2020高中數(shù)學(xué) 第四章 指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù) 4. 函數(shù)的應(yīng)用（二）第二冊

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE10-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精4.6函數(shù)的應(yīng)用（二）［A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)］1．某種產(chǎn)品今年的產(chǎn)量是a，如果保持5%的年增長率，那么經(jīng)過x年（x∈N*），該產(chǎn)品的產(chǎn)量y滿足（）A．y＝a（1＋5%x） B．y＝a＋5％C．y＝a(1＋5%）x－1 D．y＝a(1＋5%）x解析:選D.經(jīng)過1年，y＝a（1＋5％）,經(jīng)過2年，y＝a（1＋5%）2，…,經(jīng)過x年,y＝a(1＋5%)x。2．我們處在一個有聲世界里，不同場合，人們對聲音的音量會有不同要求．音量大小的單位是分貝(dB)，對于一個強(qiáng)度為I的聲波，其音量的大小η可由如下公式計(jì)算：η＝10·lgeq\f(I,I0）（其中I0是人耳能聽到的聲音的最低聲波強(qiáng)度)，設(shè)η1＝70dB的聲音強(qiáng)度為I1，η2＝60dB的聲音強(qiáng)度為I2，則I1是I2的(）A.eq\f(7，6）倍 B．10倍C．10eq\s\up6(\f（7,6)）倍 D．lneq\f(7，6)倍解析：選B.依題意可知，η1＝10·lgeq\f(I1,I0),η2＝10·lgeq\f(I2,I0)，所以η1－η2＝10·lgeq\f（I1,I0)－10·lgeq\f（I2,I0），則1＝lgI1－lgI2,所以eq\f（I1,I2）＝10。故選B。3．設(shè)在海拔xm處的大氣壓強(qiáng)是yPa，y與x之間的函數(shù)關(guān)系為y＝cekx，其中c，k為常量．已知海平面處的大氣壓強(qiáng)為1。01×105Pa,在1000m高空處的大氣壓強(qiáng)為0。90×105Pa,則在600m高空處的大氣壓強(qiáng)約為（參考數(shù)據(jù)：0.890。6≈0。93)（）A．9。4×104Pa B．9.4×106PaC．9×103Pa D．9×105Pa解析:選A.依題意得：1。01×105＝ce0＝c,0。90×105＝ce1000k，因此e1000k＝eq\f(0。9,1。01)≈0.89，因此當(dāng)x＝600時，y＝1。01×105e600k＝1.01×105（e1000k）0.6＝1。01×105×0.890。6≈9。4×104,故選A.4.如圖所示，點(diǎn)P在邊長為1的正方形的邊上運(yùn)動,M是CD的中點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)P沿路線A。B。C-M運(yùn)動時，點(diǎn)P經(jīng)過的路程x與△APM的面積y之間的函數(shù)y＝f（x）的圖像大致是（)解析：選A。由題意得，當(dāng)0＜x≤1時，S△APM＝eq\f（1，2)×1×x＝eq\f(1，2）x；當(dāng)1＜x≤2時，S△APM＝S梯形ABCM－S△ABP－S△PCM＝eq\f（1,2)×eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(1＋\f（1，2)))×1－eq\f(1，2)×1×（x－1）－eq\f（1，2）×eq\f（1,2）×（2－x)＝－eq\f(1,4)x＋eq\f（3，4)；當(dāng)2＜x＜eq\f（5，2)時，S△APM＝eq\f（1,2）×eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(5,2）－x）)×1＝－eq\f(1,2）x＋eq\f（5,4).結(jié)合選項(xiàng)可知，A選項(xiàng)符合題意．5．（2019·唐山一中期中）擬定從甲地到乙地通話m分鐘的話費(fèi)(單位：元）由函數(shù)f（m)＝eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(3。71,0＜m≤4，，1.06×(0.5[m］＋1），m＞4))給出,其中［m]是不小于m的最小整數(shù)，例如［2]＝2，［1。21]＝2,那么從甲地到乙地通話5。2分鐘的話費(fèi)為(）A．3.71元 B．4。24元C．4.7元 D．7。95元解析：選B。由［m]是大于或等于m的最小整數(shù)可得[5.2］＝6.所以f(5。2）＝1。06×(0.5×6＋1）＝1.06×4＝4。24.故從甲地到乙地通話5.2分鐘的話費(fèi)為4。24元．故選B。6．為綠化生活環(huán)境,某市開展植樹活動．今年全年植樹6。4萬棵，若植樹的棵數(shù)每年的增長率均為a，則經(jīng)過x年后植樹的棵樹y與x之間的解析式是________，若計(jì)劃3年后全年植樹12.5萬棵,則a＝________．解析：經(jīng)過x年后植樹的棵數(shù)y與x之間的解析式是y＝6。4（1＋a)x，由題意可知6。4(1＋a）3＝12。5，所以（1＋a)3＝eq\f(125,64)，所以1＋a＝eq\f（5,4),故a＝eq\f（1，4)＝25%.答案：y＝6.4(1＋a)x25％7．一個駕駛員喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0。3mg/mL,在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小時25％的速度減少．為了保障交通安全，規(guī)定駕駛員血液中的酒精含量不得超過0.09mg/mL，那么這個駕駛員至少要經(jīng)過________小時才能開車．（精確到1小時,參考數(shù)據(jù)：lg2≈0。30，lg3≈0.48)解析：設(shè)經(jīng)過n小時后才能開車，此時酒精含量為0.3（1－0.25)n。根據(jù)題意，有0.3(1－0。25）n≤0.09，即(1－0.25）n≤0.3，在不等式兩邊取常用對數(shù)，則有nlgeq\f（3，4）＝n（lg3－2lg2）≤lg0。3＝lg3－1，將已知數(shù)據(jù)代入，得n（0。48－0。6）≤0.48－1，解得n≥eq\f(13，3)＝4eq\f(1,3)，故至少經(jīng)過5小時才能開車．答案：58．放射性物質(zhì)衰變過程中其剩余質(zhì)量隨時間按指數(shù)函數(shù)關(guān)系變化．常把它的剩余質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼囊话胨?jīng)歷的時間稱為它的半衰期，記為Teq\s\do9（\f（1，2））?，F(xiàn)測得某種放射性元素的剩余質(zhì)量A隨時間t變化的6次數(shù)據(jù)如下：t（單位時間)0246810A(t）3202261601158057從以上記錄可知這種元素的半衰期約為________個單位時間,剩余質(zhì)量隨時間變化的衰變公式為A（t）＝________．解析：從題表中數(shù)據(jù)易知半衰期為4個單位時間，由初始質(zhì)量為A0＝320，則經(jīng)過時間t的剩余質(zhì)量為A(t）＝A0·eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1,2）))eq\s\up6(\f（t，Teq\s\do9(\f（1,2）))）＝320·2－－eq\s\up6（\f(t，4))(t≥0）．答案：4320·2－eq\s\up6(\f（t，4）)（t≥0）9．汽車駕駛員發(fā)現(xiàn)前方有障礙物時會緊急剎車，這一過程中，由于人的反應(yīng)需要時間,汽車在慣性的作用下有一個剎車距離，設(shè)停車安全距離為S，駕駛員反應(yīng)時間內(nèi)汽車行駛距離為S1，剎車距離為S2，則S＝S1＋S2。而S1與反應(yīng)時間t有關(guān)，S1＝10ln（t＋1），S2與車速v有關(guān)，S2＝bv2。某人剎車反應(yīng)時間為（eq\r（e)－1)秒，當(dāng)車速為60km/h時，緊急剎車后滑行的距離為20米，若在限速100km/h的高速公路上，則該汽車的安全距離為多少米？(精確到米)解：因?yàn)閯x車反應(yīng)時間為(eq\r(e）－1)秒，所以S1＝10ln（eq\r（e）－1＋1)＝10lneq\r（e）＝5，當(dāng)車速為60km/h時，緊急剎車后滑行的距離為20米，則S2＝b·（60)2＝20，解得b＝eq\f(1，180)，即S2＝eq\f（1,180）v2。若v＝100,則S2＝eq\f(1，180）×1002≈56，S1＝5，所以該汽車的安全距離S＝S1＋S2＝5＋56＝61（米）．10．家用冰箱制冷使用的氟化物，釋放后破壞了大氣上層的臭氧層．臭氧含量Q呈指數(shù)函數(shù)型變化，滿足關(guān)系式Q＝Q0e－eq\s\up6（\f（t，400))，其中Q0是臭氧的初始量．(1）隨著時間的增加，臭氧的含量是增加還是減少？（2)多少年以后將會有一半的臭氧消失？（精確到年，參考數(shù)據(jù)：ln2≈0。693，ln3≈1。099）解：(1)因?yàn)镼0＞0,－eq\f（t，400)＜0,e＞1,所以Q＝Q0e－eq\s\up6(\f(t,400))為減函數(shù)，所以隨著時間的增加，臭氧的含量減少．(2）設(shè)x年以后將會有一半的臭氧消失,則Q＝Q0e－eq\s\up6(\f(t,400））＝eq\f(1,2）Q0，即e－eq\s\up6（\f（t,400)）＝eq\f(1，2),取對數(shù)可得－eq\f（x，400)＝lneq\f(1,2），解得x＝400ln2≈277.2.所以278年以后將會有一半的臭氧消失．[B能力提升]11．一種放射性元素,每年的衰減率是8%，那么a千克的這種物質(zhì)的半衰期（剩余量為原來的一半）t等于()A．lgeq\f（0.5,0。92） B．lgeq\f（0。92，0.5）C.eq\f(lg0.5，lg0.92) D.eq\f（lg0.92,lg0.5）解析:選C.由題意知a（1－8％）t＝eq\f(a，2),即（1－8％）t＝eq\f(1,2)，等式兩邊取對數(shù)得lg0。92t＝lg0。5，即tlg0。92＝lg0。5，所以t＝eq\f（lg0.5，lg0。92)，故C選項(xiàng)是正確的．12．(2019·宜昌一中期中）把物體放在冷空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是θ1℃，空氣的溫度是θ0℃，tmin后物體的溫度θ℃可由公式θ＝θ0＋(θ1－θ0）·e－0.24t求得，且把溫度是100℃的物體放在10℃的空氣中冷卻tmin后，物體的溫度是40℃，那么t的值約等于________．（參考數(shù)據(jù)：ln3取1.099，ln2取0。693）解析:由題意可得40＝10＋（100－10）e－0。24t，化簡可得e－0.24t＝eq\f(1,3)，所以－0.24t＝lneq\f（1,3)＝－ln3，所以0。24t＝ln3＝1.099，所以t≈4。58。答案:4.5813．一片森林原來的面積為a，計(jì)劃每年砍伐一些樹，且每年砍伐面積的百分比相等，當(dāng)砍伐到面積的一半時,所用時間是10年，為保護(hù)生態(tài)環(huán)境，森林面積至少要保留原面積的eq\f(1，4），已知到今年為止，森林剩余面積為原來的eq\f(\r(2）,2）。(1)求每年砍伐面積的百分比；(2)到今年為止,該森林已砍伐了多少年？(3)今后最多還能砍伐多少年?解：(1）設(shè)每年砍伐面積的百分比為x(0〈x<1），則a（1－x)10＝eq\f(1，2)a,即(1－x）10＝eq\f（1,2)，解得x＝1－eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1，2））)eq\s\up6(\f(1，10)).(2）設(shè)經(jīng)過m年后森林剩余面積為原來的eq\f(\r(2),2)，則a（1－x）m＝eq\f（\r(2),2)a，即eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1，2）))eq\s\up6(\f（m,10）)＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(1,2)）)eq\s\up6(\f(1，2）)，則eq\f(m,10）＝eq\f（1，2)，解得m＝5.故到今年為止，該森林已砍伐了5年．(3)設(shè)今后還能砍伐n年,則n年后剩余面積為eq\f（\r（2）,2)a(1－x）n。令eq\f(\r（2)，2)a（1－x）n≥eq\f（1,4）a，即(1－x）n≥eq\f(\r（2）,4)，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1,2）))eq\s\up6（\f（n，10))≥eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1，2))）eq\s\up6（\f（3,2）)，則eq\f（n，10)≤eq\f(3，2）,解得n≤15。故今后最多還能砍伐15年．［C拓展探究]14．在數(shù)學(xué)課外活動中，小明同學(xué)進(jìn)行了糖塊溶于水的實(shí)驗(yàn)：將一塊質(zhì)量為7克的糖塊放入一定量的水中，測量不同時刻未溶解糖塊的質(zhì)量，得到若干組數(shù)據(jù)，其中在第5分鐘末測得未溶解糖塊的質(zhì)量為3.5克．聯(lián)想到教科書中研