2020高中數(shù)學(xué) 第三章 變化率與導(dǎo)數(shù) 4 導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則訓(xùn)練

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE9-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精4導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則[A組基礎(chǔ)鞏固]1．若f(x)＝x2－2x－4lnx，則f′(x）＞0的解集為（）A．（0，＋∞) B．（－1,0)∪(2,＋∞）C．（2，＋∞) D．(－1,0）解析：由題意知x＞0，且f′（x）＝2x－2－eq\f（4,x），即f′（x）＝eq\f（2x2－2x－4,x）＞0，∴x2－x－2＞0，解得x＜－1或x＞2。又∵x＞0，∴x＞2。答案：C2．設(shè)f（x)＝xlnx，若f′(x0）＝2，則x0＝()A．e2 B．eC.eq\f(ln2，2) D．ln2解析：因?yàn)閒′（x)＝(xlnx)′＝lnx＋1,所以f′（x0)＝lnx0＋1＝2，所以lnx0＝1，即x0＝e.答案：B3．已知f(x)＝eq\f（1，4)x2＋sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（π,2)＋x）），f′(x）為f（x)的導(dǎo)函數(shù)，則f′(x）的大致圖像是(）解析：∵f（x)＝eq\f（1,4）x2＋sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（π,2)＋x)）＝eq\f(1,4）x2＋cosx，∴f′(x）＝eq\f(1，2）x－sinx，易知f′(x)＝eq\f(1,2）x－sinx是奇函數(shù)，其圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故排除B，D.由f′eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(π,6）)）＝eq\f(π，12)－eq\f(1,2）<0,排除C，故選A.答案:A4．若過函數(shù)f（x)＝lnx＋ax上的點(diǎn)P的切線與直線2x－y＝0平行，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（)A．(－∞,2］ B．（－∞，2）C．(2,＋∞） D．（0,＋∞)解析:設(shè)過點(diǎn)P(x0，y0）的切線與直線2x－y＝0平行，因?yàn)閒′(x)＝eq\f(1，x）＋a,故f′（x0)＝eq\f（1,x0)＋a＝2,得a＝2－eq\f（1，x0），由題意知x0>0，所以a＝2－eq\f（1,x0）〈2.答案：B5．已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x)，且滿足f(x）＝2xf′（e）＋lnx(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則f′（e)等于(）A.eq\f（1,e) B．eC．－eq\f(1,e) D．－e解析：由f(x）＝2xf′（e）＋lnx，得f′(x)＝2f′(e)＋eq\f（1，x)，則f′（e)＝2f′（e）＋eq\f（1，e)?f′(e）＝－eq\f（1,e).答案：C6．設(shè)f(x）＝eq\f（1,x)－eq\f(1，\r(3，x2）)，則f′(1）＝________.解析:f′(x）＝（eq\f(1,x)－）′＝－eq\f（1，x2)＋eq\f(2，3），∴f′(1)＝－1＋eq\f（2,3)＝－eq\f（1，3）.答案：－eq\f（1，3)7．曲線f（x）＝－x3＋3x2在點(diǎn)(1，2)處的切線方程為________．解析：∵f′（x)＝－3x2＋6x,∴f′(1）＝3?！嗲€y＝－x3＋3x2在點(diǎn)(1,2）處的切線方程為y－2＝3(x－1)，即y＝3x－1.答案：y＝3x－18．已知曲線y＝x＋lnx在點(diǎn)（1，1）處的切線與曲線y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，則a＝________.解析：先求出y＝x＋lnx在點(diǎn)(1，1）處的切線方程，然后利用根的判別式或?qū)?shù)法求a的值．解法一∵y＝x＋lnx,∴y′＝1＋eq\f（1，x），y′|x＝1＝2?！嗲€y＝x＋lnx在點(diǎn)(1，1）處的切線方程為y－1＝2（x－1）,即y＝2x－1.∵y＝2x－1與曲線y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，∴a≠0(當(dāng)a＝0時(shí)曲線變?yōu)閥＝2x＋1與已知直線平行）．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（y＝2x－1，，y＝ax2＋a＋2x＋1，))消去y，得ax2＋ax＋2＝0.由Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8。解法二同解法一得切線方程為y＝2x－1.設(shè)y＝2x－1與曲線y＝ax2＋(a＋2）x＋1相切于點(diǎn)(x0，axeq\o\al（2,0）＋（a＋2)x0＋1）．∵y′＝2ax＋(a＋2)，∴y′｜x＝x0＝2ax0＋（a＋2）．由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（2ax0＋a＋2＝2，，ax\o\al(2，0）＋a＋2x0＋1＝2x0－1,）)解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x0＝－\f(1，2），，a＝8.）)答案:89．設(shè)函數(shù)f（x)＝ax3＋3x，其圖像在點(diǎn)(1,f（1))處的切線l與直線x－6y－7＝0垂直,求直線l與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積．解析：f′(x)＝3ax2＋3,由題設(shè)，得f′(1）＝－6,∴3a＋3＝－6，即a＝－3，∴f（x)＝－3x3＋3x,f(1）＝0，切線l的方程為y－0＝－6（x－1），即y＝－6x＋6,∴直線l與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為S＝eq\f（1,2)×1×6＝3.10．點(diǎn)P是曲線f′(x)＝x2－lnx上任一點(diǎn),求P到直線y＝x－2的距離的最小值．解析：曲線上與直線y＝x－2距離最小的點(diǎn),必定是平行于該直線的切線的切點(diǎn)．設(shè)曲線上一點(diǎn)的橫坐標(biāo)是x0(x0〉0），則經(jīng)過該點(diǎn)的切線的斜率為k＝f′（x0)＝2x0－eq\f（1,x0),∴2x0－eq\f（1,x0)＝1，∴x0＝1或x0＝－eq\f(1，2)，又x0〉0,∴x0＝1，此時(shí)y0＝1。∴切點(diǎn)的坐標(biāo)為（1,1),最小距離為eq\f(|1－1－2｜，\r(2)）＝eq\r(2).[B組能力提升]1．已知f（x)＝eq\f（1，3)x3＋2xf′（3）＋lnx，則f′(3）＝()A.eq\f（28，3） B．－eq\f（28，3）C．9 D．－9解析：因?yàn)閒′（x）＝x2＋2f′(3)＋eq\f(1,x)，所以f′(3)＝32＋2f′（3)＋eq\f（1，3）＝eq\f（28,3)＋2f′（3），解得f′(3)＝－eq\f（28,3),故選B.答案：B2．設(shè)函數(shù)f(x）＝eq\f（sinθ,3)x3＋eq\f(\r（3)cosθ,2）x2＋tanθ,其中θ∈［0，eq\f（5π，12）]，則導(dǎo)數(shù)f′(1）的取值范圍是(）A．[－2，2］ B．［eq\r(2），eq\r（3)］C．［eq\r（3）,2] D．［eq\r(2)，2］解析：由已知f′(x）＝sinθ·x2＋eq\r（3）cosθ·x，∴f′(1)＝sinθ＋eq\r（3）cosθ＝2sin（θ＋eq\f（π，3）)．又θ∈［0,eq\f（5π,12）］，∴eq\f（π，3)≤θ＋eq\f（π，3）≤eq\f(3π,4），∴eq\f(\r（2），2）≤sin(θ＋eq\f(π,3)）≤1,∴eq\r（2）≤f′(1）≤2。答案：D3．已知函數(shù)f（x）＝－x3＋6x2－9x＋8，則過點(diǎn)(0,0)可作曲線y＝f（x)的切線的條數(shù)為__________．解析:∵點(diǎn)（0,0)不在函數(shù)y＝f(x)的圖像上，∴點(diǎn)（0,0)不是切點(diǎn)．設(shè)切點(diǎn)為P（x0，－xeq\o\al(3,0)＋6xeq\o\al(2,0）－9x0＋8）,由f（x）＝－x3＋6x2－9x＋8，可得f′(x）＝－3x2＋12x－9，則f′（x0)＝－3xeq\o\al(2，0)＋12x0－9，∴－3xeq\o\al(2，0）＋12x0－9＝eq\f（－x\o\al(3,0）＋6x\o\al(2，0）－9x0＋8，x0），解得x0＝－1或x0＝2，故切線有2條．答案：24．若點(diǎn)P是曲線f(x）＝x2－lnx上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線y＝x－2的距離最小時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為________．解析：過點(diǎn)P作y＝x－2的平行直線l，且與曲線f（x）＝x2－lnx相切．設(shè)P（x0，xeq\o\al（2,0）－lnx0)，則直線l的斜率k＝f′(x0)＝2x0－eq\f（1,x0)，∴2x0－eq\f（1,x0）＝1，∴x0＝1或x0＝－eq\f(1,2）(舍去)．∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，1)．答案：（1，1)5．設(shè)函數(shù)f(x)＝ax3＋bx＋c(a>0)為奇函數(shù),其圖像在點(diǎn)(1，f（1））處的切線與直線x－6y－7＝0垂直，導(dǎo)函數(shù)f′（x)的最小值是－12，求a，b，c的值．解析：∵f（x）是奇函數(shù),∴f（－x)＝－f(x），即－ax3－bx＋c＝－ax3－bx－c,∴c＝0。∵f′(x)＝3ax2＋b的最小值為－12且a>0,∴b＝－12.又直線x－6y－7＝0的斜率為eq\f(1，6)?！鄁′（1）＝3a＋b＝－6，∴a＝2。綜上可知,a＝2，b＝－12，c＝0。6．已知函數(shù)f(x）＝x－eq\f（2,x），g(x)＝a(2－lnx)．（1）若曲線y＝f（x)與曲線y＝g（x）在x＝1處的切線的斜率相同，求a的值；（2）若存在曲線y＝f(x)與曲線y＝g(x)在同一點(diǎn)處的切線的斜率相同,求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解析:(1)f′（x）＝1＋eq\f(2,x2），g′（x)＝－eq