多元函數(shù)的極值及其求法

第八節(jié)多元函數(shù)的極值及其求法一、多元函數(shù)的極值和最值二、條件極值拉格朗日乘數(shù)法三、小結(jié)多元函數(shù)的極值及其求法共23頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第1頁(yè)!一、多元函數(shù)的極值和最值1、二元函數(shù)極值的定義多元函數(shù)的極值及其求法共23頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第2頁(yè)!例1例２例３(3)(2)(1)多元函數(shù)的極值及其求法共23頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第3頁(yè)!2、多元函數(shù)取得極值的條件證多元函數(shù)的極值及其求法共23頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第4頁(yè)!仿照一元函數(shù)，凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零的點(diǎn)，均稱為函數(shù)的駐點(diǎn).駐點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在的極值點(diǎn)問(wèn)題：如何判定一個(gè)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)？注意：多元函數(shù)的極值及其求法共23頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第5頁(yè)!多元函數(shù)的極值及其求法共23頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第6頁(yè)!因此，駐點(diǎn)因此，駐點(diǎn)多元函數(shù)的極值及其求法共23頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第7頁(yè)!求最值的一般方法：將函數(shù)在

D內(nèi)的所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值及在

D

的邊界上的最大值和最小值相互比較，其中最大者即為最大值，最小者即為最小值.與一元函數(shù)相類似，我們可以利用函數(shù)的極值來(lái)求函數(shù)的最大值和最小值.3、多元函數(shù)的最值多元函數(shù)的極值及其求法共23頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第8頁(yè)!無(wú)條件極值：對(duì)自變量除了限制在定義域內(nèi)外，并無(wú)其他條件.多元函數(shù)的極值及其求法共23頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第9頁(yè)!條件極值：對(duì)自變量有附加條件的極值．多元函數(shù)的極值及其求法共23頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第10頁(yè)!解則例6求表面積為a2而體積為最大的長(zhǎng)方體的體積.

設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高為x,y，z.體積為V.則問(wèn)題就是條件求函數(shù)的最大值.令下，多元函數(shù)的極值及其求法共23頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第11頁(yè)!由(2),(1)及(3),(2)得于是，代入條件，得解得這是唯一可能的極值點(diǎn)。因?yàn)橛蓡?wèn)題本身可知，所以，最大值就在此點(diǎn)處取得。故，最大值最大值一定存在，多元函數(shù)的極值及其求法共23頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第12頁(yè)!將(5)，(6)代入(4)：于是，得這是唯一可能的極值點(diǎn)。因?yàn)橛蓡?wèn)題本身可知，最大值一定存在，所以，最大值就在這個(gè)可能的極值點(diǎn)處取得。故，最大值多元函數(shù)的極值及其求法共23頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第13頁(yè)!多元函數(shù)的極值及其求法共23頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第14頁(yè)!多元函數(shù)的極值及其求法共23頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第15頁(yè)!例4求函數(shù)的極值。解求解方程組：得駐點(diǎn)因此，駐點(diǎn)多元函數(shù)的極值及其求法共23頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第16頁(yè)!與一元函數(shù)類似，可能的極值點(diǎn)除了駐點(diǎn)之外，偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也可能是極值點(diǎn)。例如，顯然函數(shù)不存在。多元函數(shù)的極值及其求法共23頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第17頁(yè)!解令多元函數(shù)的極值及其求法共23頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第18頁(yè)!實(shí)例：小王有

200元錢(qián)，他決定用來(lái)購(gòu)買(mǎi)兩種急需物品：計(jì)算機(jī)磁盤(pán)和錄音磁帶，設(shè)他購(gòu)買(mǎi)x張磁盤(pán)，

y盒錄音磁帶達(dá)到最佳效果，效果函數(shù)為

U(x,y)=lnx+lny．設(shè)每張磁盤(pán)

8元，每盒磁帶

10元，問(wèn)他如何分配這

200元以達(dá)到最佳效果．問(wèn)題的實(shí)質(zhì)：求在條件下的極值點(diǎn)．三、條件極值拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值及其求法共23頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第19頁(yè)!求解方程組解出x,y,z,t

即得可能極值點(diǎn)的坐標(biāo).多元函數(shù)的極值及其求法共23頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第20頁(yè)!則令即由(2),(1)及(3),(2)得多元函數(shù)的極值及其求法共23頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第21頁(yè)!解則由(1)，(2)得由(1)，(3)得多元函數(shù)的極值及其求法共23頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第22頁(yè)