數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)論文

數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)論文瞄準“最近發(fā)展區(qū)”激活學(xué)生思維火焰【摘要】蘇聯(lián)心理學(xué)家維果斯基認為，學(xué)生的發(fā)展水平可以區(qū)分為兩種，第一種是“現(xiàn)有發(fā)展區(qū)”，它是評定學(xué)生已有的發(fā)展水平，是課堂教學(xué)的出發(fā)點；第二種是“最近發(fā)展區(qū)”，它是一種潛在的，可能的發(fā)展水平，是經(jīng)過教師的啟發(fā)指導(dǎo)和學(xué)生的努力能夠達到的發(fā)展水平。這是課堂教學(xué)所應(yīng)努力追求的目標，教學(xué)必須以現(xiàn)有的發(fā)展水平為基礎(chǔ)，以“最近發(fā)展區(qū)”為方向，才能促進有效的教學(xué)，促成學(xué)生思維的轉(zhuǎn)型升級，從而達到高智能的發(fā)展?！娟P(guān)鍵詞】最近發(fā)展區(qū)激活思維有效教學(xué)當(dāng)前，我們正處于初三升學(xué)前的最后沖刺，是學(xué)生知識水平升華、突破的關(guān)鍵時期。教師在設(shè)計習(xí)題，講解習(xí)題的時候要充分考慮到學(xué)生的兩種發(fā)展水平。第一，學(xué)生現(xiàn)有的發(fā)展水平；第二，學(xué)生可能達到的發(fā)展水平。這兩個之間的幅度則為“最近發(fā)展區(qū)”。教學(xué)應(yīng)著眼于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，充分發(fā)揮學(xué)生現(xiàn)有發(fā)展水平的積極作用，在學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”上去幫助學(xué)生解決認知矛盾，促成學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”向現(xiàn)實發(fā)展水平轉(zhuǎn)化，要使學(xué)生經(jīng)常處于“跳一跳摘果子的狀態(tài)”，既使學(xué)生感到有適度的負荷與緊張感，又使得學(xué)生感到壓力不大，從而激發(fā)學(xué)生的求知欲，并且在這種主動探索而獲取知識的過程中，讓學(xué)生體會學(xué)習(xí)的成就感和快樂感。維果斯基說過，“教學(xué)不應(yīng)該指望于孩子的明天，而應(yīng)指望于他的明天?！敝挥凶咴诎l(fā)展前面的教學(xué)，才是好的教學(xué)。我們的教學(xué)也要著眼于孩子的明天，給孩子提供“可持續(xù)可發(fā)展”的教育。這就要求我們平時適當(dāng)?shù)臑閷W(xué)生提供有難度，廣度，深度的內(nèi)容，調(diào)動學(xué)生積極性，激發(fā)思維火焰，發(fā)揮其潛能。數(shù)學(xué)教學(xué)不僅僅是教會學(xué)生數(shù)學(xué)知識，技能。更重要的是要幫助學(xué)生形成良好的思維體系。我們設(shè)計習(xí)題教學(xué)的時候，不能只著眼于學(xué)生現(xiàn)有水平的發(fā)展，而是要瞄準學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，幫助學(xué)生擺脫習(xí)慣性思維的障礙，點燃學(xué)生的思維火焰，讓學(xué)生的潛能得到最好的發(fā)揮。以下是我在平時教學(xué)中遇到的一道習(xí)題。對于這道習(xí)題的教學(xué)，我經(jīng)過反復(fù)斟酌、嘗試。經(jīng)歷過許多次嘗試實驗后，我感悟到：“最近發(fā)展區(qū)”才是教學(xué)的“最佳作用區(qū)”，在此基礎(chǔ)上的教學(xué)能促進學(xué)生達到高智能的發(fā)展。題目呈現(xiàn)：如圖，L1，L2，L3是同一平面內(nèi)的平行直線，L1與L2間的距離是1，L2與L3間的距離是2，正三角形ABC的三頂點分別在L1，L2，L3上，求△ABC的邊長．分析：此題條件簡潔，起點較高，思維坡度比較大，學(xué)生剛拿到題目，思維受到了突然襲擊。學(xué)生表現(xiàn)：或知難而退，或一頭霧水。仔細分析此題，它的考查內(nèi)容有：相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形，等邊三角形，直角三角形的性質(zhì)，還有圖形變換中的軸對稱變換，中心對稱，旋轉(zhuǎn)對稱變換。本題的綜合性很強，典型的中考復(fù)習(xí)題，可以一題多解，一題多變，將眾多知識點融會貫通。解題時需要學(xué)生有較強的綜合分析能力。教師在解題教學(xué)中，應(yīng)該基于三個標準：基于學(xué)生長遠發(fā)展的通性通法，基于學(xué)生最近發(fā)展區(qū)上的認知水平，基于思維暴露過程中的真相還原。所以我們解題的目的，并不是單純的得到答案。要給學(xué)生提供一個暴露思維的平臺，要給學(xué)生提供鍛煉思維提升能力的機會，更要讓學(xué)生感受到思維訓(xùn)練的樂趣。我們要用心尋找“最近發(fā)展區(qū)”，走進“最近發(fā)展區(qū)”，超越“最近發(fā)展區(qū)”。當(dāng)然，這個過程該是循序漸進的，我們應(yīng)該享受它，并用心去欣賞沿途綻放的思維火花。學(xué)生現(xiàn)有發(fā)展水平的確定學(xué)生的現(xiàn)有發(fā)展水平不是指學(xué)生現(xiàn)有水平，而是指學(xué)生在現(xiàn)有水平的基礎(chǔ)上，依靠自己獨立的發(fā)展所能達到的水平。學(xué)生在解答此題時，比較容易想到的方法是：詳解：設(shè)AB=AC=BC=x∵CF=1,CE=2,AD=3∴AF=,BE=,BD=∵AF=BE+BD∴=-解得：x=，∵x>0.所以x=這種方法利關(guān)鍵找到一組等量關(guān)系即AF=BD+BE，方法顯而易見，學(xué)生也樂見其成。但是該方法用了勾股，最后又列了無理方程，計算量比較大。但它具有普遍性，大部分同學(xué)走了這條路，我們首先要肯定這種解法。于此同時，這種解法也暴露出了學(xué)生現(xiàn)有的思維水平：比較依賴直觀圖形和顯性的條件。所以我們我們的解答不能到此為止，為了激發(fā)學(xué)生潛在的發(fā)展水平，我們需要結(jié)合學(xué)生現(xiàn)有水平，展開新一輪的思維訓(xùn)練，實現(xiàn)新的飛躍。學(xué)生可能發(fā)展水平的確定可能發(fā)展水平是學(xué)生在現(xiàn)有發(fā)展水平的基礎(chǔ)上，憑借學(xué)生發(fā)展?jié)摿同F(xiàn)有教育資源，通過教師的教學(xué)、輔導(dǎo)，學(xué)生可能達到的發(fā)展水平。對于初三沖刺階段的學(xué)生來說，知識儲備相對豐富。此題中涉及：相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形，等邊三角形，直角三角形的性質(zhì)，還有圖形變換中的性質(zhì)等知識學(xué)生基本都已經(jīng)熟練，這為進一步探究新方法、新思維已經(jīng)做好了知識儲備。但是知識技能越熟練，往往容易收到慣性思維的限制，學(xué)生的發(fā)展空間往往受限。這就需要教師重新設(shè)計問題和情景，能夠找準“最近發(fā)展區(qū)”，及時點燃學(xué)生思維火焰。三、學(xué)生“最近發(fā)展區(qū)”的確定與利用這道習(xí)題有很多解法，其中也不乏巧思妙解。但在解題中，具有普遍性的“通性通法”和巧思妙解之間，往往隔著“千山萬水”。要讓“遠在天邊”變?yōu)椤敖谘矍啊?，還得靠教師巧設(shè)情景，巧搭支架，讓學(xué)生順利攀爬。解法一：用相似三角形引導(dǎo)學(xué)生的思維設(shè)問1：由圖可知AE=1,CF=2,且△ADE∽△CDF,你能再找出一個三角形與△ADE相似嗎？（可添輔助線）學(xué)生經(jīng)過短時間的思考，可以作出BG⊥AC，從而得出：△ADE∽△BDG設(shè)問2：在△BDG中，你能發(fā)現(xiàn)EG:BG的比值嗎？那么DE:AE呢？（這個是解決問題的關(guān)鍵）分析：根據(jù)題意作高AE，BG，CF（如圖1）．根據(jù)等邊三角形及直角三角形的性質(zhì)，設(shè)AD=x，則AC=3x，于是DG=，BG=?3x=x．根據(jù)三角形相似根據(jù)其相似比可求出DF，DE的長，再根據(jù)勾股定理即可解答。詳解：作高AE，BG，CF（如圖1）．設(shè)AD=x，則AC=3x，于是DG=，BG=?3x=x．由Rt△BDG∽Rt△CDF，∴=，即=，∴DF=，∴DE=，因此AD2=AE2+DE2=1+=，(圖1）∴AD=，∴AC=3x=3×=．點評：利用相似求解關(guān)鍵是找出特殊三角形的“自比”。這里解決問題的突破口在于求得△BDG的兩條直角邊之比EG:BG=1：。這是學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，學(xué)生的思維在這里點燃后，同類方法還可以拓展，例如可以證明△CDF∽△BDG等。解法二：利用正方形的特例啟發(fā)學(xué)生思維類題演練：（如圖2）L1，L2，L3，L4是同一平面內(nèi)的四條平行直線，四條平行線間的距離均是1，正方形ABCD的三頂點分別在L1，L2，L3，L4上，求正方形ABCD的邊長．正方形的邊長求法相對容易，如圖2，過D作DM⊥L1,DM⊥L4，交于點M,N，構(gòu)造“一線三直角模型”，從而可知△ADM和△CDN全等，得到AM=DN=1,DM=CN=2，由勾股定理可知AD=。當(dāng)正方形變成正三角形時，是否能用類似的方法解決呢，如果可以我們又該如何構(gòu)造“一線三直角”呢？有了類題的訓(xùn)練，學(xué)生的思維已經(jīng)走到了最近發(fā)展區(qū)，點燃思維的關(guān)鍵一擊就是：如何構(gòu)造一個直角（可利用矩形的性質(zhì)或直角三角形斜邊中線逆定理）MNN（圖2）（圖3）（圖4）詳解：如圖3，延長AB，使得AB=BD，∵AB=BD=BC,∴∠ACD=90°∵AF⊥CF,DE⊥CE,∴可知△ACF∽△CDE,∴===∴CF=DE=∴=()+3=,AC=∵AC>0∴AC=點評：利用一線三直角構(gòu)造相似，是解決本題的主要方法。如何引導(dǎo)學(xué)生成功構(gòu)造直角，是本題的關(guān)鍵，學(xué)生的思維在“構(gòu)造直角”受到了強烈的碰撞，摩擦。有了正方形的特例啟發(fā)，學(xué)生的想法往往是呼之欲出，思維已經(jīng)來到最近發(fā)展區(qū)。教師要抓住關(guān)鍵時刻，及時點燃學(xué)生思維。提示學(xué)生利用直角三角形斜邊中線定理的逆定理構(gòu)造直角三角形（如圖3），或者能否利用中心對稱變換構(gòu)造矩形（如圖4），矩形的成功構(gòu)造，將為解題提供更大的空間，四個方向都將構(gòu)成“一線三直角”，學(xué)生在最近發(fā)展區(qū)的思維已經(jīng)點燃，師生將共享一場思維盛宴。解法三：利用軸對稱性點撥學(xué)生思維解法二對于中心對稱的巧妙應(yīng)用讓學(xué)生感受到了解題的樂趣，已經(jīng)調(diào)動了學(xué)生的思考積極性，學(xué)生的思維之火已經(jīng)開始燃燒。教師可以繼續(xù)拓展學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”。引導(dǎo)學(xué)生思考：“我們是否可以通過軸對稱變換來解決呢？”，一石激起千層浪，學(xué)生一個個摩拳擦掌。軸對稱性的方法雖然類題沒有，但是它的操作比較簡單，作圖以后便可以發(fā)現(xiàn)普遍性規(guī)律。這里可以作A、B、C三點中任意一點關(guān)于L1，L2，L3任意一條直線對稱的對稱點，即可以出現(xiàn)三條等邊，從而構(gòu)造特殊的“三點共圓”，主要目的是構(gòu)造60°的圓心角，再推出30°的圓周角，最后構(gòu)造特殊的直角三角形解決問題。學(xué)生作對稱點往往會不相同，但是殊途同歸。通過橫向的對比，讓學(xué)生的思維互相碰撞，繼而得到升華。詳解：如圖3，設(shè)點B關(guān)于L3的對稱點是E，連接AE，CE，延長EB交L1于點G，則CE=CB，∵CA=CB，∴點A，B，E在以C為圓心，CA為半徑的圓上，∴∠AEB=∠ACB=30°，設(shè)AG=x，在Rt△AEG中，AE=2x，而GE=5，∴4x2=x2+25，得x2=．在Rt△ABG中，∵AB2=BG2+AG2=1+，∴AB=．（圖5）點評：此種解法非常巧妙，也可以用圓心角圓周角的知識去轉(zhuǎn)化說明。如果學(xué)生覺得圖像不夠直觀，可以提倡學(xué)生作出三點共圓。此題在思考探索的過程中，可以充分應(yīng)用猜想，質(zhì)疑，操作，驗證等數(shù)學(xué)思想方法，將學(xué)生的數(shù)學(xué)思維推向一個新的高度。解法四：利用旋轉(zhuǎn)變換發(fā)展學(xué)生思維學(xué)習(xí)是一個認知平衡與不平衡之間的相互轉(zhuǎn)化的過程，當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)了新知識，心理就會滿足，認知就會暫時處于平衡狀態(tài)。那么，怎樣才能促進思維發(fā)展呢？教師要不斷變換問題情境，抓住學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，向其潛在水平引導(dǎo)，通過認知沖突來誘發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的積極性，促進思維發(fā)展。教師可以在軸對稱變化的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生能否通過“旋轉(zhuǎn)變化”來解決問題呢？類題演練：如圖正方形ABCD中，有一個內(nèi)接三角形AEF，若∠EAF=45°，說明DF、EF、BE三者的數(shù)量關(guān)系解：將△ADF繞點A旋轉(zhuǎn)90°得到△ABD’,且D’、B、E三點共線∴∠DAF=∠BAD’∵∠EAF=45°，∴∠D’AB+∠BAE=∠D’AE=∠FAE=45°，AF=AD’,AE=AE，∴△AED’≌△AEF∴EF=D’E=D’B+BE=DF+BE.（圖6）類題的設(shè)置，是為了將學(xué)生的思維引向旋轉(zhuǎn)方向的最近發(fā)展區(qū)。幫助學(xué)生總結(jié)，能夠使用旋轉(zhuǎn)變換的往往在特殊圖形中，一般有等邊或者特殊角。而該題中等邊三角形也為旋轉(zhuǎn)變換提供了重要的支撐。詳解：如圖2，過A，C作AE，CF垂直于L2，點E，F(xiàn)是垂足，將Rt△BCF繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°至Rt△BAD處，延長DA交L2于點G．由作圖可知：∠DBG=60°，AD=CF=2．在Rt△BDG中，∠BGD=30°．在Rt△AEG中，∠EAG=60°，AE=1，AG=2，DG=4．∴BD=．在Rt△ABD中，AB==．（圖7）點評：此解巧妙地利用旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造了兩個含30°角的直角三角形。同時利用兩條已知邊AE=1，CF=BD=2，可以解得兩個直角三角形的各邊。旋轉(zhuǎn)的方式可以有多樣性，但最終是轉(zhuǎn)化成含30°特殊角的直角三角形解決問題，這點是共通的。學(xué)生練習(xí)以后屢試不爽，普遍認同這個方法很巧妙。四、思維“最近發(fā)展區(qū)”的培養(yǎng)與開發(fā)學(xué)生的思維發(fā)展情況具有鮮明的個體特征，要成功激活學(xué)生的思維，必須瞄準學(xué)生的“最新發(fā)展區(qū)”。這就要求我們充分了解學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，思維習(xí)慣，抽象概括和技能的現(xiàn)有水平；了解他們的思維結(jié)構(gòu)、方法以及潛在的水平如何；思維跨度的大??；了解他們學(xué)習(xí)中的困難以及形成的原因，教師做到心中有數(shù)，有的放矢?？傮w來說，如何把學(xué)生從已有水平引渡到未知水平的彼岸，還是有規(guī)律可尋的，主要要把握以下幾個原則：1、循序漸進原則教師對學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)估計不可估計過高，如果起點太高容易打擊學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，欲速則不達。當(dāng)然，對學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)也不能估計得過低，這樣不利于學(xué)生能力的發(fā)展，