電大-微積分初步答案完整版

-vx3+xsinx1,

解：Jdx=3dx-xdx+Jsinxdx23=3lnx-x2-cosx+c

32.J(2x-1)10dx111解：J(2x-1)i0dx=J(2x-1)10d(2x-1)=?(2x-1)i0+i+c2210+1=-L(2x-1)11+c221sin—3.J-了dxx21

sin—

解：J——x-dx=

x2-Jsind-d(—)=cos—+c了了4.Jxsin2xdx解：Jxsin2xdx=--Jxdcos2x=-—(xcos2x-Jcos2xdx)

2225.Jxe-xdx11--xcos2x+—sin2x+c解：Jxe-xdx=-Jxde-x=-(xe-x-Je-xdx)=-xe-x-e-x+c四、極值應(yīng)用題（每小題12分，共24分）1．解：設(shè)矩形的周長為120厘米，以矩形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周得一圓柱體。試求矩形的邊長為多少時(shí)，才能使圓柱體的體積最大。設(shè)矩形的一邊長為了厘米，則另一邊長為60-了厘米，以60-了厘米的邊為軸旋轉(zhuǎn)一周得一圓柱體，則體積V為：V=冗了2(60—x)，即：V=60m2-nx3dVdxdV=120Kx-3nx2，令=0，得:dx2．x=0（不合題意，舍去），x=40，這時(shí)60-x=20由于根據(jù)實(shí)際問題，有最大體積，故當(dāng)矩形的一邊長為40厘米、另一邊長為60厘米時(shí)，才能使圓柱體的體積最大。欲用圍墻圍成面積為216平方米的一成矩形的土地，并在正中用一堵墻將其隔成兩塊，問這塊土地的長和寬選取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？解：設(shè)矩形的長為了米則矩形的寬為竺米，從而所用建筑材料為:x648即：L=2x+—x--1解：J1-1TOC\o"1-5"\h\zXL648XL216——=2-,令I(lǐng)-=0得：x=18（取正值），這時(shí)=12Xxx2Xxx由于根據(jù)實(shí)際問題,確實(shí)有最小值,故當(dāng)矩形的長為18米,寬為12米時(shí),才能使所用建筑材料最省五、證明題（本題5分）函數(shù)f（x）=x-ex在（-8,0）是單調(diào)增加的.證明：因?yàn)閒'(x)=1-ex，當(dāng)xe(-8,0)時(shí)，f'(x)=1-ex>0所以函數(shù)f（x）=x-ex在（-8,0）是單調(diào)增加的.微積分初步形成性考核作業(yè)（四）解答（選擇題除外）定積分及應(yīng)用、微分方程一、填空題（每小題2分,共20分）1.J1(sinxcos2x-x2)dx=(sinxcos2x-x2)dx=J1sinxcos2xXx-J1x2Xx=-2J1x2Xx=--1A.J2(x5-4x+cosx)dx=A2解：J-1A.J2(x5-4x+cosx)dx=A2解：J2(x5-4x+cosx)dx=A2J2(X5-4x)dx+JAA.cosxXx=2J2cosxXx=2sinx0.已知曲線y=f（x）在任意點(diǎn)x處切線的斜率為vx，且曲線過（4,5）,則該曲線的方程是解：由JxdXx=3x2+c得所求的曲線方程由y=3x2+C確定23因?yàn)榍€過（4,5）,所以5=-?42+c，解得:1c=--3231因此所求的曲線方程為y=3x2-3.若J1(5x3-3x+2)Xx=-1解：J1-1(5x3-3x+2)Xx=J1(5x3-3x)Xx+J12Xx=4J1Xx=4-1-1.由定積分的幾何意義知，Jra2-x2dd=。0解：由定積分的幾何意義知，Jaa22-x2dd就等于圓x2+y2=a2在第I象限的面積，即01.,1圓x2+y2=a2面積的一，因此Jaa2-x2dd=一冗a24046.—Jeln(x2+1)dx=dx1d解：一Jeln(x2+1)dx=0dx17.J0e2xdx=.解：J0e2xdxlimJ0e2xdx=—limJ0一ge2xd(2x)=lim—e2xb-—^2011=lim(1-e2b)=22b-—^b8.微分方程y'=y,y(0)=1的特解為解：由y'=y得華=y，空=dx，兩邊同時(shí)積分，得lny=x+cdxy因?yàn)閥(0)=1,所以ln1=0+c,所以c=0從而lny=x，因此微分方程y'=y,y(0)=1的特解為y=ex9.微分方程y'+3y=0的通解為解：y'+3y=0,—+3y=0,—+3dx=0,lny+3x=cdxyeex-e-xA.J——-——dx-12lny=c-3x,y=ec1-3x,即y=ec1-e-3x1所以微分方程y'+3y=0的通解為y=ce-3x10.微分方程(y")3+4盯⑷=y7sinx的階數(shù)為解：微分方程(y")3+4盯⑷=y7sinx的階數(shù)為4階二、單項(xiàng)選擇題(每小題2分,共20分)1.在切線斜率為2x的積分曲線族中，通過點(diǎn)(1,4)的曲線為(A).A.y=x2+3B.y=x2+4C.y=x2+2D.y=x2+12.若J2.若J1(2x+k)dx=2A).A.1B.-1C.03.下列定積分中積分值為0的是(A).C.C.J，(x3+cosx)dx-兀D.J，(x2+sinx)dx-，ex+e-xJ1——-——dx-124.設(shè)f(x)是連續(xù)的奇函數(shù)，則定積分Jaf(x)dx=-aA.2J0f(x)dxB.J0f(x)dxC.Jaf(x)dxD.0-a-a05．2sinx|dx=(）．6．8．9．A．0B.冗下列無窮積分收斂的是（A．7．A．J+9exdxB．兀C.2）．J+9e-xdx下列無窮積分收斂的是J*9sinxdx0下列微分方程中，（A.yx2+lny=y'B．B．微分方程y'=0的通解為（A.y=Cx）．J+9e-2xdxC．）是線性微分方程．C）．B.y=x+CC．D．2J+91-dxxC．J+「dx

1xD．J+91D．C.y〃+xy，=eyD．-Xdx-vxJ+8Ldx1工xD．10.下列微分方程中為可分離變量方程的是（dy=x+y；dxdy=xy+y；dxdy=xy+sinx；dxdy=x(y+x)dx三、計(jì)算題（每小題7分，共56分）Jln2ex(1+ex)2dx01ln2819解.J12ex(1+ex)2dx=Jn2(1+ex)2d(1+ex)=—(1+ex)3=9——=——oo3330Je1+5lnxdx1x解：JeI”=xdx=Je(1+51nx)dInx=-Je(1+51nx)d(1+51nx)x1513.11^〃e=_._(1+51nx)2521J1xexdx=.1(6-1)=1102解：4.解：0J1xexdx=J1xdex=xex1000J兀-x.xsin—dx02』兀xsinxdx=2J兀xsin-J1exdx=e-ex1=e-(e-1)=100xdcos—2。/x=-2(xcos—2-J兀cos=21兀cos^dx0020,.x=4sin—2=4}cos0工．2xsinxdx$-J2$-J2cosxdx)00z支解：J2xsinxdx=-J2xdcosx=-(xcosx00=sinxy7.求微分方程#x=x2+1滿足初始條件，⑴二4的特解?解：微分方程的通解為y=e-JP(x)dx[Jq(x)eJp(x)dxdx+c]這里p(x)=—，q(x)=x2+1x代入得微分方程的通解為y=-(1x4+1x2+c)x427將初始條件y⑴二4代入上式，解得c=1所以微分方程的特解為y二x(4x4+2x2+1).求微分方程y'--=2xsin2x的通解。x解：微分方程的通解為y=e-Jp(x)dx[Jq(x)eJp(x)dxdx+c]這里P(x)=-—，q(x)=2xsin2xx代入得微分方程的通解為y=x(-cos2x+c)四、證明題(本題4分)證明等式J0f(x)dx=J0[f(-x)+f(x)]dx。-a證明：J"af(x)dx=J0f(x)dx+Jaf(x)dx-a--a考慮積分J0f(x)dx，令x=-t，則dx=-dt，從而J0f(x)dx=J0f(-1)[-dt]=-J0f(-1)dt=Jaf(-1)dt=Jaf(-x)dxTOC\