù),定義域應(yīng)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,∴a＝eq\f（1,2）。］5．給出函數(shù)f(x）＝|x3＋1｜＋｜x3－1｜,則下列坐標(biāo)表示的點(diǎn)一定在函數(shù)y＝f（x)的圖象上的是（)A．（a，－f（a)) B．（a，f(－a))C．(－a，－f(a）) D．(－a，－f（－a）)B［∵f(x）為偶函數(shù)，∴f(－a）＝f(a）,∴(a,f(－a））一定在y＝f(x)的圖象上．]二、填空題6．函數(shù)f（x）在R上為奇函數(shù)，且f（x)＝eq\r（x)＋1,x〉0，則當(dāng)x〈0時(shí)，f（x)＝________.－eq\r（－x）－1［當(dāng)x〈0，即－x〉0時(shí)，f(－x）＝eq\r(－x)＋1.∵f(x）為R上的奇函數(shù)，∴f（－x）＝－f(x),即－f(x)＝eq\r(－x)＋1，∴f(x)＝－eq\r(－x)－1，(x<0)．]7．已知f（x）＝x2017＋ax3－eq\f（b，x)－8，f(－2)＝10，則f（2)＝________。－26［f（－2）＝10，∴－22017－8a＋eq\f（b，2)－8＝10，∴－22017－8a＋eq\f(b,2）＝18,f(2）＝22017＋8a－eq\f（b,2)－8＝－18－8＝－26.］8．若函數(shù)f(x)是偶函數(shù),g(x）是奇函數(shù)(f（x)，g(x)的定義域相同），且f(x）＋g(x）＝eq\f(1，x－1），則f（x）＝________.eq\f（1,x2－1)［∵f（x)＋g（x)＝eq\f（1,x－1），①以－x代替x,得f（－x）＋g（－x）＝eq\f(1,－x－1）。又f(x)為R上的偶函數(shù),g（x）為R上的奇函數(shù)，∴f(x）－g(x）＝－eq\f（1，x＋1）.②由①＋②，得2f(x)＝eq\f(1,x－1）－eq\f（1,x＋1）＝eq\f(2,x2－1)。∴f(x）＝eq\f（1,x2－1）。］三、解答題9．判斷下列函數(shù)的奇偶性．（1）f（x)＝3，x∈R；（2）f（x）＝5x4－4x2＋7，x∈[－3,3］；(3）f(x）＝｜2x－1｜－｜2x＋1｜;（4)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x2，,0，，x2－1，）)eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(x〉0，,x＝0，,x<0。））［解](1)∵f(－x）＝3＝f(x)，∴f（x）是偶函數(shù)．（2）∵x∈[－3，3]，f（－x)＝5（－x）4－4(－x）2＋7＝5x4－4x2＋7＝f（x），∴f（x)是偶函數(shù)．（3)∵f（－x)＝|－2x－1|－｜－2x＋1｜＝－(|2x－1|－｜2x＋1｜)＝－f（x），∴f（x)是奇函數(shù)．（4)當(dāng)x〉0時(shí),f（x)＝1－x2，此時(shí)－x<0，∴f（－x)＝(－x)2－1＝x2－1，∴f(－x)＝－f(x);當(dāng)x<0時(shí),f(x)＝x2－1，此時(shí)－x>0,f(－x）＝1－（－x）2＝1－x2，∴f(－x）＝－f（x)；當(dāng)x＝0時(shí)，f（－0)＝－f(0）＝0.綜上，對(duì)任意x∈R，總有f（－x)＝－f(x)，∴f(x）為R上的奇函數(shù)．10．設(shè)函數(shù)f（x）在R上是偶函數(shù),在區(qū)間（－∞,0）上遞增，且f(2a2＋a＋1）<f（2a2－2a＋3）,求a的取值范圍．[解]由f（x）在R上是偶函數(shù)，在區(qū)間(－∞，0）上遞增，可知f(x)在（0,＋∞)上遞減．∵2a2＋a＋1＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（a＋\f（1，4）））eq\s\up8（2）＋eq\f（7,8）>0，2a2－2a＋3＝2eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（a－\f（1,2）))eq\s\up8(2）＋eq\f（5,2)〉0，且f（2a2＋a＋1)<f（2a2－2a＋3）,∴2a2＋a＋1>2a2－2a＋3，即3a－2〉0，解得a〉eq\f(2,3)。[等級(jí)過關(guān)練]1．已知函數(shù)f（x）為R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）＝x（x＋1)．若f(a）＝－2，則實(shí)數(shù)a為（)A．－1 B．2C．－1或2 D．不存在A[假設(shè)a≥0，則f(a)＝a(a＋1)＝－2，即a2＋a＋2＝0，方程無解,所以a≥0不成立，因此a<0，則－a〉0,所以f(－a)＝－a(－a＋1），由奇函數(shù)f(－a)＝－f（a)，即f（－a)＝a2－a＝2,解得a＝－1或a＝2（舍)．]2．已知f（x）,g(x）分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且f（x）－g(x)＝x3＋x2＋1，則f（1）＋g(1）＝(）A．－3 B．－1C．1 D．3C［∵f（x）－g(x）＝x3＋x2＋1,∴f(－x）－g(－x)＝－x3＋x2＋1?！遞（x）是偶函數(shù)，g（x)是奇函數(shù)，∴f（－x）＝f（x),g(－x）＝－g（x)．∴f(x)＋g（x)＝－x3＋x2＋1.∴f(1）＋g（1)＝－1＋1＋1＝1.］3．已知函數(shù)y＝f（x)為偶函數(shù)，其圖象與x軸有四個(gè)交點(diǎn),則方程f(x)＝0的所有實(shí)根之和是________．0［由于偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,所以偶函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)也關(guān)于y軸對(duì)稱，因此四個(gè)交點(diǎn)中，有兩個(gè)在x軸的負(fù)半軸上,另兩個(gè)在x軸的正半軸上，所以四個(gè)實(shí)根的和為0。]4．定義在R上的奇函數(shù)f（x),當(dāng)x〉0時(shí),f（x)＝2，則奇函數(shù)f(x)的值域是________．{－2,0，2｝［奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以當(dāng)x〈0時(shí)，f(x)＝－2，又定義域?yàn)镽，所以f(0）＝0，因此函數(shù)的值域?yàn)椋?，0，2｝．]5．已知f（x）為奇函數(shù)，且當(dāng)x＜0時(shí)，f（x)＝x2＋3x＋2。若當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，n≤f(x)≤m恒成立，求m－n的最小值．[解］當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)＝x2＋3x＋2＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f（3,2)））eq\s\up8(2)－eq\f(1，4），∴當(dāng)x∈［－3，－1]時(shí)，f（x)min＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1