2021-2022學(xué)年天津市第三中學(xué)高一年級(jí)下冊(cè)學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

2021-2022學(xué)年天津市第三中學(xué)高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．i是虛數(shù)單位，計(jì)算的結(jié)果為（

）A． B． C． D．A【分析】應(yīng)用復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn)即可.【詳解】.故選：A2．向量（

）A． B． C． D．B【分析】根據(jù)向量的加減運(yùn)算法則，即可求得答案.【詳解】,故選：B3．i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)，則z的共軛復(fù)數(shù)（

）A． B． C． D．C【分析】利用復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn)z，根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念求.【詳解】，故.故選：C4．下列各項(xiàng)調(diào)查中你認(rèn)為合理的有（

）①為了了解全校同學(xué)喜歡課程情況，對(duì)某班男同學(xué)進(jìn)行抽樣調(diào)查②“神舟十四號(hào)”飛船發(fā)射前，采用抽樣調(diào)查的方式檢查其各零部件的合格情況③采用抽樣調(diào)查的方式了解國(guó)內(nèi)外觀眾對(duì)電影《流浪地球》的觀影感受④為調(diào)查我市居民對(duì)“垃圾分類”有關(guān)內(nèi)容的了解程度，將要調(diào)查的問(wèn)題放到某網(wǎng)站上，這樣大部分上網(wǎng)的人就可以看到調(diào)查問(wèn)題并及時(shí)反饋A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)B【分析】根據(jù)調(diào)查的內(nèi)容，結(jié)合全面調(diào)查和抽樣調(diào)查的適用特征判斷各項(xiàng)調(diào)查是否合理即可.【詳解】①了解全校同學(xué)喜歡課程情況，應(yīng)在各班進(jìn)行抽樣，同時(shí)不能僅限男同學(xué)，不合理；②“神舟十四號(hào)”飛船發(fā)射前，應(yīng)采用全面調(diào)查檢查其各零部件的合格情況，不合理；③了解國(guó)內(nèi)外觀眾對(duì)電影《流浪地球》的觀影感受，采用抽樣調(diào)查，合理；④對(duì)“垃圾分類”有關(guān)內(nèi)容的了解程度，問(wèn)題放到某網(wǎng)站上，受調(diào)查人群有局限，不合理.故選：B5．已知向量，若，則（

）A． B． C．1 D．4A【分析】根據(jù)，代入運(yùn)算求解．【詳解】∵，則∴故選：A．6．已知、表示兩個(gè)不同的平面，、是兩條不同的直線，則下列命題中正確的是（

）A．，， B．，C．，， D．，，C【分析】利用已知條件判斷線線、線面位置關(guān)系，可判斷ABD選項(xiàng)的正誤；利用面面垂直的性質(zhì)定理以及線面平行的判定定理可判斷C選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，若，，，則、的位置關(guān)系不確定，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，若，，則與的位置關(guān)系不確定，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)，過(guò)直線上的點(diǎn)在平面內(nèi)作，如下圖所示：因?yàn)?，，，，則，，則，又因?yàn)?，，所以，，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，，，，則、平行或異面，D錯(cuò).故選：C.7．已知的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且，，則△ABC的面積為（

）A． B． C． D．A【分析】利用余弦定理可求的值，從而可求三角形的面積．【詳解】因?yàn)?，故，而，故，故，故三角形的面積為，故選：A．8．下列說(shuō)法中不正確的是（

）A．將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都乘以2后，平均數(shù)也變?yōu)樵瓉?lái)的2倍B．一組數(shù)據(jù)1，2，3，3，4，5的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)都相同C．一組數(shù)6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的90%分位數(shù)為5.5D．若甲組數(shù)據(jù)的方差為5，乙組數(shù)據(jù)的方差為4.7，則這兩組數(shù)據(jù)中較穩(wěn)定的是甲D【分析】A由平均數(shù)的倍數(shù)關(guān)系，結(jié)合平均數(shù)的求法判斷；B求出平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)即可；C求出90%分位數(shù)；D由方差大小與穩(wěn)定性關(guān)系判斷.【詳解】A：若原數(shù)據(jù)為，則，每個(gè)數(shù)據(jù)乘以2后，則，正確；B：平均數(shù)為，中位數(shù)、眾數(shù)均為3，正確；C：從小到大為1、2、2、2、3、3、3、4、5、6，由，90%分位數(shù)為，正確；D：由甲的方差比乙大，故乙數(shù)據(jù)比較穩(wěn)定，錯(cuò)誤.故選：D9．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐，以該四棱錐的高為邊長(zhǎng)的正方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長(zhǎng)的比值為（

）A． B． C． D．C【分析】設(shè)，利用得到關(guān)于的方程，解方程即可得到答案.【詳解】如圖，設(shè)，則，由題意，即，化簡(jiǎn)得，解得（負(fù)值舍去）.故選：C.【點(diǎn)晴】本題主要考查正四棱錐的概念及其有關(guān)計(jì)算，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)計(jì)算能力，是一道容易題.二、填空題10．有甲，乙，丙三種個(gè)體按3∶1∶2的比例分層抽樣調(diào)查，如果抽取的丙種個(gè)體數(shù)為6，則樣本容量為_(kāi)___________．18【分析】由分層抽樣的等比例性質(zhì)求樣本容量.【詳解】由題設(shè)，樣本容量為.故1811．復(fù)數(shù)滿足（其中為虛數(shù)單位），則__________．【分析】利用復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式可求得結(jié)果.【詳解】由已知可得.故答案為.12．在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c．若，則角____________．或【分析】利用正弦定理及的范圍求其大小.【詳解】由正弦定理知：，即，可得，而，故或.故或13．已知平面向量滿足，且與的夾角為，則____________．【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義，可求得，根據(jù)結(jié)合數(shù)量積運(yùn)算律運(yùn)算求解．【詳解】根據(jù)題意可得：∵，則故．14．一個(gè)底面積為1的正四棱柱的頂點(diǎn)都在同一球面上，若此球的表面積為，則該四棱柱的高為_(kāi)___________．【分析】由題意可知正四棱柱的對(duì)角線長(zhǎng)即為球的直徑，根據(jù)對(duì)角線長(zhǎng)的計(jì)算公式可求得四棱柱的高.【詳解】由題意可知正四棱柱的對(duì)角線長(zhǎng)即為球的直徑，因?yàn)樵撉虻谋砻娣e為，所以球的半徑，正四棱柱的底面積為1，則底面邊長(zhǎng)為1，設(shè)正四棱柱的高為h，則，即解得，故.15．在2022年2月4日舉行的北京冬奧會(huì)開(kāi)幕式上，貫穿全場(chǎng)的雪花元素為觀眾帶來(lái)了一場(chǎng)視覺(jué)盛宴，象征各國(guó)?各地區(qū)代表團(tuán)的91朵“小雪花”匯聚成一朵代表全人類“一起走向未來(lái)”的“大雪花”的意境驚艷了全世界，順次連接圖中各頂點(diǎn)可近似得到正六邊ABCDEF.已知正六邊形的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)P是其內(nèi)部一點(diǎn)（包含邊界），則的最大值是___________【分析】作，利用向量?jī)?nèi)積的幾何意義求解【詳解】作要使最大,必須讓所以如圖可知，當(dāng)在處時(shí),最大,從而最大此時(shí)故三、解答題16．某校2021年高一年級(jí)共有1000名學(xué)生，現(xiàn)對(duì)高一年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)成績(jī)（單位：分）進(jìn)行分析，隨機(jī)抽取100名學(xué)生，將分?jǐn)?shù)按照，，，，，分成6組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖：(1)求a的值，并估計(jì)該校2021年高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)诘娜藬?shù)；(2)估計(jì)該校高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)成績(jī)的第80百分位數(shù).(1)，250人(2)115【分析】（1）由各組的頻率和為1，列方程可求出a的值，再求出數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)诘念l率，從而可估計(jì)出人數(shù)，（2）由樣本數(shù)據(jù)中數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?10分以下所點(diǎn)比例為，在130分以下所點(diǎn)比例為，由此能估計(jì)該校高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)成績(jī)的第80百分位數(shù)【詳解】(1)由題意得，解得由頻率分布直方圖可得，期中數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)诘念l率為，所以該校2021年高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)诘娜藬?shù)約為（人）(2)由（1）知樣本數(shù)據(jù)中數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?10分以下所點(diǎn)比例為，在130分以下所點(diǎn)比例為，所以80%分位數(shù)一定位于內(nèi)，由，可得樣本數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)約為115分，所以該校高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)成績(jī)的第80百分位數(shù)約為115分17．在△ABC中，內(nèi)角A,B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且bsinA=acosB．（1）求角B的大??；（2）若b=3，sinC=2sinA，求a，c的值（1）B=60°（2）【詳解】（1)由正弦定理得【考點(diǎn)定位】本題主要考察三角形中的三角函數(shù)，由正余弦定理化簡(jiǎn)求值是真理18．在，角所對(duì)的邊分別為，已知，．（I）求a的值；（II）求的值；（III）求的值．（I）；（II）；（III）【分析】（I）由正弦定理可得，即可求出；（II）由余弦定理即可計(jì)算；（III）利用二倍角公式求出的正弦值和余弦值，再由兩角差的正弦公式即可求出.【詳解】（I）因?yàn)?，由正弦定理可得，，；（II）由余弦定理可得；（III），，，，所以.19．如圖，在直三棱柱中，，點(diǎn)D是的中點(diǎn)．(1)求異面直線與所成角的余弦值；(2)求平面與平面夾角的正弦值．(1)；(2).【分析】（1）構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線與的方向向量，利用空間向量夾角的坐標(biāo)表示求夾角余弦值.（2）分別求出平面與平面的法向量，利用空間向量夾角的坐標(biāo)表示求二面角余弦值，進(jìn)而求出正弦值即可.【詳解】(1)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則∴．∵，∴異面直線與所成角的余弦值為．(2)設(shè)平面的法向量為，∵，∴，即且，取，則是平面的一個(gè)法向量．取平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面夾角的大小為．由，得：．因此，平面與平面夾角的正弦值為．20．如圖，在四棱錐中，平面，，．(1)證明；(2)求二面角的余弦值；(3)設(shè)E為棱上的點(diǎn)，滿足異面直線與所成的角為，求的長(zhǎng)．(1)證明見(jiàn)解析；(2)；(3).【分析】（1）構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，由已知寫(xiě)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求得，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求