【班海精品教案】人教版（新）九下-28.2 解直角三角形及其應用

班海數(shù)學精批——一本可精細批改的教輔28.2解直角三角形及其應用28.2.1解直角三角形一、教育目標(一)知識與技能使學生理解直角三角形中五個元素的關(guān)系，會運用勾股定理，直角三角形的兩個銳角互余及銳角三角函數(shù)解直角三角形．(二)過程與方法通過綜合運用勾股定理，直角三角形的兩個銳角互余及銳角三角函數(shù)解直角三角形，逐步培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力．(三)情感態(tài)度與價值觀滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，培養(yǎng)學生良好的學習習慣．二、重、難點重點：直角三角形的解法．難點：三角函數(shù)在解直角三角形中的靈活運用．

三、教學過程(一)明確目標

1．在三角形中共有幾個元素？

2．直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B這五個元素間有哪些等量關(guān)系呢？(1)邊角之間關(guān)系；如果用表示直角三角形的一個銳角，那上述式子就可以寫成.(2)三邊之間關(guān)系a2+b2=c2(勾股定理)(3)銳角之間關(guān)系∠A+∠B=90°．以上三點正是解直角三角形的依據(jù)，通過復習，使學生便于應用．(二)整體感知教材在繼銳角三角函數(shù)后安排解直角三角形，目的是運用銳角三角函數(shù)知識，對其加以復習鞏固．同時，本課又為以后的應用舉例打下基礎(chǔ)，因此在把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題之后，就是運用本課——解直角三角形的知識來解決的．綜上所述，解直角三角形一課在本章中是起到承上啟下作用的重要一課．(三)重點、難點的學習與目標完成過程1．我們已掌握Rt△ABC的邊角關(guān)系、三邊關(guān)系、角角關(guān)系，利用這些關(guān)系，在知道其中的兩個元素(至少有一個是邊)后，就可求出其余的元素．這樣的導語既可以使學生大概了解解直角三角形的概念，同時又陷入思考，為什么兩個已知元素中必有一條邊呢？激發(fā)了學生的學習熱情．2．教師在學生思考后，繼續(xù)引導“為什么兩個已知元素中至少有一條邊？”讓全體學生的思維目標一致，在作出準確回答后，教師請學生概括什么是解直角三角形？(由直角三角形中除直角外的兩個已知元素，求出所有未知元素的過程，叫做解直角三角形)．3．例題

例1在△ABC中，∠C為直角，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c，且c=287.4，∠B=42°6′，解這個三角形．分析：解直角三角形的方法很多，靈活多樣，學生完全可以自己解決，但例題具有示范作用．因此，此題在處理時，首先，應讓學生獨立完成，培養(yǎng)其分析問題、解決問題能力，同時滲透數(shù)形結(jié)合的思想．其次，教師組織學生比較各種方法中哪些較好，選一種板演．解：(1)∠A=90°-∠B＝90°-42°6′=47°54′，(2)∴a=c．cosB=28.74×0.7420≈213.3．(3),∴b=c·sinB=287.4×0.6704≈192.7．完成之后引導學生小結(jié)“已知一邊一角，如何解直角三角形？”答：先求另外一角，然后選取恰當?shù)暮瘮?shù)關(guān)系式求另兩邊．計算時，利用所求的量如不比原始數(shù)據(jù)簡便的話，最好用題中原始數(shù)據(jù)計算，這樣誤差小些，也比較可靠，防止第一步錯導致一錯到底．例2在Rt△ABC中，a=104.0，b=20.49，解這個三角形．在學生獨立完成之后，選出最好方法，教師板書．(1)查表得A=78°51′；(2)∠B=90°-78°51′=11°9′(3).注意：例1中的b和例2中的c都可以利用勾股定理來計算，這時要查平方表和平方根表，這樣做有時會比上面用含四位有效數(shù)字的數(shù)乘(或除)以另一含四位有效數(shù)字的數(shù)要方便一些．但先后要查兩次表，并作一次加法(或減法)．4．鞏固練習解直角三角形是解實際應用題的基礎(chǔ)，因此必須使學生熟練掌握．為此，教材配備了練習針對各種條件，使學生熟練解直角三角形，并培養(yǎng)學生運算能力．說明：解直角三角形計算上比較繁鎖，條件好的學校允許用計算器．但無論是否使用計算器，都必須寫出解直角三角形的整個過程．要求學生認真對待這些題目，不要馬馬虎虎，努力防止出錯，培養(yǎng)其良好的學習習慣．(四)總結(jié)與擴展1．請學生小結(jié)：在直角三角形中，除直角外還有五個元素，知道兩個元素(至少有一個是邊)，就可以求出另三個元素．2．出示圖表，請學生完成

abcAB1√√2√√3√b=a?cotA√4√b=a?tanB√5√√6a=b?tanA√√7a=b?cotB√√8a=c?sinAb=c?cosA√√9a=c?cosBb=c?sinB√√10不可求不可求不可求√√注：上表中“√”表示已知。四、布置作業(yè)28.2.3解直角三角形在實際中的一般應用【知識與技能】本節(jié)主要探索的是運用解直角三角形的知識去解決某些簡單的基本問題.【過程與方法】1.用解三角形的有關(guān)知識去解決簡單的基本問題的過程.2.選擇合適的邊角關(guān)系式，使運算簡便.努力培養(yǎng)學生數(shù)形結(jié)合，把基本問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題并用數(shù)學方法去分析、解決問題的能力.【情感態(tài)度】通過解決問題，激發(fā)學生學數(shù)學的興趣，使全體學生積極參與，并體驗成功的喜悅.【教學重點】引導學生根據(jù)題意找出正確的直角三角形，并找到恰當?shù)那蠼怅P(guān)系式，把基本問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題來解決.【教學難點】使學生學會將有關(guān)簡單的問題中的數(shù)量關(guān)系，歸結(jié)為直角三角形中元素之間的關(guān)系.一、知識回顧1.解直角三角形的意義：在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的過程，叫做直角三角形2.直角三角形中諸元素之間的關(guān)系：（1）三邊之間的關(guān)系：a2+62=c2(勾股定理）（2）銳角之間的關(guān)系：∠A+∠B=90°；（3）邊角之間的關(guān)系：.把∠A換成∠B同樣適用.二、思考探究，獲取新知我們已經(jīng)掌握了運用直角三角形的邊角關(guān)系解直角三角形，那么請思考：對于簡單的基本問題，我們能否用解直角三角形的方法去解決呢？如圖，河寬AB(假設(shè)河的兩岸平行），在C點測得∠ACB=30°，D點測得∠ADB=60°，又CD=60m，則河寬AB為多少米？（結(jié)果保留根號）【分析】先根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出∠CAD的度數(shù)，判斷出△ACD的形狀，再由銳角三角函數(shù)的定義即可求出AB的值.【教學說明】本題考查的是解直角三角形的應用，涉及到三角形外角的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義及特殊角的三角函數(shù)值.三、典例精析，掌握新知例1如圖，為了測量河兩岸A、兩點的距離，在與AB垂直的方向上取點C，測得AC=m，∠ACB=α那么AB等于（ ）A.msinαB.ncosαC.mtanαD.m/tanα【分析】本題易因記錯∠α的正切或運算關(guān)系掌握不好而選錯.答案C例2如圖，小明在公園里放風箏，拿風箏線的手B離地面高度AB為1.5米，風箏飛到C處時的線長BC為30米，這時測得∠CBD=60°，求此時風箏離地面的高度.（結(jié)果精確到0.1米，)【分析】在Rt△BCD中，由BC=30米，∠CBD=60°，利用正弦可求得CD，又DE=AB，從而風箏離地面的高度CE=CD+DE.【教學說明】解答本題的關(guān)鍵是利用解直角三角形來求CD的長，利用矩形的性質(zhì)求DE的長.四、運用新知、深化理解1.課外活動小組測量學校旗桿的高度，如圖，當太陽光線與地面成30°角時，測得旗桿AB在地面上影長BC長為24米，則旗桿AB的高約是多少？2.如圖是一個半圓形橋洞截面示意圖，圓心為O，直徑A河底線，弦CD水位線，CD//AB，且CD=24m.OE丄CD于點E.已測得水面距最高處有8m已測得.（1）求半徑OD;（2）根據(jù)需要，睡眠要以每小時0.5m的速度下降，則經(jīng)過多長時間才能將水排干？【教學說明】可讓學生自主探究，也可小組內(nèi)討論.教師巡視，發(fā)現(xiàn)問題給予指導.【答案】1.解：∵太陽光線與地面成30°角，旗桿AB在地面上的影長BC為24米，∴旗桿AB的高度約是：.2..分析：解決此題的關(guān)鍵是求出OE的值.由垂徑定理易求出DE的長，Rt△OED中，根據(jù)DE的長以及∠EOD的正弦值，可求出半徑OD的長，再由勾股定理即可求出OE的值.OE的長除以水面下降的速度，即可求出將水排干所需要的時間.五、師生互動、課堂小結(jié)1.解直角三角形的關(guān)鍵是找到與已知和未知相關(guān)聯(lián)的直角三角形，當圖形中沒有直角三角形時，要通過作輔助線構(gòu)造直角三角形.（作某邊上的高是常用的輔助線）2.一些解直角三角形的問題往往與其他知識聯(lián)系，所以在復習時要形成知識結(jié)構(gòu)，要把解直角三角形作為一種工具，能在解決各種問題時合理運用.1.布置作業(yè)：從教材P77?79習題28.2中選取.2.完成練習冊中本課時的練習.本課時以自主探究和小組討論為主，以教師歸納講解為輔，激發(fā)學生自主學習的興趣和能力，使學生進一步鞏固和深化銳角三角函數(shù)和直角三角形知識的理解，培養(yǎng)學生數(shù)形結(jié)合的思想. 28.2.4用解直角三角形解視角問題一、教學目標(一)、知識與技能使學生了解仰角、俯角的概念，使學生根據(jù)直角三角形的知識解決實際問題．

(二)、過程與方法逐步培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力．(三)、情感態(tài)度與價值觀培養(yǎng)學生用數(shù)學的意識，滲透理論聯(lián)系實際的觀點．二、重、難點重點：要求學生善于將某些實際問題中的數(shù)量關(guān)系，歸結(jié)為直角三角形中元素之間的關(guān)系，從而解決問題．難點：要求學生善于將某些實際問題中的數(shù)量關(guān)系，歸結(jié)為直角三角形中元素之間的關(guān)系，從而解決問題．三、教學過程(一)明確目標1．解直角三角形指什么？2．解直角三角形主要依據(jù)什么？(1)勾股定理：a2+b2=c2(2)銳角之間的關(guān)系：∠A+∠B=90°(3)邊角之間的關(guān)系：tanA=，cotA=(二)整體感知在講完查“正弦和余弦表”以及“正切和余切表”后，教材隨學隨用，先解決了本章引例中的實際問題，然后又解決了一些簡單問題，至于本節(jié)“解直角三角形”，完全是講知識的應用與聯(lián)系實際的．因此本章應努力貫徹理論聯(lián)系實際的原則．(三)重點、難點的學習與目標完成過程1．仰角、俯角當我們進行測量時，在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫做仰角，在水平線下方的角叫做俯角．教學時，可以讓學生仰視燈或俯視桌面以體會仰角與俯角的意義．2．例1如圖(6-16)，某飛機于空中A處探測到目標C，此時飛行高度AC=1200米，從飛機上看地平面控制點B的俯角α=16°31′，求飛機A到控制點B距離(精確到1米)．解決此問題的關(guān)鍵是在于把它轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，利用解直角三角形知識來解決，在此之前，學生曾經(jīng)接觸到通過把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題后，用數(shù)學方法來解決問題的方法，但不太熟練．因此，解決此題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化實際問題為數(shù)學問題，轉(zhuǎn)化過程中著重請學生畫幾何圖形，并說出題目中每句話對應圖中哪個角或邊(包括已知什么和求什么)，會利用平行線的內(nèi)錯角相等的性質(zhì)由已知的俯角α得出Rt△ABC中的∠ABC，進而利用解直角三角形的知識就可以解此題了．解；在Rt△ABC中sinB=AB==4221(米)答：飛機A到控制點B的距離約為4221米．例1小結(jié)：本章引言中的例子和例1正好屬于應用同一關(guān)系式 sinA=來解決的兩個實際問題即已知和斜邊求∠α的對邊；以及已知∠α和對邊，求斜邊．3．鞏固練習如圖6-17，某海島上的觀察所A發(fā)現(xiàn)海上某船只B并測得其俯角α=80°14′．已知觀察所A的標高(當水位為0m時的高度)為43.74m，當時水位為+2.63m，求觀察所A到船只B的水平距離BC(精確到1m)為了鞏固例1，加深學生對仰角、俯角的了解，配備了練習．由于學生只接觸了一道實際應用題，對其還不熟悉，不會將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，因此教師在學生充分地思考后，應引導學生分析：1．誰能將實物圖形抽象為幾何圖形？請一名同學上黑板畫出來．2．請學生結(jié)合圖(6-18)說出已知條件和所求各是什么？

答：已知∠B=8°14′，AC=43.74-2.63=41.11，求AB．這樣，學生運用已有的解直角三角形的知識完全可以解答．對于程度較高的學生，教師還可以將此題變式：當船繼續(xù)行駛到D時，測得俯角β=18°13′，當時水位為-1.15m，求觀察所A到船只B的水平距離(精確到1m)，請學生獨立完成．例2如圖6-19，已知A、B兩點間的距離是160米，從A點看B點的仰角是11°，AC長為1.5米，求BD的高及水平距離CD．此題在例1的基礎(chǔ)上，又加深了一步，須由A作一條平行于CD的直線交BD于E，構(gòu)造出Rt△ABE，然后進一步求出AE、BE，進而求出BD與CD．設(shè)置此題，既使成績較好的學生有足夠的訓練，同時對較差學生又是鞏固，達到分層次教學的目的．解：過A作AE∥CD，于是AC=ED，AE＝CD．在Rt△ABE中。sinA=∴BE=AB·sinA=160·sin11°=30.53(米)．cosA=∴AE=AB·cosA=160·cos11°=157.1(米)．∴BD=BE+ED=BE+AC=30.53+1.5＝32.03(米)．CD=AE=157.1(米)．答：BD的高及水平距離CD分別是32.03米，157.1米．練習：為測量松樹AB的高度，一個人站在距松樹15米的E處，測得仰角∠ACD=52°，已知人的高度為1.72米，求樹高(精確到0.01米)．要求學生根據(jù)題意能畫圖，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，利用解直角三角形的知識來解決它．(四)總結(jié)與擴展請學生總結(jié)：本節(jié)課通過兩個例題的講解，要求同學們會將某些實際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題去解決；今后，我們要善于用數(shù)學知識解決實際問題．四、布置作業(yè)1．課本習題A組1,2 28.2.5用解直角三角形解方位角、坡角的應用一、教學目標(一)知識與技能鞏固直角三角形中銳角的三角函數(shù)，學會解關(guān)于方位角、坡度角和有關(guān)角度的問題．(二)過程與方法逐步培養(yǎng)學生分析問題解決問題的能力，進一步滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想和方法．(三)情感態(tài)度與價值觀培養(yǎng)學生用數(shù)學的意識；滲透數(shù)學來源于實踐又反過來作用于實踐的辯證唯物主義觀點．二、重、難點重點：能熟練運用有關(guān)三角函數(shù)知識．難點：解決實際問題．三、教學過程(一)明確目標講評上課節(jié)課后作業(yè)(二)重點、難點的學習與目標完成過程教師出示例題．例1如圖，在山坡上種樹，要求株距(相鄰兩樹間的水平距離)是5.5m，測得斜坡的傾斜角是24°，求斜坡上相鄰兩樹的坡面距離是多少(精確到0.1m)．分析：1．例題中出現(xiàn)許多術(shù)語——株距，傾斜角，這些概念學生未接觸過，比較生疏，而株距概念又是學生易記錯之處，因此教師最好準備教具：用木板釘成一斜坡，再在斜坡上釘幾個鐵釘，利用這種直觀教具更容易說明術(shù)語，符合學生的思維特點．2．引導學生將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題畫出圖形(上圖(2))．已知：Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5.5，∠A=24°，求AB．3．學生運用解直角三角形知識完全可以獨立解決例1．教師可請一名同學上黑板做，其余同學在練習本上做，教師巡視．答：斜坡上相鄰兩樹間的坡面距離約是6.0米．教師引導學生評價黑板上的解題過程，做到全體學生都掌握．

例2如圖6-30，沿AC方向開山修渠，為了加快施工速度，要從小山的另一邊同時施工，從AC上的一點B取∠ABD=140°，BD=52cm，∠D=50°，那么開挖點E離D多遠(精確到0.1m)，正好能使A、C、E成一條直線？

這是實際施工中經(jīng)常遇到的問題．應首先引導學生將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題．由題目的已知條件，∠D=50°，∠ABD=140°，BD=520米，求DE為多少時，A、C、E在一條直線上。學生觀察圖形，不難發(fā)現(xiàn)，∠E=90°，這樣此題就轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題了，全班學生應該能獨立準確地完成．解：要使A、C、E在同一直線上，則∠ABD是△BDE的一個外角．∴∠BED=∠ABD-∠D=90°．∴DE=BD·cosD=520×0.6428=334.256≈334.3(m)．答：開挖點E離D334.3米，正好能使A、C、E成一直線，

提到角度問題，初一教材曾提到過方位角，但應用較少．因此本節(jié)課很有必要補充一道涉及方位角的實際應用問題．

補充題：正午10點整，一漁輪在小島O的北偏東30°方向，距離等于10海里的A處，正以每小時10海里的速度向南偏東60°方向航行．那么漁輪到達小島O的正東方向是什么時間？(精確到1分)．

學生雖然在初一接觸過方位角，但應用很少，所以學生在解決這個問題時，可能出現(xiàn)不會畫圖，無法將實際問題轉(zhuǎn)化為幾何問題的情況．因此教師在學生獨自嘗試之后應加以引導：(1)確定小島O點；(2)畫出10時船的位置A；(3)小船在A點向南偏東60°航行，到達O的正東方向位置在哪？設(shè)