《等差數(shù)列的前n項(xiàng)和》第1課時(shí)示范公開(kāi)課教學(xué)PPT課件【高中數(shù)學(xué)人教A版】

等差數(shù)列的前n項(xiàng)和第1課時(shí)導(dǎo)入新課問(wèn)題1

據(jù)說(shuō)，200多年前，高斯的算術(shù)老師提出了下面的問(wèn)題：高斯的算法：（1＋100）＋（2＋99）＋…＋（50＋51）＝101×50＝5050．高斯（Gauss，1777－1855），德國(guó)數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)的奠基者之一．他在天文學(xué)、大地測(cè)量學(xué)、磁學(xué)、光學(xué)等領(lǐng)域都做出過(guò)杰出貢獻(xiàn)．1＋2＋3＋…＋100＝？你準(zhǔn)備怎么算呢？導(dǎo)入新課問(wèn)題2

為什么1＋100＝2＋99＝…＝50＋51呢？這是巧合嗎？試從數(shù)列角度給出解釋．新知探究等差數(shù)列的前n項(xiàng)和高斯的算法實(shí)際上解決了求等差數(shù)列：1，2，3，…，n，…前100項(xiàng)的和問(wèn)題．我們知道：等差數(shù)列中，下標(biāo)和相等的兩項(xiàng)和相等．設(shè)an＝n，則a1＝1，a2＝2，a3＝3，…如果數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列，p，q，s，t∈N*，可得：a1＋a100＝a2＋a99＝…＝a50＋a51．且p＋q＝s＋t，則ap＋aq＝as＋at，新知探究問(wèn)題3

你能用上述方法計(jì)算1＋2＋3＋…＋101嗎？你能計(jì)算1＋2＋3＋…＋n嗎？需要對(duì)項(xiàng)數(shù)的奇偶進(jìn)行分類討論．當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，＝（1＋n）＋（1＋n）＋…＋（1＋n）

Sn＝（1＋n）＋［2＋（n－1）］＋…＋

新知探究問(wèn)題3

你能用上述方法計(jì)算1＋2＋3＋…＋101嗎？你能計(jì)算1＋2＋3＋…＋n嗎？需要對(duì)項(xiàng)數(shù)的奇偶進(jìn)行分類討論．當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，n－1為偶數(shù)，Sn＝（1＋n）＋［2＋（n－1）］＋…＋

對(duì)于任意正整數(shù)n，都有1＋2＋3＋…＋n＝

．

新知探究問(wèn)題4

不分類討論能否得到最終的結(jié)論呢？Sn＝1＋2＋3＋…＋nSn＝n＋（n－1）＋（n－2）＋…＋1將上述兩式相加，得所以Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝

2Sn＝n＋1＋［（n－1）＋2］＋［（n－2）＋3］＋…＋（1＋n）＝（n＋1）＋（n＋1）＋（n＋1）＋…＋（n＋1）＝n（n＋1）新知探究問(wèn)題5

上述方法的妙處在哪里？這種方法能夠推廣到求等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和嗎？①＋②∵（a1＋an）＝（a2＋an－1）＝（a3＋an－2）＝…＝（an＋a1）由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝a1＋（n－1）d，有

∴2Sn＝n（a1＋an），Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an①Sn＝an＋an－1＋an－2＋…＋a1②2Sn＝（a1＋an）＋（a2＋an－1）＋（a3＋an－2）＋…＋（an＋a1）由此得：

（公式1）（公式2）新知探究公式也可以這樣證得：設(shè)有等差數(shù)列｛an｝：a1，a2，a3，…，an，公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，則Sn＝a1＋（a1＋d）＋（a1＋2d）＋…＋［a1＋（n－1）d］；Sn＝an＋（an－d）＋（an－2d）＋…＋［an－（n－1）d］．由此得到等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和的公式．

新知探究等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式公式的記憶：用上、下底分別為a1、an，高為n的梯形的面積來(lái)記憶公式1．已知量首項(xiàng)，末項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)首項(xiàng)，公差與項(xiàng)數(shù)選用公式

我們可結(jié)合梯形的面積公式來(lái)記憶等差數(shù)列前n

項(xiàng)和公式：用上、下底分別為a1、an，高為n的梯形的面積來(lái)記憶公式1：

例1

已知數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列．初步應(yīng)用

（1）若a1＝7，a50＝101，求S50；（2）若a1＝2，a2＝

，求S10；

（3）若a1＝

，d＝

，Sn＝－5，求n；

（1）因?yàn)閍1＝7，a50＝101，根據(jù)公式

可得

（2）因?yàn)閍1＝2，a2＝

，

所以d＝

，

例1

已知數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列．初步應(yīng)用

（1）若a1＝7，a50＝101，求S50；（2）若a1＝2，a2＝

，求S10；

（3）若a1＝

，d＝

，Sn＝－5，求n；

解得n＝12或n＝－5，所以n＝12．初步應(yīng)用等差數(shù)列中的基本計(jì)算（1）利用基本量求值：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式中有五個(gè)量a1，d，n，an和Sn這五個(gè)量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程組，解出a1和d，便可解決問(wèn)題．（2）結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)解題：解題時(shí)注意整體代換的思想．等差數(shù)列的常用性質(zhì)：若m＋n＝p＋q（m，n，p，q∈N*），則am＋an＝ap＋aq，常與求和公式

結(jié)合使用．

初步應(yīng)用例2

已知一個(gè)等差數(shù)列｛an｝前10項(xiàng)的和是310，前20項(xiàng)的和是1220，由這些條件能確定這個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差嗎？由題意知，S10＝310，S20＝1220，

所以，由所給的條件可以確定等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差．把它們代入公式

初步應(yīng)用求數(shù)列的基本量的基本方法是構(gòu)建方程或方程組或運(yùn)用數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行處理，1．“知三求一”：a1，d，n稱為等差數(shù)列的三個(gè)基本量，在通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式中，都含有四個(gè)量，已知其中的三個(gè)可求出第四個(gè)．2．“知三求二”：五個(gè)量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，一般列方程組求解．初步應(yīng)用追問(wèn)1：可以計(jì)算前30項(xiàng)的和嗎？

初步應(yīng)用追問(wèn)2：S10＝310，S20－S10＝910，S30－S20＝1510，可以發(fā)現(xiàn)S10，S20－S10，S30－S20成等差數(shù)列，你能得出什么一般性結(jié)論？等差數(shù)列｛an｝中，前n項(xiàng)的和是Sn，證明如下：因?yàn)镾m＝ma1＋

，

則Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差數(shù)列．

初步應(yīng)用追問(wèn)2：S10＝310，S20－S10＝910，S30－S20＝1510，可以發(fā)現(xiàn)S10，S20－S10，S30－S20成等差數(shù)列，你能得出什么一般性結(jié)論？

初步應(yīng)用等差數(shù)列中，均勻分段和仍成等差數(shù)列，這是等差數(shù)列的一個(gè)重要性質(zhì)．即等差數(shù)列｛an｝中，前n項(xiàng)的和是Sn，則Sm，S2m－Sm，…S（k＋1）m－Skm（k∈N*）仍成等差數(shù)列，公差為m2d（m為確定的正整數(shù)）．例3

在等差數(shù)列｛an｝中，S10＝100，S100＝10，求S110．初步應(yīng)用法一：設(shè)該等差數(shù)列首項(xiàng)a1，公差d，

例3

在等差數(shù)列｛an｝中，S10＝100，S100＝10，求S110．初步應(yīng)用法二：在等差數(shù)列中，S10，S20－S10，S30－S20，……，S100－S90，S110－S100，

解得d＝－22．∴S110－S100＝S10＋10×d＝－120，

∴S110＝－110．初步應(yīng)用對(duì)于等差數(shù)列中的問(wèn)題，常用方法是基本量法和利用性質(zhì)，一般能用性質(zhì)的，就使用性質(zhì)比較快捷．課堂練習(xí)練習(xí)：教科書(shū)P22練習(xí)1、2．歸納小結(jié)等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn公式的推導(dǎo)－－倒序相加法；等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn公式的記憶與應(yīng)用；

作業(yè)布置作業(yè)：教科書(shū)P22練習(xí)3．教科書(shū)P24習(xí)題4.21、3．１目標(biāo)檢測(cè)A設(shè)Sn是等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和，若a1＋a3＋a5＝3，則S5＝（）A．5B．7C．9D．112目標(biāo)檢測(cè)15等差數(shù)列｛an｝中，S2＝4，S4＝9，則S6＝________．