課件-1一元函數(shù)

數(shù)學(xué)形成兩大分支：幾何學(xué)和代數(shù)在古希臘時代（大約公元前5世 公元前初等數(shù)學(xué)時期：公元前3世紀(jì)到17世 常量數(shù)學(xué)時17世紀(jì)微積分的創(chuàng)造開始了高等數(shù)學(xué)時 變量數(shù)學(xué)時

函極

研究的對研究的方第一 一、實數(shù) 鄰二、函數(shù)的概念及圖五、函數(shù)的運一、實數(shù)集鄰

(記作) 整數(shù) 實數(shù)

NZ

Z 特別(a,a(

記為N(a,.

為鄰域半)a

a 0xa

稱為a的去心鄰域，記為

(a,二、函數(shù)的概念及圖常量,而數(shù)值變化的量稱為變量.通常用字母a,b,c等表示常量用字母x,yt函數(shù)的概定義 設(shè)非空數(shù)集DR

如果對于每個數(shù)xD,y按照一定法則總有唯一確定的數(shù)值和它對應(yīng)yx

y

(x),

xDx稱為自變量 y稱為因變量 D稱為定義域y的全體稱為值域. 函數(shù)圖形 稱點C(x,y)y

(

,x

f的圖形

(D[a,b]x

y

f(D) 定義

注1o函數(shù)的二要素 對應(yīng)法則 xR0 f(xR0f

例

y

x2y

答：不同,因為二者定義域不同

D1{xxD2{x

yx3(2)yxyx3

y答：不同,因為二者的

y1與u

sin2

cos2答：相同兩個函數(shù)是否相同，僅取決與兩個函數(shù)是否相同，僅取決與Df，而與f的表達(dá)形式無關(guān)，也與變量的記號無關(guān)!2使表達(dá)式及實際問題都有意義的例2求函數(shù)y

的定義域1-x2解 x2

xxx2 解得x

3函數(shù)的表示方法解析法、圖象法、列表法幾個特殊的函數(shù)舉ysgn

00

當(dāng)x 1o-當(dāng)x1o-當(dāng)x yOyOy

x,

xx 取整函數(shù)y= x[x]x的最大整數(shù)y

321-4-3-2-1O

0yD(x)0

當(dāng)x當(dāng)xy??1o數(shù)列也是一類函數(shù)立點的集合

N

取最值函y

f

g(x)}

y

f(

g(f(xf(x)g(x)oxf(x)g(x)o

3x三、函數(shù)可能具有的幾種特有界若XD,M0,xX,恒有fx)

則稱函數(shù)fM

x0X

使得

f(x0)

成立

xx0 X 有例3.證明

(x)

12x|x

在

)上有界2x2

12x|12x|x2x2證明

|f(x)

2x2

f(x)在(,+)上有界例4.討論下列函數(shù)在定義域上的有界性

f(x)

1;x

f(x)

cos x

f(x)x

在(,0)(0,+)內(nèi) 的1M

總可取

x0

M

則有

f(

)||x

|

1M

f(x)

1x

1在(,0)(0,+)內(nèi) 的1x1M

k[M

x0

0f(x) 1cos0 kcosk因此

(x)

cos

在(,0)(0,+)內(nèi) 的奇偶設(shè)D關(guān)于原點對稱，即x若f(x)為偶函數(shù)

D有x y

f(x)若則稱f(x)

f(x)-

f(x) 于y軸對 義

f(0)

x單調(diào)

x1,x2I

當(dāng)x1 時若fx1

fx2),

f(

I若fx1

f(x2),y

稱fxI上單調(diào)減少函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù). x2 函數(shù)單調(diào)與否同所論區(qū)間有關(guān)周期x

0,

x

D,

x)

T為周期通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正周期yox周期為 例如:①

f(x)

②狄里克雷函1,0

x為有理數(shù)x為無理數(shù)例5設(shè)函數(shù)y

f(x)

x(

)xax

(a

b均對稱,

y

x是周期函數(shù)證由

(

f(a

x)

(a

f(b

(bx)

(x)

f

(

f(2ax)故fx)是周期函數(shù),例6證明

yxcos

不是周期函數(shù)證明：反證法假設(shè)是y=xcosx是周期函數(shù),設(shè)T是它的周期,T>0,則應(yīng)有(x+T)cos(x+T)=xcosx令x=0，則得：T=k+/2故有：(x+k+/2)cos(x+k+/2)=xcosx,再取x=/2,則得 k=-1與，y=xcosx四、反函數(shù)與復(fù)合函反函數(shù)的定義及性定義對于以D為定義域，f(D)為值域的函數(shù)y=ffDDff上 y

f(x),

y

1(x),x

f(D)例如,函 性質(zhì)(1)函

yQ(b,a)

yf(x)oo直 對稱 (2)單調(diào)遞增

(減

yex遞增(減

xyln

yex

x(,

對數(shù)函 互為反函數(shù)它們都單調(diào)遞增 對稱x, x例 求

x3,1x2,的反函數(shù)3x 2x,解當(dāng)x1

y

xy,

y

x

當(dāng)1x2

y

解得x

3y,

y3x,

x[1,8]yx3來說其值域為1,8，故反函數(shù)的定義域為[1,8];當(dāng)x

y3x

解得x

log3y,ylog3x,

x(9,).x, x3y x 1x3log3x, x1x1x 設(shè)y

u,

1

x2 y定義

設(shè)函數(shù)y

f(u)的定義域

Df，而函數(shù)u

值域為Zφ，若D

Φ，則稱函數(shù)yf[φx)]為x的復(fù)合函數(shù)x自變量

uy因變量注1并非任何兩個函數(shù)都能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)，RφRφ如：y

f(u)

arcsinu與

(x)2

x2不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)

arcsin(2

x2).因為Df

R

RφDf -1 Rφ例8

f(x) 0

x1,求函

f(x

3)的定義域2 1

x

(x)

0x21x221x2 f(x

3)

0x

32 12

x3 3x22x 22x Df

五、基本初等函

統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)

yxμ

μ是常數(shù)

yax

(a

0,a

ye

yloga

(a

0,a

yln

ysin

ycos

ytan

ycot

ysecyysec

ycscyycsc5、反三角函反正弦函數(shù)

yarcsinyyarcsin反余弦函數(shù)

yarccosyyarccos反正切函數(shù)

yarctanyyarctan反余切函y

arccotyyarccot六、初等函,稱為初等函數(shù) 否則稱為非初等函數(shù)例如

x x

xx

可表為y x2故為初等函數(shù)x2雙曲函xx

e

yeo

yshxy

(x)

e

2sh

exe

e

eychyf(x)

ch yshch

exex

ee

記th

y yo1

x雙曲函數(shù)常用公sh(x

ch(x

y)

chxchy

ch2x

sh2

sh2

2shxchxch2

ch2x

sh2x.B.反雙曲函反雙曲正y

y ln(x

x2D:(,)奇函數(shù)在(,)內(nèi)單調(diào)增反雙曲余y

yln(x x2D:在[1,)內(nèi)單調(diào)增加反雙曲正y

y 1ln1x 1D:奇函數(shù)在(1,1)內(nèi)單調(diào)增加1.3.6A.隱函 變量x與y之間的對應(yīng)關(guān)系是由二元方程：F(x,y)=0，來描述的這樣的函數(shù)稱為由方程F(x,y)=0所確定的隱函數(shù)如果不能用初等方法從方程F(x,y)=0中解(否則稱為隱函數(shù)的顯化或者雖能解出但一個x對應(yīng)了多個y值,x

y

又例

一個x有二個y值與之對應(yīng)故它們都不是初等函數(shù)B.變量x與y之間的對應(yīng)關(guān)系有時也可由參x(t

(a

b)確y (ty另一個情況就是不能通過從一個參數(shù)方程消去參數(shù)t得到一個初等函數(shù),則這個參數(shù)方程就確定了一個非初等函數(shù)xt2

就確定了一個非初等函數(shù)y y

內(nèi)容小

函數(shù)的特 有界性,奇偶性單調(diào)性例3- 已知函

y

(x) 0

xx1xx

x2tf(1)及f(1),2tt0t0

并寫出定義域及值域2解f ) 2 1

0t

t ttf()t

11,t

1t

1 ,0t

D[0,

) 域

(

例4-證

（1）f(x)+f(-x)（2）f(x)-f(-x)令F(x)=f(x)+f(-x因為在對稱區(qū)間(a,-a)有F(-x)=f(-x)+f(xf(x)+f(-

對于任x(a,a)F(-x)=f(-x)-f(x)=-[f(x)-f(-x)]=-

1[2

(x)

f(x)]

1[2

(x)

f(1{[2

f(x)

f(x)]

f(x)

f(f(x)表示一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)之和x2

1x例61y

lnx

0x

2ex1,

1x 解當(dāng)1

x0時

yx2(0,1]y則x ,y(0,y當(dāng)0x1時

ylnx(,

0] 則xey

y(,0]

1

2當(dāng)1x

時,

2ex1(

2e]2則x1lny2

y(2,

2e反函數(shù)y

(,1](2,

2e例7-解1x

1u211u21fu 1x2 f(x)1x2x

(

例7-2設(shè)

(x)

x2,g(x)

x,求f

f(g[f( f(u)u2,f[

(x)]

f(

[

x4,x2g(u)2u,x2

(x)]

f(x)

x例7-

設(shè)f(x)