黑龍江省尚志市高級中學(xué)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題（含答案）

尚志市高級中學(xué)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是()A． B． C． D．2.已知直線的方向向量是，平面的法向量是，則與的位置關(guān)系是（

）A．B．C．與相交但不垂直D．或3.在四面體中，，點(diǎn)在棱上，且,為中點(diǎn)，則（）A． B．C． D．4.在數(shù)列中，，，則（

）.A． B． C．D．35.中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題:“三百七十八里關(guān),初行健步不為難,次日腳痛減一半,六朝才得其關(guān),要見次日行里數(shù),請公仔細(xì)算相還.”其意思是“有一個人走里,第一天健步行走,從第二天起腳痛每天走的路程是前一天的一半,走了天后到達(dá)目的地.”請問第一天走了（）.A.里 B.里 C.里 D.里6.拋物線的焦點(diǎn)為F，其準(zhǔn)線與雙曲線的漸近線相交于A、B兩點(diǎn)，若的周長為，則（）.A.2 B. C.8 D.47．如圖，在正四棱柱中，底面邊長為2，直線與平面所成角的正弦值為，則正四棱柱的高為（）.A.4 B.3 C.5 D.28．已知點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線（，）的右焦點(diǎn)，以為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于點(diǎn)，線段交雙曲線于點(diǎn).若為的中點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（

）.A． B． C．2 D．3二、多項(xiàng)選擇題9.下列說法正確的是（

）.A.任意一條直線都有傾斜角，但不一定有斜率B.點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為C.經(jīng)過點(diǎn)且在x軸和y軸上截距都相等的直線方程為D.若直線與圓相切，則10.如圖，正方體的棱長為，以下結(jié)論正確的是（）.A.異面直線與所成的角為 B.直線與垂直C.直線與平行 D.直線平面11．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（

）.A．B．若，則的最小值為C．取最大值時，或D．若，n的最大值為812、已知橢圓的短軸長為2，上頂點(diǎn)為A，左頂點(diǎn)為B，，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，且的面積為，點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，則的取值可以為（

）.A.1 B. C. D.三、填空題13．對任意，直線過定點(diǎn)______.14.在數(shù)列中，，，則通項(xiàng)公式______．15．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，延長FB交準(zhǔn)線于點(diǎn)C，若|BC|＝2|BF|，則的值是________．16．在對角線的正方體中，正方形所在平面內(nèi)的動點(diǎn)到直線、的距離之和為，則的取值范圍是.四、解答題17．已知，；(1)若，求實(shí)數(shù)的值；(2)若，且，求的坐標(biāo)．18．已知圓經(jīng)過點(diǎn)，，且圓與軸相切．(1)求圓的一般方程；(2)設(shè)是圓上的動點(diǎn)，點(diǎn)，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程．19．表示等差數(shù)列的前項(xiàng)的和，且，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)及；(2)求和.20.已知矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，在AD上取一點(diǎn)E滿足2AE＝ED.現(xiàn)將△CDE沿CE折起使點(diǎn)D移動至P點(diǎn)處，使得PA＝PB.(1)求證：平面PCE⊥平面ABCE；(2)求平面BPA與平面EPA夾角的余弦值.21.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，．(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)若，求證數(shù)列的前項(xiàng)和<．22．已知A、B分別為橢圓E：（a>1）的左、右頂點(diǎn)，G為E的上頂點(diǎn)，，P為直線x=6上的動點(diǎn)，PA與E的另一交點(diǎn)為C，PB與E的另一交點(diǎn)為D．（1）求E的方程；（2）證明：直線CD過定點(diǎn).數(shù)學(xué)試題答案1.D2.D3.B4.B5.A6．A7．A8.A9.ABD10.ABD11.ACD12.ABC13．14.15．16．17.（1）由已知得，，得，解得（2）設(shè)，由，可得，得到，求得，，則或18．（1）解：設(shè)圓的方程為，因?yàn)閳A過點(diǎn)，，又跟軸相切，圓必在軸右側(cè)，且跟軸的切點(diǎn)為，圓心的縱坐標(biāo)為．，解得，圓的方程為，化簡得．（2）19．（1）解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，由可得，因?yàn)?，解得，所以，?（2）解：，當(dāng)且時，；當(dāng)且時，.綜上所述，.20.(1)證明依題意得PE＝PC＝2，分別取線段AB，CE的中點(diǎn)O，M，連接△POM的三邊(如圖)，則PM⊥EC，由PA＝PB，得PO⊥AB.①又OM為梯形ABCE的中位線，∴OM∥BC，由BC⊥AB，得OM⊥AB，②又PO∩OM＝O，從而AB⊥平面POM，則AB⊥PM.在平面ABCE中，AB與CE相交.∴PM⊥平面ABCE，故平面PCE⊥平面ABCE.(2)解過點(diǎn)O作PM的平行線為z軸，分別以O(shè)A，OM為x，y軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A(1，0，0)，B(－1，0，0)，E(1，1，0)，P(0，2，eq\r(2))，∴eq\o(PA,\s\up6(→))＝(1，－2，－eq\r(2))，eq\o(BA,\s\up6(→))＝(2，0，0)，eq\o(AE,\s\up6(→))＝(0，1，0)，設(shè)n＝(x，y，z)為平面PAB的法向量，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\o(PA,\s\up6(→))·n＝0，,\o(BA,\s\up6(→))·n＝0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y－\r(2)z＝0，,2x＝0，))令y＝1，得n＝(0，1，－eq\r(2))，同理，平面PAE的法向量m＝(eq\r(2)，0，1)，∴cos〈m，n〉＝eq\f(m·n,|m||n|)＝－eq\f(\r(2),3)，∴平面BPA與平面EPA夾角的余弦值為eq\f(\r(2),3).21.（1）因?yàn)榻獾?，?dāng)時，，與聯(lián)立，得，所以，又因?yàn)?，所以是?為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列；（2）由（1）得，，所以，，所以，所以<22．（1）依據(jù)題意作出如下圖象：由橢圓方程可得：，，，，橢圓方程為：（2）[方法一]：設(shè)而求點(diǎn)法證明：設(shè)，則直線的方程為：，即：聯(lián)立直線的方程與橢圓方程可得：，整理得：，解得：或?qū)⒋胫本€可得：所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.同理可得：點(diǎn)的坐標(biāo)為當(dāng)時，直線的方程為：，整理可得：整理得：所以直線過定點(diǎn)．當(dāng)時，直線：，直線過點(diǎn)．故直線CD過定點(diǎn)．[