2021-2022學(xué)年湖北省十堰市丹江口市高一年級(jí)下冊(cè)學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案】

2021-2022學(xué)年湖北省十堰市丹江口市高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是（

）A． B． C． D．C【分析】利用直接化簡(jiǎn)即可.【詳解】，所以.故選：C.2．已知向量、滿足，，且，那么（

）A． B． C． D．C【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)橄蛄俊M足，，且，所以，故選：C3．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(1+i)z=2i，則∣z∣=（

）A． B．C． D．2C【分析】求出即得解.【詳解】解：由題意可得，所以，所以.故選：C4．已知向量，，若，則實(shí)數(shù)（

）A．0 B． C．1 D．3B【分析】根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合兩向量垂直，數(shù)量積等于零，求得的值.【詳解】因?yàn)橄蛄浚?，且，所以，即，所以有，解得，故選：B.方法點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)向量的問(wèn)題，解題方法如下：（1）根據(jù)向量垂直向量數(shù)量積等于零，建立等式；（2）根據(jù)向量數(shù)量積運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)；（3）利用向量數(shù)量積坐標(biāo)公式求得結(jié)果.5．在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別是，，，已知，，，則（

）A． B． C． D．D【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得，再利用正弦定理得出結(jié)果．【詳解】解：，，則．，解得．故選：．6．下列說(shuō)法：①圓柱的母線與它的軸可以不平行②圓錐的頂點(diǎn)，圓錐底面圓周上任一點(diǎn)及底面圓的圓心三點(diǎn)的連線都可以構(gòu)成直角三角形③在圓臺(tái)的上、下底面圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓臺(tái)的母線④圓柱的任意兩條母線所在的直線互相平行其中正確的是（

）A．①② B．②④ C．③④ D．①③B【分析】分別判斷每一個(gè)選項(xiàng)的正確性即可.【詳解】①圓柱的母線和軸平行，故①錯(cuò)誤；②圓錐頂點(diǎn)在底面的投影為底面圓心，所以圓錐的頂點(diǎn)，圓錐底面圓周上任一點(diǎn)及底面圓的圓心三點(diǎn)的連線都可以構(gòu)成直角三角形，故②正確；③在圓臺(tái)的上、下底面圓周上各取一點(diǎn)，當(dāng)這兩點(diǎn)的距離最小的時(shí)候才是母線，所以③錯(cuò)誤；④圓柱的母線都和軸平行，所以圓柱的任意兩條母線所在的直線互相平行，故④正確.故選：B7．已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別滿足，又點(diǎn)滿足,則（

）A． B． C． D．A【分析】由，利用正弦定理求得，繼而求得a，再求得，最后在中由余弦定理求得答案,【詳解】由題意，可知,即，即，因?yàn)椋?由，得，則，故由可知,而，故在中由余弦定理，得,故,即,故選：A8．已知向量滿足，，，，，則動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑的總長(zhǎng)為（

）A． B．C． D．C【分析】根據(jù)三點(diǎn)以及面外一點(diǎn)向量共線的模型，對(duì)絕對(duì)值形式分類討論，得出點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑為如圖的平行四邊形的四邊:再結(jié)合余弦定理求解即可.【詳解】因?yàn)?所以,因?yàn)?所以,所以.如上圖所示,當(dāng)時(shí),點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑為線段,以此類推，當(dāng)時(shí),點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑為如圖的平行四邊形的四邊:由余弦定理，得,由余弦定理，得,動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑的總長(zhǎng)度為故選：C.二、多選題9．已知復(fù)數(shù)滿足，則下列關(guān)于復(fù)數(shù)z的結(jié)論正確的是（

）A． B．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為C．復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)位于第一象限 D．復(fù)數(shù)是方程的一個(gè)根AD【分析】由，利用復(fù)數(shù)的除法，得到復(fù)數(shù)z后，逐項(xiàng)求解驗(yàn)證.【詳解】解：因?yàn)?，所以，故A正確；，故B錯(cuò)誤；復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，故C錯(cuò)誤；，故D正確；故選：AD10．在中，角、、的對(duì)邊分別為，，，若，，則使此三角形有兩解的的值可以是（

）A．5 B． C．8 D．BC【分析】根據(jù)三角形解的個(gè)數(shù)判斷，即為銳角時(shí)，三角形有兩解.【詳解】當(dāng)為銳角時(shí)，三角形有兩解.，，的值可以是，8，故選：BC.本題考查三角形解的個(gè)數(shù)的判斷，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.11．下列說(shuō)法正確的是（

）A．四棱柱的所有面均為平行四邊形B．長(zhǎng)方體不一定是正四棱柱C．底面是正多邊形的棱錐，是正棱錐D．正四面體一定是正三棱錐BD【分析】利用棱柱以及棱錐的定義，判斷選項(xiàng)的正誤即可.【詳解】解：四棱柱的上下底面四邊形可以是任意四邊形,故A不正確；長(zhǎng)方體不一定是正四棱柱，正確，因?yàn)殚L(zhǎng)方體的三邊可以不相等，所以B正確；不僅底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)在底面內(nèi)的射影是底面中心，才是正棱錐，故C不正確；正四面體一定是正三棱錐，故D正確.故選：BD.本題考查棱錐，棱柱的定義的應(yīng)用，結(jié)構(gòu)特征的判斷，是基礎(chǔ)題.關(guān)鍵是要準(zhǔn)確掌握有關(guān)幾何體定義.12．已知中，，，E為AC中點(diǎn).下列結(jié)論正確的是（

）A． B．△ABC的面積為C． D．P在△ABE的外接圓上，則的最大值為ACD【分析】由余弦定理計(jì)算，由面積公式求三角形面積，再由余弦定理計(jì)算，確定是的外接圓的直徑，得出在優(yōu)弧上時(shí)，可取得最大值，作出圖形，設(shè)，，用表示，利用三角函數(shù)恒等變換公式及正弦函數(shù)性質(zhì)得最大值，從而判斷各選項(xiàng)．【詳解】，又是三角形內(nèi)角，所以，A正確；，B錯(cuò)；，C正確；，，所以，是的外接圓的直徑，如圖，顯然在優(yōu)弧上時(shí)，可取得最大值．，設(shè)，，，由正弦定理，，，，其中，，為銳角．所以時(shí)，取得最大值，D正確．故選：ACD．三、填空題13．已知，且，則__________．【分析】由復(fù)數(shù)相等可構(gòu)造方程組求得結(jié)果.【詳解】由已知得：，解得.故答案為.14．已知等邊的邊長(zhǎng)為2，則它的直觀圖的面積為_(kāi)__________.【分析】已知等邊的邊長(zhǎng)為2，作交于點(diǎn)，得出，根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法，作出等邊的直觀圖，從而可知，，，即可求出直觀圖的面積.【詳解】解：已知等邊的邊長(zhǎng)為2，則，作交于點(diǎn)，并分別以為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如下圖1，可得，根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法，作出等邊的直觀圖，如下圖2，可知，，，過(guò)作，則，故該等邊三角形的直觀圖的面積為.故答案為.

15．設(shè)凼數(shù)（a為實(shí)數(shù)）在區(qū)間上最小值為-4，則a的值等于____________.【分析】利用二倍角公式和輔助角公式化簡(jiǎn)，然后利用換元法和函數(shù)單調(diào)性得到最小值，即可求出.【詳解】，令，則，，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，，所以.故-4.16．在中，，，，為線段上一點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)__________．【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線為，軸建立直角坐標(biāo)系，即可得A、B、C坐標(biāo)，進(jìn)而可得直線的方程，即可得x與y的關(guān)系，又可求得，坐標(biāo)，結(jié)合題意，求得的表達(dá)式，根據(jù)x的范圍，即可得的最小值，即可得答案.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線為，軸建立直角坐標(biāo)系，可得，，，則直線的方程為，設(shè)，則，，則，，所以由，所以當(dāng)時(shí)，有最小值3所以的最小值為，故四、解答題17．已知，，均為復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，對(duì)應(yīng)的向量坐標(biāo)為，且（其中為虛數(shù)單位）.（1）求；（2）求.（1）；（2）.【分析】（1）由題意知，再由，可求得，最后用復(fù)數(shù)的除法法則求解即可；（2）由題意知，由復(fù)數(shù)的乘法法則可求出，再用復(fù)數(shù)模長(zhǎng)公式即可求解【詳解】（1）由題意知，解，得所以.（2）由題意知，則，所以18．設(shè)在平面上有兩個(gè)向量，，與不共線.（1）求證：向量與垂直；（2）當(dāng)向量與的模相等時(shí)，求的大小.（1）證明見(jiàn)解析；（2）或.【分析】（1）利用坐標(biāo)公式求向量模長(zhǎng)，再由向量數(shù)量積的運(yùn)算律，即可證結(jié)論；（2）利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律可得，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、輔助角公式化簡(jiǎn)，由三角函數(shù)性質(zhì)求角的大小.【詳解】（1）由已知，，，則，所以與垂直.（2）由兩邊平方，，所以，而，則.所以，則，.又，則或.19．如圖，甲船A處，乙船在A處的南偏東45°方向，距A有9海里并以20海里/時(shí)的速度沿南偏西15°方向航行，若甲船以28海里/時(shí)的速度航行.(1)求甲船用多少小時(shí)能盡快追上乙船；(2)設(shè)甲船航行的方向?yàn)槟掀珫|，求的正弦值.(1)(2)【分析】（1）設(shè)用小時(shí)，甲船能追上乙船，設(shè)，，求出，在△ABC中，利用余弦定理即可得出答案；（2）利用正弦定理求得，再根據(jù)結(jié)合兩角差的正弦公式即可得出答案.【詳解】(1)解：設(shè)用小時(shí)，甲船能追上乙船，且在C處相遇，在△ABC中，，，，設(shè)，，∴，∴，∴，即，∴，即甲船用小時(shí)能盡快追上乙船；(2)解：由（1）得：海里，海里，根據(jù)正弦定理，得，∴，∴.20．如圖，在直角△ABC中，點(diǎn)D為斜邊BC的靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，，.(1)用表示和；(2)求向量與夾角的余弦值.(1)，(2)【分析】（1）由平面向量的線性運(yùn)算法則求解；（2）以所在的方向分別為軸，軸的正方向，建立平面直角坐標(biāo)系，用數(shù)量積的坐標(biāo)表示計(jì)算．【詳解】(1)∵D為斜邊BC的靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，∴∴，∵E為AD的中點(diǎn)，∴，∴(2)，如圖，以所在的方向分別為軸，軸的正方向，建立平面直角坐標(biāo)系，則，∴，，∴，

21．已知△ABC的外接圓的半徑為，角的對(duì)邊分別為，又向量，，且.(1)求角C；(2)求△ABC的面積S的最大值，并求此時(shí)△ABC的周長(zhǎng).(1)(2)，18【分析】（1）由和正弦定理求得，再用余弦定理求出；（2）利用正余弦定理得到，利用基本不等式求得，判斷出△ABC為正三角形即可求出三角形的周長(zhǎng).【詳解】(1)∵，∴，且，由正弦定理得：，化簡(jiǎn)得：，由余弦定理：，∴，∵，∴.(2)∵，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）∴，∴，此時(shí)△ABC為正三角形，所以三角形的周長(zhǎng)為18.22．如圖，四邊形中，，，.（1）若，求.（2）若，求長(zhǎng)度的取值范圍.（1）；（2）.【分析】（1）利用余弦定理求出，進(jìn)而求得，然后利用三角形的面積公式可求出的值；（2）設(shè)，可知，以及，然后在中利用余弦定理將